😊出会いの泉😊

メルセンヌ数は、1が並んだ数であるが、wikipediaより、

7以上の

2^3-1=30n+7
2^5-1=30n+1
2^7-1=30n+7
2^13-1=30n+1
2^17-1=30n+1
2^19-1＝30n+7
2^31-1=30n+7
2^61-1=30n+1
2^89-1=30n+1
2^107-1=30n+7
2^127-1=30n+7
2^521-1=30n+1
2^607-1=30n+7
2^1279-1=30n+7
2^2203-1=30n+7
2^2281-1=30n+1
2^3217-1=30n+1
2^4253-1=30n+1
2^4423-1=30n+7
2^9689-1=30n+1
2^9941-1=30n+1
2^11213-1=30n+1
2^19937-1=30n+1
2^21701-1=30n+1
2^23209-1=30n+1
2^44497-1=30n+1
2^86243-1=30n+7
2^110503-1=30n+7
2^132049-1=30n+1
2^216091-1=30n+7
2^756839-1=30n+7
2^859433-1=30n+1
2^1257787-1=30n+7
2^1398269-1=30n+1
2^2976221-1=30n+1
2^3021377-1=30n+1
2^6972593-1=30n+1
2^13466917-1=30n+1
2^20996011-1=30n+7
2^24036583-1=30n+7
2^25964951-1=30n+7
2^30402457-1=30n+1
2^32582657-1=30n+1
2^37156667-1=30n+7
2^42643801-1=30n+1
2^43112609-1=30n+1
2^57885161-1=30n+1
2^74207281-1=30n+1
2^77232917-1=30n+1
2^82589933-1=30n+1

以上からして、7以上のメルセンヌ数は、30n+P型の素数で、30n+1、30n+7しかとらない。

＞さて、30n+Pには、P=11,13,17,19,23,29もあるが、
2^a-1=30n+P
P+1=2qとして、
2^a-2q=30n
2^(a-1)-q=15n
P=11,13,17,19,23,29のとき、q=6,7,9,12,15で、
2^(a-1)-q=15n
を成り立たせることはできない。

P=11,13,17,19,23,29のとき、P+1=2qに代入すると、q=6,7,9,10,12,15で、
2^(a-1)-q=15nに代入すると、2^(a-1)＝15n＋6,9,10,12,15の場合は３または５でくくれるのであり得ませんが、
2^(a-1)＝15n＋7の場合は「2^(a-1)-q=15nを成り立たせることはできない」証明はされたのでしょうか。
一応、n=1000くらいまではプログラミングを組んでありませんでしたが。

for n in range(1,1001):
expr = 15*n + 7
if list(bin(expr)).count('1') == 1:
print('OK')
else:
print('NG')

2^1,2^2,2^3,2^4,…を15で割った余りは
2,4,8,1,2,4,8,1,…となりますので
15n+7になることはないですね。

また、元の問題は最初からmod30で考えると簡単です。
2^1,2^2,2^3,2^4,…を30で割った余りは
2,4,8,16,2,4,8,16,…
のようになりますので、2^a-1=30n+1,3,7,15しかあり得ません。
よって素数になる場合は30n+1,7のみです。

らすかるさん、ありがとうございます。勉強になりました。

＞さて、メルセンヌ数と30n+1は、
2^a-1=30n+1
2^a-2=30n
2^(a-1)-1=15n

メルセンヌ数はaが素数であるので、a-1は偶数の合成数である。
2^(a-1)-1=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^(a-2)
より、2^(a-1)-1は、1が偶数個並んだ数であり、その数は合成数である。

そこで、15は2進数1111であるから、2^(a-1)-1は、1が偶数個並んだ数であり、4個並んだ数で割り切れる。
つまり、a-1は、4の倍数である。

２進法を使わない場合は、
2^a-1=30n+1
2^a-2=30n
2^(a-1)-1=15n
2^(a-1)-1=(2^4-1)n
因数分解の公式より、2^4m-1=(2^4)^m-1=(2^4-1){(2^4)^(m-1)+(2^4)^(m-2)＋…＋１}
よって、a-1は４の倍数ですね。