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スレッドNo.716

円周率の数が示す別の意味

nを0を含む自然数とするとき、

n=a^2+b^2 (a,b∈Z)

で表すことが出来る方法をr(n)で表せば

0=0^2+0^2
からr(0)=1

1=1^2+0^2
=(-1)^2+0^2
=0^2+1^2
=0^2+(-1)^2
からr(1)=4

2=1^2+1^2
=1^2+(-1)^2
=(-1)^2+1^2
=(-1)^2+(^1)^2
からr(2)=4

3=a^2+b^2とする組合せは見つけられない。
r(3)=0

他にもn=6,7,11,12,14,15,・・・にも0が当てはまる。

上の2の構造と同じくr(4)=4

次に
5=2^2+1^2に対する符号+,- とa,bでの数字の選び方で合計4*2=8通り構成可能
r(5)=8

8=2^2+2^2-->r(8)=4
9=3^2+0^2-->r(9)=4
10=3^2+1^2-->r(10)=8

さてここまででn=0,1,2,3,・・・,10に対応して並ぶr(n)の数列が
1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8
そこでここまでのnに対する総合計が1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8=37

この理屈は全く同じで、この作業をずっと先までやっていくと最後の総合計数に何が起こると
想像できますか?


データを利用して見てみましょう。(A004018)
n=10を超えて100まで伸ばすと
1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8,0,0,8,・・・,0,8,4,0,12
したがってここまでの総和は37+0+0+8+・・・+0+8+4+0+12=317
つぎは100を超えて1000までやります。
1,4,4,0,4,・・・・・,0,8,4,0,12,8,0,0,8,0,・・・・・,0,8,0,0,16
このすべての合計は3149

そこで一般に10^nまでに並ぶr(i)(i=0,1,2,3,・・・,10^n)
の合計をS(n)で集計すれば (A068785)
n; S(n)
0; 5
1; 37
2; 317
3; 3149
4; 31417
5; 314197
6; 3141549
7; 31416025
8; 314159053
9; 3141592409
10; 31415925457
11; 314159264013
12; 3141592649625
13; 31415926532017
14; 314159265350589
15; 3141592653588533
16; 31415926535867961
17; 314159265358987341
18; 3141592653589764829
19; 31415926535897744669
20; 314159265358978759661
21; 3141592653589792630933
22; 31415926535897931085161
23; 314159265358979322639853
24; 3141592653589793234680617
25; 31415926535897932384615349
26; 314159265358979323823745421
27; 3141592653589793238428435569
28; 31415926535897932384568540625
29; 314159265358979323846212602093
30; 3141592653589793238462579472373
31; 31415926535897932384626459376945
32; 314159265358979323846263865968245
33; 3141592653589793238462643289640533
34; 31415926535897932384626432234171745
35; 314159265358979323846264338399627025
36; 3141592653589793238462643379445627833

どこかで見たような数字になっていませんか?

そう円周率π!
gp > Pi
%24 = 3.1415926535897932384626433 832795028841971693993751

小数点以下25桁までの(n=35の方がより近くなっている)
ここまで数字が一致することはとても不思議です。

一方は整数世界での場合の総数であり
もう一方は円周と直径の比率であり
この似ても似つかぬもの同士がかくも同じ数字の配列を持つこと自体が驚き
桃ノ木、山椒の木、ブリキに狸に蓄音機です。

100個や1000個の調査ぐらいでは掴めない法則が
10^36(個)にも及ぶものを眺めてみれば一目瞭然です。

ご存知だった人は特に驚かれないでしょうが、円周率は小学校以来知ってはいましたが
それ以上のものではなく、人生も終わりに近づく頃になって初めて別の意味でその立ち姿
をまじまじと見つめ直す感覚です。

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GAI様、おはようございます。

大発見ですね!

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x^2+y^2≦r^2 を満たす自然数の組 (x,y) の個数を N とするとき、lim[r→∞] N/r^2 を求めよ。
……みたいな問題を解いたことがあるんですが、あれはどこかの大学入試だったか、それとも別の何かだったか。
格子点と原点中心の円を考えれば答えの予測はすぐ立ちますが、論証が非常に面倒くさいという。

ということで結果は知っていたしπが出てくるのも意外とも思わなかったのですが、私には別の点に驚きがありました。
上記の問題を解いた当時から「きっと 10^n までやったら π をだいたい n 桁まで出せるんだろうな」と予想していたのですが、そうでもないんですねこれ。
どういう収束速度なんだろう。

引用して返信編集・削除(未編集)

>格子点と原点中心の円を考えれば答えの予測はすぐ立ちますが、論証が非常に面倒くさいという。

ああ、思い出したモンテカルロ法で円周率を求めるのがありましたね。極めて、収束性の悪いプログラムであったような記憶があります。

違います?https://manabitimes.jp/math/1182

GAI様のは、全然違うような・・・?

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年03月22日 12:52)

モンテカルロ法は正の実数 (x,y) を無作為に決めるやつですね。
私が言っているのは正の整数 (x,y) を順番に全部数え上げるやつです。
そして GAI さんのは正負問わず整数 (x,y) を全部数え上げるやつ。

私と GAI さんのは符号の違いの有無で約 4 倍差が出ますが、ほぼほぼ同じ問題です。
モンテカルロ法はまた違う話です。

引用して返信編集・削除(未編集)

調べてみたら、GAI さんや私の方法は「システマティック法」と呼ばれるみたいですが、あんまり情報が出てきませんね。

モンテカルロ法で n 個点を打って求めた円周率を α(n)、
システマティック法で x^2+y^2 ≦ n/4 の整数解の個数から求めた円周率を β(n)
システマティック法で x^2+y^2 ≦ n の自然数解の個数から求めた円周率を γ(n)
とするとき、
n→∞ 最も早く収束するのはどれなんでしょうね。
多分 β(n) と γ(n) は変わらなさそうですが。

引用して返信編集・削除(未編集)

ランダムのモンテカルロ法とは、違うのですね。

全部数え上げる方法なのですね。

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