πの出現
ζ(3)=1 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + 1/5^3 + 1/6^3 + 1/7^3 +･････
にはπの姿は現れないが
1 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 + 1/9^3 -･････=π^3/32
には、ちゃんとπが出現してくる。
ここに
S1=1/(1^3*2^3) + 1/(2^3*3^3) + 1/(3^3*4^3) + 1/(4^3*5^3) +･････
S2=1/(1^3*3^3) + 1/(2^3*4^3) + 1/(3^3*5^3) + 1/(4^3*6^3) +･････
にもπは姿を現します。
ではどんなものになるでしょうか？
S1 = 10 - π^2 、S2 = (21 - 2π^2)/32 ですか？
1/(n^3(n+1)^3)=(6n^2-3n+1)/n^3-(6(n+1)^2+3(n+1)+1)/(n+1)^3
なので
S1=Σ[n=1～∞]1/(n^3(n+1)^3)
=Σ[n=1～∞](6n^2-3n+1)/n^3-(6(n+1)^2+3(n+1)+1)/(n+1)^3
=(6*1^2+3*1+1)/1^3-6ζ(2)
=10-π^2
1/(n^3(n+2)^3)=(1/16){(3n^2-3n+2)/n^3-(3(n+2)^2+3(n+2)+2)/(n+2)^3}
なので
S2=Σ[n=1～∞]1/(n^3(n+2)^3)
=(1/16)Σ[n=1～∞]{(3n^2-3n+2)/n^3-(3(n+2)^2+3(n+2)+2)/(n+2)^3}
=(1/16){(3*1^2+3*1+2)/1^3+(3*2^2+3*2+2)/2^3-6ζ(2)}
=(21-2π^2)/32
