指定の個数の格子点を有する２変数方程式
2022年12月13日付けのらすかるさんが投稿されていた
指定の個数の格子点を持つ２変数方程式で
2*n+2 (n≧0)の偶数では
4*x^2+y^2=5^n
2*n+1 (n≧0)の奇数では
(4*x+1)^2+y^2=25^n
で示されていた。
偶然下記のサイトに遭遇し
https://mathworld.wolfram.com/SchinzelCircle.html
n=2*k (k=1,2,3,･･･)では
(x-1/2)^2+y^2=5^(k-1)/4
n=2*k+1 (k=0,1,2,3,･･･)では
(x-1/3)^2+y^2=5^(2*k)/9
が示されていた。
これに従ってn; での格子点を計算すると
2;
(0,0)
(1,0)
4;
(0,±1)
(1,±1)
6;
(-2,0)
(-1,±2)
(2,±2)
(3,0)
8;
(-5,±1)
(-2,±5)
(3,±5)
(6,±1)
10;
(-12,0)
(-7,±10)
(-3,±12)
(4,±12)
(8,±10)
(13,0)
12;
(-27,±5)
(-20,±19)
(-12,±25)
(13,±25)
(21,±19)
(28,±5)
14;
(-62,0)
(-58,±22)
(-37,±50)
(-17,±60)
(18,±60)
(38,±50)
(59,±22)
(63,0)
16;
(-137,±25)
(-102,±95)
(-62,±125)
(-14,±139)
(15,±139)
(63,±125)
(103,±95)
(138,±25)
18;
(-312,0)
(-292,±110)
(-263,±168)
(-187,±250)
(-87,±300)
(88,±300)
(188,±250)
(264,±168)
(293,±110)
(313,0)
20;
(-687,±125)
(-599,±359)
(-512,±475)
(-312,±625)
(-72,±695)
(73,±695)
(313,±625)
(513,±475)
(600,±359)
(688,±125)
･･････････････
一方n;奇数では
1;
(0,0)
3;
(-1,±1)
(2,0)
5;
(-8,0)
(-2,±8)
(7,±5)
7;
(-33,±25)
(12,±40)
(15,±39)
(42,0)
9;
(-208,0)
(-73,±195)
(-58,±200)
(167,±125)
(176,±112)
11;
(-878,±560)
(-833,±625)
(292,±1000)
(367,±975)
(1039,±79)
(1042,0)
13;
(-5208,0)
(-5193,±395)
(-1833,±4875)
(-1458,±5000)
(3918,±3432)
(4167,±3125)
(4392,±2800)
15;
(-21958,±14000)
(-20833,±15625)
(-19588,±17160)
(5375,±25481)
(7292,±25000)
(9167,±24375)
(25967,±1975)
(26042,0)
17;
(-130208,0)
(-129833,±9875)
(-54944,±118048)
(-45833,±121875)
(-36458,±125000)
(-26873,±127405)
(97942,±85800)
(104167,±78125)
(109792,±70000)
19;
(-573921,±307359)
(-548958,±350000)
(-520833,±390625)
(-489708,±429000)
(134367,±637025)
(182292,±625000)
(229167,±609375)
(274722,±590240)
(649167,±49375)
(651042,0)
････････････
と確かに指定するだけの格子点を円周上に持っていることができました。
更に関連項目を辿ると
https://mathworld.wolfram.com/CircleLatticePoints.html
で既にあのガウスが円と格子点での関係を300年も前に認識していることを知らされた。
今私たちはやっとコンピュータの力を借りながら、天才たちが見ていた世界を確認できる。
