😊出会いの泉😊

大きくなるのは、「2×なるべく大きな素数」ですかね？

問われてはいませんが、小さくなる方はさっぱり予想がつきませんね。
双子素数の積みたいなのが強いのか、それとも約数の個数が非常に多い数が強いのか。

分散は範囲が小さい方が小さくなりますので、4のときの分散(14/9)が最小になる気がします。
(追記)
（大きい方を）調べてみたところ、n=1,2では「2×最大の素数」でしたが、n≧3では違いました。

あ、そうですね。
小さい方は範囲を逆に「ある数以上の範囲で」としないといけませんね。

大きい方ですが、素数の平方という存在を忘れてました。
なぜか約数の個数の最小は 4 個だと思い込んでいた……。

各nでの第1位、第2位、第3位はこうなるようです。
n=1 ;10(=2*5),9(=3^2), 8(=2^3)
n=2 ;94(=2*47),95(=5*19),93(=3*31)
n=3 ;961(=31^2),989(=23*43),998(=2*499)
n=4 ;9409(=97^2),9991(=97*103),9983(=67*149)
n=5 ;97969(=313^2),99973(=257*389),99899(=283*353)
n=6 ;994009(=997^2),999997(=757*1321),999919(=991*1009)
n=7 ;9840769(=3137^2),9999727(=2549*3923),999557(=2617*3821)
n=8 ;99460729(=9973^2),99999233(=9433*10601),99998791(=9719*10289)

＊n=6までは確認しましたが、それ以上では予想です。

n≧5の第2位、第3位の値がすべて正しくないようです(第1位は正しいです)。
例えばn=5の第2位は99973=257×389と書かれていますが
99973の約数は1,257,389,99973で分散は1865930500
それに対し96721=311^2の約数は1,311,96721で分散は2072193622.222…
ですから96721の方が分散が大きいです。

n=4 ;全部で10000（個)だったので全分散計算を元に第3位まで調べたら2つの素数の積が10000に近づく
パターンが候補に上がったので、n=5での大量のデータを処理することなくてっきりこのパターンに限定
で探しに行っていました。(n=2,3でもこの傾向を示していた。)
この範囲まで広げるとあの再び素数の平方のパターンが入り込むことができるんですね。（面倒さを避けるためつい思い込んでしまった。）

改めて予想では
n=5 ;97969(=313^2), 96721(=311^2), 94249(=307^2)
n=6 ;994009(=997^2), 982081(=991^2), 966289(=983^2)
n=7 :9840769(=3137^2), 9740641(=3121^2), 9728161(=3119^2)
n=8 ;99460729(=9973^2), 99341089(=9967^2), 98982601(=9949^2)

また思い込みが起こってしまうのか？
n=8で全合成数でチェックしてみましたが、間違いないようでした。

私も同じ結果になりましたので、問題ないと思います。

15:20追記
n=9について計算してみました。
n=9 ;999002449(=31607^2), 998623201(=31601^2), 997485889(=31583^2)
この後もずっと素数の2乗が続きそうですね。

1～10^(2*n)
までの合成数の中でその約数の分散が最大になるものは
ある素数pで、その平方が10^nを越えない最大の素数pであるものを
見つけてその平方数が求めるものになる。（但しn=2,3,4,･･･)
1～10^4-->9409=97^2 (97<10^2 での最大の素数)
1～10^6-->994009=997^2 (997<10^3 での最大の素数）
1～10^8-->99460729=9973^2 (9973<10^4 での最大素数)

平方して、この10^nを越えない最大の素数に着目してOEISで検索かけると
https://oeis.org/A132153
がヒットし、そこにはn=1～2000 ものデータが揃っていた。
n;偶数での素数に着目すると、数字9がとても多く連続して並ぶことが起きてしまう
ことが起きてしまう。(なぜなら平方することで10^nに最も近づいているから)
2000の内のその半分1000個に集中すれば
https://oeis.org/A003618
ここには見事に9が並んでしまう素数が揃っている。

その1000個をじっと眺めていると下数桁で一つだけ9ではない数が現れてしまうタイプの素数が
いくつかあり（当然全部の数が9での素数はあり得ず、精いっぱいの9を含む素数となっている。)

分類例
99･･････91(最後の最後で1) (n=10,14,66,90,210,394,398,562,602,634)
n=634とは10^634に最もその平方が近づける素数ｐがp=99･････91 （9が連続634/2-1=317-1=316個並ぶもの)
であるということになる。

99････9919(10位だけが1)　(n=182,678,814)

99････9929(10位だけが2)　(n=254,302,548)

99････9949(10位だけが4)　(n=128)

99････9959(10位だけが5)　(n=94,176,260)

99･･････97(最後の最後で7) (n=4,6,34,280,1980)
n=1980はp=99･･････97 (9がなんと連続1980/2-1=989個も並んでしまう素数があることを示す。)

99････9979(10位だけが7) (n=216,816)

99････9799(100位だけが7) (n=1152)

99････9989(10位だけが8)　(n=16,24,30,36,40,60,160,304,328,352,478,582.648,1008,1188,1966)

99････9899(100位だけが8) (n=42,1432,1558)

99･･･98999(1000位だけが8) (n=652)


こんなに９の数字が並んでしまう素数の具体例を見たことが無かったので、何気なく合成数の分散を
探してみようという試みから思わぬ副産物に出会えて面白かったです。
勿論素数は無限にあるので（通常はこんな世界には無縁ではありますが･･･)更に驚くべき素数が潜んでいることでしょう。