無限和での感想
例の素数pの逆数だけを加えて行く無限和では驚くべき大量の素数を投入することで
微小な量ではあるが増加し続けていき、結果的に∞に発散していくが、
S(r)=1/2^r+1/3^r+1/5^r+1/7^r+1/11^r+1/13^r+･･･
とそのr乗にしたものの無限級数では
S(2)=0.45224742･･･(A085548)
S(3)=0.17476263･･･(A085541)
S'4)=0.07699313･･･(A085964)
S(5)=0.03575501･･･(A085965)
･･････････････
次々とある一定値に収束するという。
さてそこで、これらの極限値で更に
(1)S(2)+S(3)+S(4)+S(5)+･･････
(2)S(2)-S(3)+S(4)-S(5)+･･････
と無限個を処理した結果の値は一体どんなものになるか想像できますか？
それが
(1)=1/(2*1)+1/(3*2)+1/(5*4)+1/(7*6)+1/(11*10)+1/(13*12)+･････
(2)=1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(7*8)+1/(11*12)+1/(13*14)+･････
であると主張するのです。((1):A136141 (2):A179119)
信じられますか？
確かに計算ソフトでのコマンド上では同じ値をはじき出しますが、
これはどう解釈できるものなんでしょうか。
もし正しいのなら無限は人知を超えた部分でとても見事に調和がとれた振る舞いを
密かに紡いでいると思われます。
(1)は
Σ[k=1～∞]1/m^k=1/(m-1)から
Σ[k=2～∞]S(k)
=Σ[k=2～∞]Σ[p∈prime]1/p^k
=Σ[p∈prime]Σ[k=2～∞]1/p^k
=Σ[p∈prime](1/p)Σ[k=1～∞]1/p^k
=Σ[p∈prime]1/{p(p-1)}
=1/(2*1)+1/(3*2)+1/(5*4)+1/(7*6)+…
(2)は
Σ[k=1～∞](-1)^k/m^k=-1/(m+1)から
Σ[k=2～∞](-1)^k・S(k)
=Σ[k=2～∞](-1)^k・Σ[p∈prime]1/p^k
=Σ[k=2～∞]Σ[p∈prime](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime]Σ[k=2～∞](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime](-1/p)Σ[k=1～∞](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime]1/{p(p+1)}
=1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(7*8)+…
のようになりますね。
