false coin
以前の皆様からのご投稿をふりかえりまして。
本物の金貨も偽物の金貨も n 枚で
天秤を m 回使って、それらが事実であることを他者に示す、というパズルに思いをいたしました。
http://shochandas.xsrv.jp/falsecoin.htm
まずは、りらひいさんによる、以下の記述を
ご覧ください。
＝＝＝
りらひいさんからのコメントです。（平成３０年１１月１日付け）
５本の不等式になると、計算量が跳ね上がって、Excelさんが固まってしまいます。途中で
探索を中止しましたが、それまでの間に得られたものを書き込んでおきます。
本物、贋物各95枚を、8、14、18、25、30ずつに分ける。
＝＝＝
引用いたしました
8 14 18 25 30
なのですが、次のような性質があります。
(x^8+1)*(x^14+1)*(x^18+1)*(x^25+1)*(x^30+1)
=
x^{95}+x^{87}+x^{81}+x^{77}+x^{73}+x^{70}+x^{69}+x^{65}+x^{63}+x^{62}+x^{57}+x^{56}+x^{55}+x^{52}+x^{51}+x^{48}+x^{47}+x^{44}+x^{43}+x^{40}+x^{39}+x^{38}+x^{33}+x^{32}+x^{30}+x^{26}+x^{25}+x^{22}+x^{18} +x^{14}+x^8+1
【展開したら、各項の係数が 1】
となりました。
偶然なのかと疑いまして、当時の
皆様からのさまざまな御投稿
につき、同様に検査しましたところ
全て、同じ性質がみられました。
背景には、隠れた数理があるのかもしれないと悩んでおります。
数理的背景というのであれば、
(x^8+1+x^(-8))*(x^14+1+x^(-14))*(x^18+1+x^(-18))*(x^25+1+x^(-25))*(x^30+1+x^(-30))
の x や x^(-1) の係数が作りたい方程式の数以上になることに意味があります。
その場合、dengan さんの式の作り方では隣接次数の項の組が大量に出てくることになります。
その制約の中で最高次の次数も上げようと思うと、結果として同じ次数の項が複数出てくるようなものでは優れた結果に繋がらないということになります。
DD++ さん。
早速の御教示をありがとうございます。
歯ごたえがありそうですね……
いくつかひどそうなのを作ってみました。
たとえば
14,19,21,22
では箸にも棒にも、
全然だめそうなのですね。
Dengan 評価では
(x^14+1)*(x^19+1)*(x^21+1)*(x^22+1) =
x^76+x^62+x^57+x^55+x^54+x^43+x^41+x^40+x^36+x^35+x^33+x^22+x^21+x^19+x^14+1
ですから候補なのかと思いきや
DD++ 評価では
(x^14+1+x^(-14))*(x^19+1+x^(-19))*(x^21+1+x^(-21))*(x^22+1+x^(-22)) =
(x^152+x^138+x^133+x^131+x^130+x^124+x^119+x^117+x^116+x^114+x^112+x^111+x^110+x^109+x^108+x^105+x^103+x^102+x^100+x^98+x^97+x^96+x^95+x^94+x^93+x^92+x^91+x^90+x^89+x^88+x^87+x^86+x^84+x^83+x^82+x^81+x^80+x^79+x^78+x^77+x^76+x^75+x^74+x^73+x^72+x^71+x^70+x^69+x^68+x^66+x^65+x^64+x^63+x^62+x^61+x^60+x^59+x^58+x^57+x^56+x^55+x^54+x^52+x^50+x^49+x^47+x^44+x^43+x^42+x^41+x^40+x^38+x^36+x^35+x^33+x^28+x^22+x^21+x^19+x^14+1)/x^76
となり、
x の項、1/x の項の係数が 1 です。
必要な不等式の数に遠く届きません。
GAI さんによる試みでおしかったものについて、DD++さんによる判別式を適用してみました。
６個の不等式が欲しい、336枚への挑戦です。
(x^46+x^(-46)+1)*(x^51+x^(-51)+1)*(x^53+x^(-53)+1)*(x^57+x^(-57)+1)*(x^63+x^(-63)+1)*(x^66+x^(-66)+1)
これを展開して、xおよびに1/xの項の
係数をしらべましたら、
5
となっていて、
欲しい6には届いていませんでした。
なるほど………
引用===
C[46]≧46を取り出せるための第
６の式が全然分からなくて・・・
===
ということなのですね……？？
