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スレッドNo.688

無限の深遠さ 続き

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

>有理数体は(無限回の)四則演算について閉じている、という概念が真ならば
任意の無理数が有理数になってしまいます。

Wikipedia バーゼル問題 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

の、収束することの証明で、
∞
Σ 1/{n(n-1)}=Σ(1/(n-1) - 1/n}=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+・・・=1
n=2

という計算があります。有理数の無限和ですが、有理数で閉じています。

これは、1/1+0+0+0+・・・・=1
以前言った、有限和+(0の無限和)=有限和の例です。

まあ、無限と言っても自然数の範囲なので、無限という表現は正しくないのかもしれません。

また、
>ある
単調増加有理数列 a_n
単調減少有理数列 b_n
が存在して、任意の正の自然数 n について
a_n < e < b_n
となり、かつ
n → ∞ のときに
b_n - a_n → 0
とすることができるからです。

a_n = (1 +1/n)^n
b_n = (1 +1/n)^(n +1)
ですが、で、n→∞となると、a_n→eになりますね。
b_n=(1+1/n)a_nなので、n→∞となると、b_n→eになりますね。
ですから、a_n < e < b_nは、e<e<eで無理数です。
これは、無理数になるでしょう。

Dengan kesaktian Indukmu様は、教科書に書いてある極めてまっとうなことを言っているのでしょう。

それは、理解できますが、初項a、公比rの等比級数の和の公式は
a(r^n-1)
----------- ただし、r≠1
 r-1
ですが、数学公式集に、r<1ならば、
a
----------- 
 1-r
とも書いてあります。これは、lim r^n→0ならわかるのですが、lim r^n=0となっています。

いろいろそういう問題は、あちこちにあって、教科書はおかしいのです。

まあ、余計なことをいっぱい書きましたが、私としては、スレッドは終わったつもりでいたのです。

でも、Dengan kesaktian Indukmu様は、今日追記されまして、20項の投稿の上限に達しましたので、また、スレッドを起こしました。

すみません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年03月17日 21:44)

>>有理数体は(無限回の)四則演算について閉じている、という概念が真ならば
任意の無理数が有理数になってしまいます。

10進数の小数は、
∞
Σ  ai/10^i  ただし0≦ai≦9の整数
i=1
です。したがって、全部有理数なのです。つまり、私に言わせれば、10進数の小数は無理数はあつかえないのです。

循環小数は、余りが循環するから循環小数で無限小数で有理数です。10進数の小数で表せるものです。
でも、無限小数で循環する根拠がないつまり、余りが循環するということがないものは、無理数であると定義されています。つまり、これは、10進数の小数で扱えないものであるとすればいいのではないでしょうか?

たとえば、√2は、10進数の小数で扱えないものでありますよね。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年03月17日 21:41)

はちべえさんが言ってることって、「この内容は自分が気に入らないから数学の世界から排除すべきだ!」ということですよね。
少なくとも私にはそうとしか捉えられません。

数学の世界は開かれているべきです。
気に入らないというだけの非論理的な理由で何かを排除する人は数学の世界に来るべきではありません。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、おはようございます。

>はちべえさんが言ってることって、「この内容は自分が気に入らないから数学の世界から排除すべきだ!」ということですよね。
少なくとも私にはそうとしか捉えられません。

数学の世界は開かれているべきです。
気に入らないというだけの非論理的な理由で何かを排除する人は数学の世界に来るべきではありません。

そんなことは、言ってません。おかしいのではないですか?と言っているだけです。感情論ではありません。

背理法については、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/hairihou.pdf
にまとめてあります。

{奇数の完全数はない}は、{奇数である}、{完全数である}、{存在する}の3つの論理積という配慮が抜けています。

引用して返信編集・削除(未編集)

私のバーゼル問題の研究の途中からですが、

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/20230313_BMP/2023-3-18-001.png
にしめすように、有理数の無限和が、有理数である例はいくつでもあります。

下から2番めの式と、一番下の式から無限和の一部を切り出しても有限和で、有理数で閉じています。

一番下の式では、kをどんどん大きくしてゆくと、有理数で「閉じている」ことになります。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年03月18日 08:03)

はい、有理数の無限和は有理数に収束する場合ももちろんありますよ。
しかし、それは有理数で閉じていることの根拠には全くなりません。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、こんばんは。

まだ、研究中なので、また新しい何かを発見したら、結論にたどり着けるかもしれません。

引用して返信編集・削除(未編集)

有理数体は有限回の四則演算について閉じていますが、有理数の無限和は有理数に収束する場合もありますし、無理数に収束する場合もあります。

既に一例をお示しいたしました。

閉じていることについての
はちべえさんの誤解は
修正されるべきです。

この誤解が解けるまでは、
はちべえさんは、呪いにかかっているようなものです。 人生の無駄遣いです。

はちべえさんは、いちど、妄執を捨てて
大学初年度の教科書をきちんと学ぶべきです。呪いを解くために。

稠密と完備との違いがわかれば、
素敵で面白い世界が目の前にあることに
感動することでしょう。

引用して返信編集・削除(未編集)

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

ご指摘、ご指導ありがとうございます。

さて、こんな生意気なことを考えました。ご立腹されたら、お許しください。_(_._)_
****************************
教員とは、それができるまでの歴史や経緯を無視して、わかりやすいように、筋道立てて教えます。したがって、生徒に対しては、筋道のステップを踏んでいるかの審査官になります。
ところで、生徒のオイラー君が1/n^2の和が、収束が極めて悪いのに、これは多分、π^2/6というのです。
審査官の貴方は、常識的に、「おいおい自然数からどこからπなんか出てくるんだ?」と思うでしょう?
当然却下ですよね。

導電性プラスチックでノーベル賞をもらった白川博士は、研究室の韓国人学生が、プラスチックを作る実験で、配合をとんでもなく違えて、とんでもないプラスチックを作るのです。そこから、博士のノーベル賞につながるのです。そのおかげで、我々の多くの生活に利用されて、高性能なものができているのです。

だから、私のとんでもない間違いから、普通では有りないことが起きているかもしれません。そこから、発見すれば、大博士だし、常識的にありえないとすれば、ただの教員です。

審査官は、ふつうのコトしか期待しません。異常があってはならないですからね。

研究者と審査官の違いです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年03月19日 17:01)

> これは多分、π^2/6というのです。
> 当然却下ですよね。

「多分こうです」なら却下ですね。
はちべえさんはこの掲示板で「多分こうです」しか言わないのでこの掲示板での意見はほとんど誰にも聞いてもらえていませんね。

「こうであることが証明できました」で証明が正しかったなら当然受け入れます。
オイラーなどの数学者は正しい証明を残しているので結果が受け入れられてます。

引用して返信編集・削除(未編集)

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