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61,272

スレッドNo.671

数の切断

空欄がn個あり
□□□□
䞭に1nの数字が぀ず぀党お入る。
このずき出来るn桁の敎数で、以䞋の条件がすべお成り立぀のもを探しお䞋さい。

条件a䞊2桁が2で割れる。
     侊3桁が3で割れる。
     侊4桁が4で割れる。
     
     n桁がnで割れる。

(1)n=3
(2)n=4
(3)n=5
(4)n=6
(5)n=7
(6)n=8
(7)n=9
での敎数はそれぞれ䜕


次にこの条件を

条件b䞋2桁が2で割れる。
     例3桁が3で割れる。
     例4桁が4で割れる。
     
     n桁がnで割れる。

ずし
n=9で,
この条件を党お満たす9桁の敎数の䞭で探そうずするず
例2桁(最埌が偶数ず䞋5桁(最埌が5)ずなり盞反する。
そこで䞋5桁の条件は陀倖し、その他は条件が満たされる9桁の敎数の䞭で
最小ず最倧のものは䜕でしょう

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月15日 09:52)

昔、どこかで聞いたような問題ですね
(1) n=3 のずき、 桁の数は、の倍数なので、各䜍の数の和は、の倍数
 可胜性は、 、、、、、、、、 の䜕れか。
 䞊2桁が2で割れるので、䞊2桁目は、 、、、、 の䜕れか。
 䜿える数字は、で、各䜍の数が党お盞異なるこずに泚意しお、
 䞊2桁目が  のずき、桁の数の可胜性は、
 、
 以䞊から、桁の敎数の䞭で、最小倀は、 で、最倧倀は、 である。
(2) n=4 のずき、䜿える数字は、、、、で、各䜍の数が党お盞異なり、
侊2桁が2で割れる。
侊3桁が3で割れる。
4桁が4で割れる。
ずいう条件から、たず、4桁が4で割れるためには、䞋2桁が4の倍数であればよいので、
その可胜性は、 ○○、○○、○○ の通り
○○が、の倍数ずなるこずはない。
○○が、の倍数ずなるのは、 、
○○が、の倍数ずなるこずはない。
 以䞊から、 、 で、この䞭に、䞊2桁が2で割れるものはない。
 よっお、n=4 のずき、解なし
(3) n=5 のずき、䜿える数字は、、、、、で、各䜍の数が党お盞異なり、
侊2桁が2で割れる。
侊3桁が3で割れる。
侊4桁が4で割れる。
5桁が5で割れる。
ずいう条件から、䞀の䜍は5ず確定し、n=4 のずきず同様に、解なしずなる。
(4) n=6 のずき、䜿える数字は、、、、、、で、各䜍の数が党お盞異なり、
侊2桁が2で割れる。
侊3桁が3で割れる。
侊4桁が4で割れる。
侊5桁が5で割れる。
6桁が6で割れる。
ずいう条件から、十の䜍は5ず確定し、千の䜍癟の䜍も可胜性は、
 、、、、、
 たた、䞇の䜍の可胜性は、、、 なので、以䞊を組み合わせるず、可胜性は、
 ○○、○○、○○、○○、○○、○○、
 ○○、○○、○○、○○
 残りの数字を曞き加えお、条件を満たすものを探すず、
  、
の通り存圚する。
(5) n=7 のずき、䜿える数字は、、、、、、、で、各䜍の数が党お盞異なり、
侊2桁が2で割れる。
侊3桁が3で割れる。
侊4桁が4で割れる。
侊5桁が5で割れる。
侊6桁が6で割れる。
7桁が7で割れる。
ずいう条件から、十の䜍は5ず確定し、n=6 のずきず同様に考えお、可胜性は、
 ○○○、○○○、○○○、○○○、○○○、○○○、
 ○○○、○○○、○○○、○○○、○○○、○○○、
 ○○○、○○○
 残りの数字を曞き加えお、条件を満たすものはないので、解なしずなる。
(6) n=8 のずき、䜿える数字は、、、、、、、、で、各䜍の数が党お盞異なり、
侊2桁が2で割れる。
侊3桁が3で割れる。
侊4桁が4で割れる。
侊5桁が5で割れる。
侊6桁が6で割れる。
侊7桁が7で割れる。
8桁が8で割れる。
ずいう条件から、十の䜍は5ず確定し、n=7 のずきず同様に考えお、可胜性は、
 ○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、
 ○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、
 ○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、
 ○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、
 ○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、
 ○○○○、○○○○、○○○○、○○○○、○○○○
 残りの数字を曞き加えお、条件を満たすものを探すず、  の通り存圚する。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月16日 11:02)

条件aに぀いお
(1)(7)共通
条件から、偶数桁目は偶数でなければならない。 (a)
条件から、䞊から3桁ごずの合蚈は3の倍数でなければならない。 (b)
(3)(7)共通
条件から、5桁目は5でなければならない。 (c)

(1)
(a)から123,321しかあり埗ないが、これはどちらも条件を満たす。

(2)
(a)から4桁目は2か4だが、䞊3桁が3で割り切れるためには4桁目は4でなければならない。
しかし3桁目が奇数で4桁目が4である数は4で割り切れないので解なし。

(3)
(c)から5桁目は5なので䞊4桁は(2)を満たさなければならない。よっお解なし。

(4)
䜿える偶数は2,4,6なので、(a)(b)(c)から、䞋3桁は456たたは654でなけれぱならない。
3桁目が奇数で4桁目が4だず䞊4桁が4で割り切れないので、䞋3桁は654ず決たる。
するず䞊3桁は1,2,3ずなり(1)を満たす必芁があるので、䞊3桁は123か321。
埓っお条件を満たす解は123654ず321654。

(5)
䜿える偶数は(4)ず同じなので、4桁目6桁目は654。
残る1,2,3,7は足しお3で割るず1䜙るので、7桁目は1か7。
(a)により、7桁目が1の堎合は先頭3桁は327か723、7桁目が7の堎合は先頭3桁は123か321ず決たるが、
3276541,7236541,1236547,3216547はいずれも7で割り切れず、解なし。

(6)
䜿える偶数は2,4,6,8であり、3桁目が奇数で䞊4桁が4で割り切れなければならないこずから
4桁目は2か6なので、(a)(b)(c)から4桁目6桁目は258か654。
258のずき残る数は1,3,4,6,7だが、7桁目が奇数で䞊8桁が8で割り切れるためには、
少なくずも8桁目は4で割り切れない偶数すなわち6でなければならず、
(a)(b)から14725836,74125836
654のずき残る数は1,2,3,7,8だが、7桁目が奇数で䞊8桁が8で割り切れるためには、
少なくずも8桁目は4で割り切れない偶数すなわち2でなければならず、
(a)(b)から18365472,38165472,38765412,78365412
このうち「䞊7桁が7で割り切れ䞊8桁が8で割り切れる」を満たすものは38165472のみ。

(7)
(6)ず同様に xxx258xxx, xxx654xxx
7桁目が奇数で䞊8桁が8で割り切れるためには xxx258x6x, xxx654x2x
残りの偶数を2桁目に入れお x4x258x6x, x8x654x2x
前者は1桁目ず3桁目に1,7を入れなければならないが、
(6)から䞊8桁が14725836,74125836は条件を満たさないので、可胜性があるのは
147258963,741258963
しかしいずれも「䞊7桁が7で割り切れる」ずいう条件を満たさない。
埌者は1桁目ず3桁目に(1たたは7)(3たたは9)を入れなければならないので、可胜性があるのは
183654729,183654927,189654327,189654723,381654729,381654927,387654129,387654921,
783654129,783654921,789654123,789654321,981654327,981654723,987654123,987654321
このうち䞊7桁が7で割り切れるものは381654729ず783654921だが、埌者は䞊8桁が8で割り切れないので
条件を満たす解は381654729のみ。

(条件aのたずめ)
(1) 123,321
(4) 123654,321654
(6) 38165472
(7) 381654729
(2)(3)(5)は解なし。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

条件bに぀いお
「䞋2桁が2で割れる」ず「䞋9桁が9で割れる」は無芖しおよい。
「䞋4桁が4で割れる」から
xx12,xx32,xx52,xx72,xx24,xx64,xx84,xx16,xx36,xx56,xx76,xx28,xx48,xx68
「䞋3桁が3で割れる」の条件を加えお
x312,x612,x912,x132,x432,x732,x852,x372,x672,x972,x324,x624,
x924,x264,x564,x864,x384,x684,x984,x216,x516,x816,x936,x156,
x456,x756,x276,x576,x876,x528,x348,x648,x948,x168,x468,x768
このうち「䞋8桁が8で割れる」ものはちょうど半数で
x312,x912,x432,x672,x624,x264,x864,x384,x984,x216,x816,x936,
x456,x576,x528,x648,x168,x768
残る条件は「䞋6桁が6で割れる」「䞋7桁が7で割れる」だが、
手䜜業で党通り蚈算するのは非垞に倧倉なので最小倀ず最倧倀だけを考えるこずにする。
「䞋6桁が6で割れる」ずいう条件から䞊3桁の合蚈は3の倍数でなければならないので、䞊3桁は
小さい順に123,126,129,132,135,138,

倧きい順に987,984,981,978,975,972,

侊3桁が123の堎合、䞋3桁は䞊蚘のうち1,2,3を含たないものなので
864,984,456,576,648,768
䞊から4桁目が4だずするず䞋3桁は576か768なので
123489576,123498576,123459768,123495768
しかしこれらはいずれも䞋7桁が7で割り切れない。
䞊から4桁目が5だずするず䞋3桁は864,984,648,768なので候補は
123579864,123597864,123567984,123576984,123579648,123597648,123549768,123594768
このうち123567984だけ䞋7桁が7で割り切れお条件bを満たすので、これが最小倀。
侊3桁が987の堎合、䞋3桁は䞊蚘のうち9,8,7を含たないものなので
312,432,624,264,216,456
䞊から4桁目が6だずするず、䞋3桁は312か432なので
987654312,987645312,987651432,987615432
しかしこれらはいずれも䞋7桁が7で割り切れない。
䞊から4桁目が5だずするず、䞋3桁は312,432,624,264,216なので候補は
987564312,987546312,987561432,987516432,987531624,
987513624,987531264,987513264,987543216,987534216
このうち䞋7桁が7で割り切れるものは987564312ず987516432の二぀であり、
987564312の方が倧きいのでこれが最倧倀。

(条件bの答え)
最小倀は 123567984 、最倧倀は 987564312

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

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