😊出会いの泉😊

奇数の完全数はない　http://y-daisan.private.coocan.jp/html/kanzensu.pdf

で、aを素因数分解した素数の数より、σ(a)を構成する合成数が少なくとも1個以上多いことが証明できました。でも、それらの合成数を素因数分解して整理したら、左辺と右辺の素数の数は等しくならないかという疑問が生じました。それで、行き詰っています。

そこで、σ(a)の約数の素因数分解をやってみました。http://y-daisan.private.coocan.jp/html/2019062801.html

でも、そんなことでは解決しませんよね。

誰か、この問題を解決してくれませんかね？

a^n+b^n=c^nにおいて、c^n-b^n=a^nとなる。
c=x+j,b=x,a=x-kとする。すると、
c^n-b^n=a^nから、(x+j)^n-x^n=(x-k)^n
そこで、右辺をf(x)、左辺をg(x)とおく。
したがって、f(x)=g(x)でなければならない。

ガウスの代数学の基本定理より、 単一の重根kを持つならば、
x=kのとき、f(k)=0なので、g(k)=0であるはずである。
g(k)=(k+j)^n-k^n
n
= ∑ nCi k^(n-i)j^i -k^n
i=0

i=0のとき、nCi k^(n-i)j^i=k^nより、
n
= ∑ nCi k^(n-i)j^i +k^n -k^n
i=1

n
= ∑ nCi k^(n-i)j^i >0
i=1

よって、f(k)≠g(k)

したがって、g(x)は、単一の重根kを持をもたない。
よって、c^n-b^n=a^nは、成り立たない。
つまり、a^n+b^n=c^nは、成り立たない。

フェルマーの最終定理が初等的に証明できた。

しかし、
g(x)=(x+j)^2-(x+k)^2 >0 （ただし、j>k>0）でも、
ピタゴラス数では、たとえば、(13,12,5)という組み合わせがあります。
13^2-12^2=5^2
(13+12)(13-12)=25=5^2
となって、g(x)>0でも、解を持つのです。

これは、c^2-b^2=(c-b)(c+b)
と因数分解できるからです。

もちろんc^n-b^nも公式では、
c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
より、２つの合成数の積です。それが、整理すると、a^nになるかもしれません。

これも、合成数の積を整理すると、という問題です。

もちろん、aが素数ならば、フェルマーの最終定理の初等的証明はできているのです。

c=x+j,b=x,a=(x-u)(x-v)とする。
ガウスの代数学の基本定理より、 2つの重根u,vを持つならば、
f(x)=(x-u)^n(x-v)^n
また、
g(x)=(x+j)^n-x^n
したがって、f(x)=g(x)でなければならない。
x=uのとき、f(u)=0なので、g(u)=0であるはずである。
g(u)=(u+j)^n-u^n
n
= ∑ nCi u^(n-i)j ^i -u^n
i=0

i=0のとき、nCi u^(n-i)j ^i=u^nより、

n
= ∑ nCi u^(n-i)j ^i +u^n -u^n
i=1

n
= ∑ nCi u^(n-i)j ^i >0
i=1
よって、f(u)≠g(u)
同様に、f(v)≠g(v)
したがって、g(x)は、2つの重根u,vを持をもたない。

同様にして、a=(x-u)(x-v)(x-w)として、ガウスの代数学の基本定理より、 3つの重根u,v.wを持つならば、
同様にf(u)≠g(u),f(v)≠g(v),f(w)≠g(w)
したがって、g(x)は、3つの重根u,v,wを持たない。
同様にして、a=(x-u)(x-v)(x-w)(x-z)・・・・として、ガウスの代数学の基本定理より、 n個の重根u,v.w・・・・を持つならば、
同様にf(u)≠g(u),f(v)≠g(v),f(w)≠g(w)・・・・
したがって、g(x)は、n個の重根u,v,w・・・・を持をもつならば、n個重根を持たない。
以上から、aを素因数分解したら、素数β1,β2,β3,β4,・・・・・であるとき、b-α1=β1,b-α2=β2,b-α3=β3,・・・・とする と、
f(x)=(x-α1)^n(x-α2)^n(x-α3)^n(x-α4)^n・・・・・
であるから、
上記より、
f(α1)≠g(α1),f(α2)≠g(α2),f(α3)≠g(α3),f(α4)≠g(α4),・・・・・
より、c^n-b^n≠a^n
同様に、
より、c^n-a^n≠b^n
したがって、
a^n+b^n≠c^n
ゆえに、フェルマーの最終定理が証明された。

というのもどうかな？

＞もちろんc^n-b^nも公式では、c,b,jが自然数なら、
＞c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
＞より、２つの合成数の積です。それが、整理すると、a^nになるかもしれません。

しかし、b,cが依存関係にあるとき、c=x+j,b=xとすると先にも書いたように、g(x)>0になるのです。
c^n-b^n=(x+j-x){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
c^n-b^n=j{c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}>0
より、ガウスの代数学の基本定理が使えないのです。
つまり、この公式は間違ってしまうのです。

c,bが独立であれば、c-b=0が成り立つので、ガウスの代数学の基本定理から
c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
となるのです。
また、次の項は、{c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}＞０
より、ガウスの代数学の基本定理が成り立つには、c-b=0しかありえないのです。
したがって、c,bが独立でないと、
c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
とはできないのです。

したがって、最初のフェルマーの最終定理の初等的証明は、間違ってないのです。

> したがって、f(x)=g(x)でなければならない。

これは方程式ですか、それとも恒等式ですか？

DD＋＋さま、こんにちは。

方程式です。
f(x)=g(x)で、h(x)=g(x)-f(x)です。代数学の基本定理では、h(k)=g(k)-f(k)=0ですが、f(k)=0で、f(x)=g(x)なので、g(k)=f(k)=0となります。
もともと、
g(x)=c^n-b^n,f(x)=a^nより、c^n-b^n=a^nつまり、a^n+b^n=c^n
ここで、
c=x+j,b=x,a=x-kです。
より、
g(x)=(x+j)^n-x^n,f(x)=(x-k)^n
また、
g(x)=f(x)
です。

No.566のc,bが従属では、代数学の基本定理は使えませんが、普通に因数分解できることには変わりありません。
c^2-b^2=(x+j)^2-x^2=x^2+2jx+j^2-x^2=j(2x+j)=j(x+j+x)=(c-b)(c+b)
(13,12,5)は、(c=x+j、x,x-k）より、j=1,2x+j=2x12+1=25で、1x25=5^2
で、問題ありません。

c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+・・・+cb^(n-2)+cb^(n-1)}
c^n-b^n=j{c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
=a^n
となることは、ありえないでしょう。いま、a=xyzxvwと素因数分解できたとして、a^n=x^n y^n z^n x^n v^n w^nですからc^n-b^nにはjがあるから、・・・

方程式なのだとしたら、

> したがって、g(x)は、単一の重根kを持をもたない
（「重根」じゃなく単なる「根」とすべきかと思いますが）

は、x=k 以外の根の存在は全く否定していません。

つまり、次の行の

> よって、c^n-b^n=a^nは、成り立たない。

は「成り立たない例が存在する」に訂正されるべきです。

というか、そもそも

∑ nCi k^(n-i)j^i >0

という不等式の根拠はどこから来たのでしょう。
n=4, k=-1, j=1 なら左辺は -1 になるので、不成立であるように見えますが。

DD++さま、こんばんは。

c>b>aということで、c,b,a,j,k,xとも自然数です。

c^n=(x+j)^nなので、二項定理より,
n
ΣnCi x^(n-i) j^i
i=0
となっています。i=0では
nCi x^(n-i) j^i=x^n
となります。
i=nでは、
nCi x^(n-i) j^i=j^n
となります。
二項定理をそのまま書くと
c^n=nCo x^n j^0+nC1 x^(n-1) j +nC2 x^(n-2) j^2+・・・・+nC(n-1) x^1 j^(n-1)+nCn x^0 J^n
つまり、
n
ΣnCi x^(n-i) j^i=nC0 x^n j^0+nC1 x^(n-1) j +nC2 x^(n-2) j^2+・・・・+nC(n-1) x^1 j^(n-1)+nCn x^0 J^n
i=0
ということですね。

g(x)=c^n-b^n

n
=ΣnCi x^(n-i) j^i - x^n
i=0

n
=ΣnCi x^(n-i) j^i +x^n-x^n
i=1

n
=ΣnCi x^(n-i) j^i > 0
i=1

となります。

八兵衛さん投稿を読む限り、どこを読んでも c>b>a という制限は課されていないよう見えますが。
また、a が自然数だというのなら、 x=k とはできないはずです。

各部分ごとで勝手な条件を暗黙的に付け足して話をしていて、筋が全く通っていないように見えます。

DD++さま、おはようございます。

＞八兵衛さん投稿を読む限り、どこを読んでも c>b>a という制限は課されていないよう見えますが。

すみません、フェルマーの最終定理は、a^n+b^n=c^nですから、a,b,cは自然数であり、c>a,bです。a,bは、c^n-b^n=a^nから、b>aとしました。

＞また、a が自然数だというのなら、 x=k とはできないはずです。

代数学の基本定理を利用するには、x=kでないとまずいのです。ご指摘のとおり、aは自然数なら、これはできませんね。なるほど。

＞各部分ごとで勝手な条件を暗黙的に付け足して話をしていて、筋が全く通っていないように見えます。

すみません。配慮が足りませんでした。

まあ、公式、
c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
があるので、
c^n-b^n=a^n
にはならないのですが,たまたま、2つの合成数の積がa^nになるかという話に持ってゆくかと・・・？

「自分は正しいと思う」と「確かに正しい」の間には雲泥の差があります。
だからこそ証明というものが必要になるのです。
「これは自分が正しいと判断したから正しいんだ！」と喚くのは数学的な態度ではありません。

私は

> まあ、公式、
> c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
> があるので、
> c^n-b^n=a^n
> にはならないのですが？

は何ら根拠になっていないと感じます。
使用する文字の定義や記述する式の意味を丁寧に明示した上で、論拠をはっきりさせた証明をお願いします。

DD＋＋さま、ご指摘ありがとうございます。

さて、c^2-b^2=a^2ではなくてc^2-b^2=(c-b)(c+b)です。
(c,b,a)=(13,12,5)では、
c^2-b^2=(13-12)(13+12)=1x25=5^2
となって、c^2-b^2=a^2ですね。
だから、
> まあ、公式、
> c^n-b^n=(c-b){c^(n-1)+c^(n-2)b+c^(n-3)b^2+c^(n-4)b^3+・・・+cb^(n-2)+b^(n-1)}
> があるので、
> c^n-b^n=a^n
> にはならないのですが？
は、ご指摘の通り正しくありません。
c^n-b^n=2つの合成数の積
ですから、2つの合成数の積がa^nになるかと、いう方向で、進めないとまずいですね。

ご指摘ありがとうございます。