オイラー積は間違いである。
オイラー積はhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8Dにありますが、
(１-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/5^2)(1-1/7^2)(1-1/11^2)・・・ζ(2)=1 ---(1)
となっています。
これより
{(2^2-1)/2^2}{(3^2-1)/3^2}{(5^2-1)/5^2}{(7^2-1)/7^2}{(11^2-1)/11^2}・・・ζ(2)=1 ---(2)
{(2+1)(2-1)/2^2}{(3+1)(3-1)/3^2}{(5+1)(5-1)/5^2}{(7+1)(7-1)/7^2}{(11+1)(11-1)/11^2}・・・ζ(2)=1 ---(3)
より、
{(2+1)(2-1)}{(3+1)(3-1)}{(5+1)(5-1)}{(7+1)(7-1)}{(11+1)(11-1)}・・・ζ(2)=2^2 3^2 5^2 7^2 11^2・・・・
---(4)
となります。左辺は素数の前後の数の積で、{(2+1)(2-1)}を除いて、すべて偶数ですね。一方右辺はすべての素数の2乗の積ですね。
ところでオイラーが求めたζ(2)=π^2/6です。この値はバーゼル問題で求められました。ζ関数とは、無関係に求められています。
オイラーは、バーゼル問題から発展させて、オイラー積を見つけるのです。
オイラー積に感動してリーマンはζ関数を進めてゆくのです。
ですから、ζ(2)という表現は誤解を招くかもしれませんね。
ここで、(4)式の右辺には、偶数は2^2しかないのに、左辺は、左辺は素数の前後の数の積で、{(2+1)(2-1)}を除いて、すべて偶数ですね。
それは、2の指数が左辺と右辺では明らかに違いますね。
したがって、この式は成り立ちませんね。つまり、オイラー積は間違いであるということです。
ということは、バーゼル問題も間違いであり、リーマンゼータ関数も間違いであるということですね。
まあ、無限積であるから、指数が違うと言っても押し切られてしまうでしょうね、オイラー積は問題ないと。
(4)式は左辺が無理数、右辺が自然数といっても、無意味かな・・・・
虚しい努力か・・・・・？
> 右辺が自然数
これを証明してください。
私が知る限りでは、自然数の無限積が自然数になるという証明は存在しませんので、今のところこれははちべえさんが「正しくあってほしいこと」でしかありません。
追加証明が必要な点は他にもあると思いますが、最大の問題点はまずここです。
DD++様、おはようございます。
まず、無限積について、素数は素数定理より数が求められますが、無限でした。
カントールに言わせれば、この無限は付加番無限なんでしょうね。つまり、数えられる程度の無限ですね。
数学的帰納法は、自然数範囲で成り立つものなら、自然数はカントールの可付番無限であり、数えられるものですね。すると、可付番無限であるから、自然数範囲なので、可付番無限程度なら、数学的帰納法は、使えるんじゃないかなと思ったりしますが、どうなんでしょうね。
余談ですが、有理数も、可付番無限であります。
「数学的帰納法はなぜそれで証明されたことになるのか？」を考えたことはあるでしょうか。
また、「無限とは何であるか？」を考えたことは。
これらについて、一般的にどのように考えられているかをきちんと理解すれば、加算無限で数学的帰納法を使えるわけがないということが納得できると思います。
ですからまずはその辺りを調べてみてはどうでしょう。
加算無限は、可算無限ですか？
集合論らしいですね。
カントールの可付番無限（番号をつけて数えられる無限）とどう違うのですか？
集合の要素に番号をつけて、数えられる無限だそうです。
おなじようですね。
ああ、変換ミスしてましたね。
失礼しました、「可算無限」です。
オイラー積が、認められ、リーマンのゼータ関数が認められている以上、無限の問題はないと言えます。
リーマンのゼータ関数でも、各分数は
kは素数なので、
(k^s-1)／k^s=(k-1){k^(n-1)+k^(n-2)+k^n-3)+・・・+k^2+k+1}/k^s
kが2を除いて、奇数の素数は(k-1)が偶数なので、本質的に違いはありません。
したがって、リーマンのゼータ関数も間違っています。
ζ(s)が、どうであれ、等式として、左辺と右辺の2のべき乗数が違うので、成り立ちません。
ζ(s)が、2のべき乗であることはないので、問題ありません。
とはいえ、まあ、私は、どこかに論文を発表するわけでもないし、そういう目的もないのですから。
今の話題は「数学的帰納法は無限でも有効か」ですよね。
オイラー積やゼータ関数のどこで数学的帰納法が用いられているのですか？
> 私は、どこかに論文を発表するわけでもないし、そういう目的もないのですから。
論文という形でなくても、ここへの投稿は十分「発表」に該当するでしょう。
発表である以上、可能な限り正しくあろうとする心構えは必要です。
DD++様、おはようございます。
＞今の話題は「数学的帰納法は無限でも有効か」ですよね。
そうなっていますね。私としては、ただ無限という漠然ではなく、たとえば、可付番無限に絞った場合、オイラー積もリーマンのゼータ関数も自然数の範囲なのでしょうか、わかりませんが、無限ということを気にすることなく成立しているのは事実です。
ですから、無限の種類について、検討する必要があるでしょう。
＞オイラー積やゼータ関数のどこで数学的帰納法が用いられているのですか？
つかわれていません。
＞論文という形でなくても、ここへの投稿は十分「発表」に該当するでしょう。
発表である以上、可能な限り正しくあろうとする心構えは必要です。
ご指摘、理解できました。
> 無限ということを気にすることなく成立しているのは事実です。
違います。
無限ということを気にした上で、非常に慎重に論理を確認した上で成立しています。
無限ということをある程度軽く扱ってわかりやすく「説明」や「解説」をすることはありますが、それらは「証明」ではないのです。
DD++様、おはようございます。
＞無限ということを気にした上で、非常に慎重に論理を確認した上で成立しています。
それは、オイラーもリーマンもどのようにして、裏付けられたのですか？
＞無限ということをある程度軽く扱ってわかりやすく「説明」や「解説」をすることはありますが、それらは「証明」ではないのです。
確かに、改めてそれを証明されていませんね。
> オイラーもリーマンもどのようにして、裏付けられたのですか？
掲示板のレス程度に収まる話じゃないので、「無限数列の絶対収束」「複素関数の解析接続」にきちんと触れながら証明している書籍等を探してみてください。
> 改めてそれを証明されていませんね。
証明はされています。
はちべえさんが読んだことないだけです。
