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スレッドNo.735

予測 続き

> 0.05の6乗根とe^(-0.4992887)

その -0.4992887 の元がなんだったか確認すると、(1/6)log0.05 なので……。

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うっかりしました。

log0.05=-2.9957323 ∴(1/6)log0.05=-0.4992887 ∴log0.05^(1/6)=-0.4992887 ∴e^(-0.4992887)=0.05^(1/6)

でしたね。

ところで、うんざりはちべえさんのNo.710の投稿の「らすかる様の計算では、700年間起きない確率は1-pです。
したがって、1-pは(1-(1/1000))^700=49.6411%となりますから、p=50.3589%です。」とDD++さんのNo.711の投稿の「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……になりますね。」が一致していない理由は何故なのでしょうか。誤差かと思い込んでしまいました。

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No.726 の投稿をご覧いただければスッキリするかと思います。

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了解しました。

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その後、よく見たら、うんざりはちべえさんのNo.707の投稿に「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」とありましたので、起こる確率は50.342%で、DD++さんのNo.711の投稿の「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……になりますね」と一致していると見て良いですね。

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その No.707 の式も、1 日に 2 回起こることはない前提で計算してるので、正しいかというとそうでもないですね。
e^(-1/365000) とするべきところです。
e^(-x) ≒ 1-x の精度が x が 0 に近づいた分だけ精度がよくなってはいますが、完全に = にはなっていません。

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>e^(-1/365000) とするべきところです。

これはどういう事でしょうか。

平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。

-0.7と-1/365000ではあまりにも掛け離れていますが。間抜けな事を訊いていたらすみません。

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言葉不足でしたかね。

「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)」

の中括弧の中を 1-1/(365x1000) ではなく e^(-1/(365x1000)) として

「700年連続して起きない確率は{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)」

とするべきという話です。

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了解しました。

1000年に1回起こる事象は365×1000日に事象で、1日に平均1/(365×1000)回起こる事象が(1日に)1回も起こらない確率はポアソン分布より、e^(-1/(365x1000))
これが、700年=365×700日連続起こらない確率は、{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)という事ですね。
因みに、これは、DD++さんのNo.711の投稿の、
「平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。」
と同じですね。

また、うんざりはちべえさんのNo.707の投稿に「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」をpythonで厳密に計算してみました。
1-(1-1/(365*1000))**(700*365)
結果:0.5034151723845666
確かに「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……」と異なりますね。

ところで、
「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。

に関して、あまり関係ないかもしれませんが、有名な40人のクラスに同じ誕生日の人はいるかという問題で、正解は0.891(89.1%)https://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1802/20/news006.htmlですが、
1-(1-1/366)^780=0.8816447(40C2=780)が3人以上一致する事を考えていない事に似ていますね。(ずいぶん昔に自分で考えました。)

DD++さん、とても勉強になりました。ありがとうございました。

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0.05の6乗根とe^(-0.4992887・・・) が等しくなるのは

一般にexp(log(A))=A ( また log(exp(A))=Aでもある。)が成り立つので
A=(0.05)^(1/6)を使えば
exp(log(A))=exp(log(0.05)/6)=exp(-0.4992887・・・)=A
とみれば・・・

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年03月24日 14:24)

>その No.707 の式も、1 日に 2 回起こることはない前提で計算してるので、正しいかというとそうでもないですね。

逆のような気がするのは私の気のせいでしょうか。

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>これ、私もよくやらかすミスなのですが、

「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。
確率の数値自体も変わってくるので、この 2 つはちゃんと区別して適切な方を使用しないといけません。

これは自分で考えられたのでしょうか。ポアソン分布の統計誤差の可能性はないのでしょうか。例えば、

「次のグラフは,λ=10のポアソン分布の確率分布を k≦30について表したものです(k>30の確率はゼロではありませんが無視できる程度です)。」
引用元:https://okumuralab.org/~okumura/stat/poisson.html

などとありますが。

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> ポアソン分布の統計誤差の可能性はないのでしょうか。

ないですね。統計誤差というのは、有限個の実データに対して統計処理を行うと「本当は無限個ないと収束しないので、それに足りない分誤差が出てしまう」というものです。
ポアソン分布の公式は実データではなく理論値を取り扱う計算ですので、統計誤差が生じる余地はありません。

後半のサイトを引用してきたのは何が言いたかったのかわかりませんでしたが、その k>30 云々が書いてあるすぐ上にポアソン分布のちゃんとした導出が載ってますので、まずはそちらを読んでみてはいかがでしょう。

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ええ、私も否定している訳ではありません。

しかし、DD++さんのNo.711の投稿の、
「平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。」もうんざりはちべえさんのNo.707の投稿の「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です。ですから、700年以内に地震は起こる確率は50%ですね。」も全く起こらない確率の余事象を使っていますので、どちらも少なくとも1回起こる確率なので、片方だけ1回だけというのはおかしいのではないでしょうか。

>「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

これは平均して確率1/1000(1/1000回)で起こる事象が起こらない確率ですよね。

>「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

これも同じではないでしょうか。

>ポアソン分布のちゃんとした導出が載ってますので、まずはそちらを読んでみてはいかがでしょう。

「期待値μ=npを一定に保って、n→∞,p→0としていくとポアソン分布Pp(x)=e^-μ・(μ^x)/x!(μ:定数)になる。」(「確率統計 キャンパス・ゼミ」馬場敬之著より)

個人的には、∞×0に多少のゆがみが現れるのかなと思っています。もちろん、DD++がよく言う「「自分が食い違っていると思うからだ」ではただの妄想」というのはよく判っています。

誰か他の人にも訊いてみたいですね。

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再三書いていますが、
「起こる回数の期待値が 1/1000」
「起こる確率が 1/1000」
これらを混同しないでください。

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見解の相違ですね。もうこの話は止めましょう。

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「確率」とか「期待値」とかの定義を無視することを「見解の相違」とは言わない気がしますが……まあ、同じ話が無駄に3回くらいループしてるだけになってますし、終わりにしようということに同意します。

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