😊出会いの泉😊

昔、どこかで聞いたような問題ですね！
(1)　n=3　のとき、　３桁の数は、３の倍数なので、各位の数の和は、３の倍数
　可能性は、　３、６、９、１２、１５、１８、２１、２４、２７　の何れか。
　上2桁が2で割れるので、上2桁目は、　０、２、４、６、８　の何れか。
　使える数字は、１，２，３で、各位の数が全て相異なることに注意して、
　上2桁目が　２　のとき、３桁の数の可能性は、
　１２３、３２１
　以上から、３桁の整数の中で、最小値は、１２３　で、最大値は、３２１　である。
(2)　n=4　のとき、使える数字は、１、２、３、４で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
4桁が4で割れる。
という条件から、まず、4桁が4で割れるためには、下2桁が4の倍数であればよいので、
その可能性は、　○○１２、○○２４、○○３２　の３通り
○○１が、３の倍数となることはない。
○○２が、３の倍数となるのは、　１３２、３１２
○○３が、３の倍数となることはない。
　以上から、　１３２４、３１２４　で、この中に、上2桁が2で割れるものはない。
　よって、n=4　のとき、解なし
(3)　n=5　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
5桁が5で割れる。
という条件から、一の位は5と確定し、n=4　のときと同様に、解なしとなる。
(4)　n=6　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
6桁が6で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、（千の位，百の位）も可能性は、
　（１，２）、（１，６）、（２，４）、（３，２）、（３，６）、（６，４）
　また、万の位の可能性は、２、４、６　なので、以上を組み合わせると、可能性は、
　○４１２５○、○６１２５○、○２１６５○、○４１６５○、○６２４５○、○４３２５○、
　○６３２５○、○２３６５○、○４３６５○、○２６４５○
　残りの数字を書き加えて、条件を満たすものを探すと、
　３２１６５４　、１２３６５４
の２通り存在する。
(5)　n=7　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６、７で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
上6桁が6で割れる。
7桁が7で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、n=6　のときと同様に考えて、可能性は、
　○４１２５○○、○６１２５○○、○２１６５○○、○４１６５○○、○６２４５○○、○４３２５○○、
　○６３２５○○、○２３６５○○、○４３６５○○、○２６４５○○、○４７２５○○、○６７２５○○、
　○２７６５○○、○４７６５○○
　残りの数字を書き加えて、条件を満たすものはないので、解なしとなる。
(6)　n=8　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６、７、８で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
上6桁が6で割れる。
上7桁が7で割れる。
8桁が8で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、n=7　のときと同様に考えて、可能性は、
　○４１２５○○○、○６１２５○○○、○８１２５○○○、○２１６５○○○、○４１６５○○○、
　○８１６５○○○、○６２４５○○○、○８２４５○○○、○４２８５○○○、○６２８５○○○、
　○４３２５○○○、○６３２５○○○、○８３２５○○○、○２３６５○○○、○４３６５○○○、
　○８３６５○○○、○２４８５○○○、○６４８５○○○、○２６４５○○○、○８６４５○○○、
　○２６８５○○○、○４６８５○○○、○４７２５○○○、○６７２５○○○、○８７２５○○○、
　○２７６５○○○、○４７６５○○○、○８７６５○○○、○２８４５○○○、○６８４５○○○
　残りの数字を書き加えて、条件を満たすものを探すと、　３８１６５４７２　の１通り存在する。

条件aについて
(1)～(7)共通
条件から、偶数桁目は偶数でなければならない。…(a)
条件から、上から3桁ごとの合計は3の倍数でなければならない。…(b)
(3)～(7)共通
条件から、5桁目は5でなければならない。…(c)

(1)
(a)から123,321しかあり得ないが、これはどちらも条件を満たす。

(2)
(a)から4桁目は2か4だが、上3桁が3で割り切れるためには4桁目は4でなければならない。
しかし3桁目が奇数で4桁目が4である数は4で割り切れないので解なし。

(3)
(c)から5桁目は5なので上4桁は(2)を満たさなければならない。よって解なし。

(4)
使える偶数は2,4,6なので、(a)(b)(c)から、下3桁は456または654でなけれぱならない。
3桁目が奇数で4桁目が4だと上4桁が4で割り切れないので、下3桁は654と決まる。
すると上3桁は1,2,3となり(1)を満たす必要があるので、上3桁は123か321。
従って条件を満たす解は123654と321654。

(5)
使える偶数は(4)と同じなので、4桁目～6桁目は654。
残る1,2,3,7は足して3で割ると1余るので、7桁目は1か7。
(a)により、7桁目が1の場合は先頭3桁は327か723、7桁目が7の場合は先頭3桁は123か321と決まるが、
3276541,7236541,1236547,3216547はいずれも7で割り切れず、解なし。

(6)
使える偶数は2,4,6,8であり、3桁目が奇数で上4桁が4で割り切れなければならないことから
4桁目は2か6なので、(a)(b)(c)から4桁目～6桁目は258か654。
258のとき残る数は1,3,4,6,7だが、7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには、
少なくとも8桁目は4で割り切れない偶数すなわち6でなければならず、
(a)(b)から14725836,74125836
654のとき残る数は1,2,3,7,8だが、7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには、
少なくとも8桁目は4で割り切れない偶数すなわち2でなければならず、
(a)(b)から18365472,38165472,38765412,78365412
このうち「上7桁が7で割り切れ上8桁が8で割り切れる」を満たすものは38165472のみ。

(7)
(6)と同様に xxx258xxx, xxx654xxx
7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには xxx258x6x, xxx654x2x
残りの偶数を2桁目に入れて x4x258x6x, x8x654x2x
前者は1桁目と3桁目に1,7を入れなければならないが、
(6)から上8桁が14725836,74125836は条件を満たさないので、可能性があるのは
147258963,741258963
しかしいずれも「上7桁が7で割り切れる」という条件を満たさない。
後者は1桁目と3桁目に(1または7)(3または9)を入れなければならないので、可能性があるのは
183654729,183654927,189654327,189654723,381654729,381654927,387654129,387654921,
783654129,783654921,789654123,789654321,981654327,981654723,987654123,987654321
このうち上7桁が7で割り切れるものは381654729と783654921だが、後者は上8桁が8で割り切れないので
条件を満たす解は381654729のみ。

(条件aのまとめ)
(1) 123,321
(4) 123654,321654
(6) 38165472
(7) 381654729
(2)(3)(5)は解なし。

条件bについて
「下2桁が2で割れる」と「下9桁が9で割れる」は無視してよい。
「下4桁が4で割れる」から
xx12,xx32,xx52,xx72,xx24,xx64,xx84,xx16,xx36,xx56,xx76,xx28,xx48,xx68
「下3桁が3で割れる」の条件を加えて
x312,x612,x912,x132,x432,x732,x852,x372,x672,x972,x324,x624,
x924,x264,x564,x864,x384,x684,x984,x216,x516,x816,x936,x156,
x456,x756,x276,x576,x876,x528,x348,x648,x948,x168,x468,x768
このうち「下8桁が8で割れる」ものはちょうど半数で
x312,x912,x432,x672,x624,x264,x864,x384,x984,x216,x816,x936,
x456,x576,x528,x648,x168,x768
残る条件は「下6桁が6で割れる」「下7桁が7で割れる」だが、
手作業で全通り計算するのは非常に大変なので最小値と最大値だけを考えることにする。
「下6桁が6で割れる」という条件から上3桁の合計は3の倍数でなければならないので、上3桁は
小さい順に123,126,129,132,135,138,…
大きい順に987,984,981,978,975,972,…
上3桁が123の場合、下3桁は上記のうち1,2,3を含まないものなので
864,984,456,576,648,768
上から4桁目が4だとすると下3桁は576か768なので
123489576,123498576,123459768,123495768
しかしこれらはいずれも下7桁が7で割り切れない。
上から4桁目が5だとすると下3桁は864,984,648,768なので候補は
123579864,123597864,123567984,123576984,123579648,123597648,123549768,123594768
このうち123567984だけ下7桁が7で割り切れて条件bを満たすので、これが最小値。
上3桁が987の場合、下3桁は上記のうち9,8,7を含まないものなので
312,432,624,264,216,456
上から4桁目が6だとすると、下3桁は312か432なので
987654312,987645312,987651432,987615432
しかしこれらはいずれも下7桁が7で割り切れない。
上から4桁目が5だとすると、下3桁は312,432,624,264,216なので候補は
987564312,987546312,987561432,987516432,987531624,
987513624,987531264,987513264,987543216,987534216
このうち下7桁が7で割り切れるものは987564312と987516432の二つであり、
987564312の方が大きいのでこれが最大値。

(条件bの答え)
最小値は 123567984 、最大値は 987564312