足し算のリング
ひたすら、隣り合う2つの数の和を求め、和のひと桁を次に書き、また、
隣り合う2つの数の和を求め、和のひと桁を次に書き、これを繰り返すものとします。
例えば、
1,3 まずこれが書かれています。1+3=4なので、3の右に4を書きます。
1,3,4 3+4=7なので、4の右に7を書きます。
1,3,4,7 4+7=11なので、下1桁だけを右に書きます。7の右に1を書きます。
1,3,4,7,1 7+1=8なので、1の右に8を書きます。
1,3,4,7,1,8 1+8=9なので、8の右に9を書きます。
1,3,4,7,1,8,9 8+9=17なので、下1桁だけを右に書きます。9の右に7書きます。
1,3,4,7,1,8,9,7 9+7=16なので、下1桁だけを右に書きます。7の右に6書きます。
1,3,4,7,1,8,9,7,6
これをひたすら繰り返すと、少なくとも60番目以内に、元に戻るのです。
以下証明 ただしa,bは、1,2,3,4,5,6,7,8,9のいずれかの自然数
たとえば、
(5a+3)+(8a+5)=13a+8=10a+3a+8→3a+8
(8a+5)+(3a+8)=11a+13=10a+a+10+3→a+3
===================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
===================================================================
0| 1 | a | a+1 | 2a+1 |3a+2 |5a+3 |8a+5 |3a+8 |a+3 |4a+1 |
--------------------------------------------------------------------
10| 5a+4 |9a+5 | 4a+9 | 3a+4 |7a+3 | 7 |7a |7a+7 |4a+7 | a+4 |
--------------------------------------------------------------------
20| 5a+1 |6a+5 | a+6 | 7a+1 |8a+7 |5a+8 |3a+5 |8a+3 | a+8 |9a+1 |
--------------------------------------------------------------------
30| 9 |9a | 9a+9 | 8a+9 |7a+8 |5a+7 |2a+5 |7a+2 |9a+7 |6a+9 |
--------------------------------------------------------------------
40| 5a+6 |a+5 | 6a+1 | 7a+6 |3a+7 | 3 |3a |3a+3 |6a+3 |9a+6 |
--------------------------------------------------------------------
50| 5a+9 |4a+5 | 9a+4 | 3a+9 |2a+3 |5a+2 |7a+5 |2a+7 |9a+2 | a+9 |
--------------------------------------------------------------------
60| 1 | a | a+1 | 2a+1
より、
===================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
===================================================================
0| b | a | a+ b| 2a+ b|3a+2b|5a+3b|8a+5b|3a+8b|a+3b |4a+ b |
--------------------------------------------------------------------
10| 5a+4b|9a+5b| 4a+9b| 3a+4b|7a+3b| 7b|7a |7a+7b|4a+7b| a+4b |
--------------------------------------------------------------------
20| 5a+ b|6a+5b| a+6b| 7a+ b|8a+7b|5a+8b|3a+5b|8a+3b| a+8b|9a+ b |
--------------------------------------------------------------------
30| 9b|9a | 9a+9b| 8a+9b|7a+8b|5a+7b|2a+5b|7a+2b|9a+7b|6a+9b |
--------------------------------------------------------------------
40| 5a+6b|a+5b | 6a+ b| 7a+6b|3a+7b| 3b|3a |3a+3b|6a+3b|9a+6b |
--------------------------------------------------------------------
50| 5a+9b|4a+5b| 9a+4b| 3a+9b|2a+3b|5a+2b|7a+5b|2a+7b|9a+2b| a+9b |
--------------------------------------------------------------------
60| b| a | a+ b| 2a+ b
どうして、60で繰り返すのかな？
2桁でも、繰り返すなら、いくつで繰り返すのかな？
何か、理屈があって、何桁ならいくつで繰り返すと言えるのかな？
11,aで始めると、300番目で繰り返すのかな・・・・？
初項が「１１」だと、絶対に元に戻らないのでは？
HP管理者様、こんばんは。
2桁の場合です。2桁ですから、10が最小値です。次が、11です。
計算が大変です。間違いもあるかもしれませんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|24a+31 |
--------------------------------------------------------------------
10|45a+74|69a+5 |14a+79|83a+84|97a+63|80a+47|77a+10|57a+57|34a+67|91a+24 |
--------------------------------------------------------------------
20|25a+91|16a+15|41a+6 |57a+21|98a+27|55a+48|53a+75| 8a+23|61a+98|69a+21 |
--------------------------------------------------------------------
30|30a+19|29a+40|59a+59|88a+99|47a+58|35a+57|82a+15|17a+72|99a+87|16a+59 |
まだ、aの循環の確認ができていませんが、11の循環はできました。
270| 59|9a+60| 9a+19| 8a+79|7a+98|5a+77|2a+75|7a+52|9a+27|6a+79 |
--------------------------------------------------------------------
280| 5a+6 |a+85 | 6a+91| 7a+76|3a+67| 43|3a+10|3a+53|6a+63|9a+16 |
--------------------------------------------------------------------
290| 5a+79|4a+95| 9a+74| 3a+69|2a+43|5a+12|7a+55|2a+67|9a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33
ちょっと見にくいかもしれませんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|34a+31 |
--------------------------------------------------------------------
10|55a+74|89a+5 |44a+79|33a+84|77a+63|10a+47|87a+10|97a+57|84a+67|81a+24 |
--------------------------------------------------------------------
20|65a+91|46a+15|11a+6 |57a+21|68a+27|25a+48|93a+75|18a+23|11a+98|29a+21 |
--------------------------------------------------------------------
30|40a+19|69a+40| 9a+59|78a+99|87a+58|65a+57|52a+15|17a+72|69a+87|86a+59 |
--------------------------------------------------------------------
40|55a+46|41a+5 |96a+51|37a+56|33a+7 |70a+63| 3a+70|73a+33|76a+3 |49a+36 |
--------------------------------------------------------------------
50|25a+39| 4a+75|69a+14|73a+89|42a+3 |15a+92|57a+95|72a+87|29a+82| a+69 |
--------------------------------------------------------------------
60|30a+51|31a+20|61a+71|92a+91|53a+62|45a+53|98a+15|43a+68|41a+83 |94a+51 |
--------------------------------------------------------------------
70|35a+34|29a+85|64a+19|93a+4 |57a+23|50a+27| 7a+50|57a+77|64a+27|21a+4 |
--------------------------------------------------------------------
80|85a+31| 6a+35|91a+66|97a+1 |88a+67|85a+68|73a+35|58a+ 3|31a+38 |89a+41 |
--------------------------------------------------------------------
90|20a+79| 9a+20|29a+99|38a+19|67a+18| 5a+37|72a+55|77a+92|49a+47|26a+39 |
--------------------------------------------------------------------
100|75a+86| a+25|76a+11|77a+36|53a+47|30a+83|83a+30|13a+13|96a+43| 9a+56 |
--------------------------------------------------------------------
110| 5a+99|14a+55|19a+54|33a+9 |52a+63|85a+72|37a+35|22a+7 |59a+42|81a+49 |
--------------------------------------------------------------------
120|40a+91|21a+40|61a+31|82a+71|43a+2 |25a+73|68a+75|93a+48|61a+23 |54a+71 |
--------------------------------------------------------------------
130|15a+94|69a+65|84a+59|53a+24|37a+83|90a+7 |27a+90|17a+97|44a+87|61a+84 |
--------------------------------------------------------------------
140| 5a+71|66a+55|71a+26|37a+81| 8a+7 |45a+88|53a+95|98a+83|51a+78|49a+61 |
--------------------------------------------------------------------
150| 39|49a+0 |49a+39|98a+39|47a+78|45a+17|92a+95|37a+12|29a+7 |66a+19 |
--------------------------------------------------------------------
160|95a+26|61a+45|56a+71|17a+16|73a+87|90a+3 |63a+90|53a+93|16a+83|89a+76 |
--------------------------------------------------------------------
170|85a+59|54a+35|39a+94|93a+29|32a+23|25a+52|57a+75|82a+27|39a+2 |21a+29 |
--------------------------------------------------------------------
180|60a+31|81a+60|41a+91|22a+51|63a+42|85a+93|48a+35|33a+28|81a+63|14a+91|
--------------------------------------------------------------------
190|95a+54| 9a+45| 4a+99|13a+44|17a+43|30a+87|47a+30|77a+17|24a+47| a+64 |
--------------------------------------------------------------------
200|25a+11|26a+75|51a+86|77a+61|28a+47| 5a+8 |33a+55|38a+63|71a+18| 9a+81 |
--------------------------------------------------------------------
210|80a+99|89a+80|69a+79|58a+59|27a+38|85a+97|12a+35|97a+32| 9a+67| 6a+99 |
--------------------------------------------------------------------
220|15a+66|21a+65|36a+31|57a+96|93a+27|50a+23|43a+50|93a+73|36a+23|29a+96 |
--------------------------------------------------------------------
230|65a+19|94a+15|59a+34|53a+49|12a+83|65a+32|77a+15|42a+47|19a+62|61a+9 |
--------------------------------------------------------------------
240|80a+71|41a+80|21a+51|62a+31|83a+82|45a+13|28a+95|73a+8 | a+3 |74a+11 |
--------------------------------------------------------------------
250|75a+14|49a+25|24a+39|73a+64|97a+3 |70a+67|67a+70|37a+37| 4a+7 |41a+44 |
--------------------------------------------------------------------
260|45a+51|86a+95|31a+46|17a+41|48a+87|65a+28|13a+15|78a+43|91a+58|69a+1 |
--------------------------------------------------------------------
270|60a+59|29a+60|89a+19|18a+79| 7a+98|25a+77|32a+75|57a+52|89a+27|46a+79 |
--------------------------------------------------------------------
280|35a+6 |81a+85|16a+91|97a+76|13a+67|10a+43|23a+10|33a+53|56a+63|89a+16 |
--------------------------------------------------------------------
290|45a+79|34a+95|79a+74|13a+69|92a+43| 5a+12|97a+55| 2a+67|99a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11|a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33
301番目から元に戻りました。一般論にするには・・・・・？
この数列は各項ごとに下一桁を取り出して、
{a[n]} = 1,3,4,7,1,8,9,7,6
のようにしていますが、実はこれは
{b[n]} = 1,3,4,7,11,18,29,47,76
のように全桁ある状態で足した後で一の位だけを取り出しても同じ数列ができます。
（証明は数学的帰納法でできます。確か東大入試でまさにこの問題が出たことあったような……）
そして、全桁足す場合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
と一般項が書けるのです。（これも数学的帰納法で証明できます）
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定義され、今回は漸化式を逆向きに使って F[0] = 0 と F[-1] = 1 まで使用します。
今回のカラクリは F[59] の一の位が 1、F[60] の一の位が 0、F[61] の一の位が 1、となっていることで、
b[61] = b[1]*F[59] + b[2]*F[60] の一の位が b[1] に一致し、
b[62] = b[1]*F[60] + b[2]*F[61] の一の位が b[2] に一致することにあります。
これにより、元々考えていた数列では a[61] = a[1], a[62] = a[2] であるということになりますね。
この 2 つが成り立てば、a[3] と a[63] は全く同じ計算をすることになり、a[4] と a[64] は全く同じ計算をすることになり、……を繰り返すので a[61] 以降は最初と同じ数列のループになるというわけです。
最初の 2 項の値によっては 20 項ループだったりすると思いますが、それはこの 60 項ループ自体がたまたま同じ数列 3 周で構成されてしまった場合ということですね。
もちろん、60 項でループする証明を書くのがゴールなら、「a, b, 」から始めてはちべえさんのように気合いで 62 番目まで全部書き出しても正解です。
さて、下二桁で同じことをするとどうなるか。
はちべえさんは 300 項と当たりをつけたようですが、
果たして F[299], F[300], F[301] の下二桁はどうなっているでしょうか？
下三桁の場合、何項でループするでしょうか？
ぜひ研究してみてください。
DD++様、おはようございます。
＞のように全桁ある状態で足した後で一の位だけを取り出しても同じ数列ができます。
全くそのとおりです。2桁の場合もそうです。はじめは手計算で何度も失敗しましたが、excelでそのように、計算しています。
＞そして、全桁足す場合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
と一般項が書けるのです。（これも数学的帰納法で証明できます）
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定義され、今回は漸化式を逆向きに使って F[0] = 0 と F[-1] = 1 まで使用します。
なんとフィボナッチ数列ですか？たまたま、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・？
また、2桁の一般式はどうしたものかな？300という数字が出ましたが、一般式ではどうなるのかな？
さて、3桁もどうなるのでしょうね？
> たまたま、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・？
いえ、下n桁であれば、10^(2n) 項以内にループに突入することは鳩ノ巣原理で証明できます。
つまり、n=1 のときに多くとも 100 項以内にループが 1 周することは必然です。
それが 60 項という数字だったことまで必然かというと……どうでしょうね。
私はそれを実験なしで導出する方法は知りませんが、世の中のどこかには存在するかも？
n=2 のときにも多くとも 10000 項以内にループが 1 周することは必然です。
それが本当に 300 項という数字かどうかは、私からは黙っておきますので、はちべえさん自身で確かめてみてください。
自分で気合いでやらなくても、「フィボナッチ数 一覧」とかで検索すると、F[500] までとか F[1000] までとか載せてくれているサイトが見つかりますから。
HP管理者様、おはようございます。
適切なコメントありがとうございました。早速勉強します。
また、結構いくつもループがあったんですね。
DD++様、ご指摘、ありがとうございます。
2桁の一般解ができました。a,bは、10から99までの自然数です。
====================================================================================
\ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
====================================================================================
0| b | a | a+b | 2a+b |3a+2b |5a+3b |8a+5b |13a+8b |21a+13b|34a+21b |
-------------------------------------------------------------------------------------
10|55a+34b|89a+55b|44a+89b|33a+44b|77a+33b|10a+77b|87a+10b|97a+87b|84a+97b|81a+84b |
-------------------------------------------------------------------------------------
20|65a+81b|46a+65b|11a+46b|57a+11b|68a+57b|25a+68b|93a+25b|18a+93b|11a+18b|29a+11b |
-------------------------------------------------------------------------------------
30|40a+29b|69a+40b| 9a+69b|78a+ 9b|87a+78b|65a+87b|52a+65b|17a+52b|69a+17b|86a+69b |
-------------------------------------------------------------------------------------
40|55a+86b|41a+55b|96a+41b|37a+96b|33a+37b|70a+33b| 3a+70b|73a+ 3b|76a+73b|49a+76b |
-------------------------------------------------------------------------------------
50|25a+49b|74a+25b|99a+74b|73a+99b|72a+73b|45a+72b|17a+45b|62a+17b|79a+62b|41a+79b |
-------------------------------------------------------------------------------------
60|20a+41b|61a+20b|81a+61b|42a+81b|23a+42b|65a+23b|88a+65b|53a+88b|41a+53b|94a+41b |
-------------------------------------------------------------------------------------
70|35a+94b|29a+35b|64a+29b|93a+64b|57a+93b|50a+57b| 7a+50b|57a+ 7b|64a+57b|21a+64b |
-------------------------------------------------------------------------------------
80|85a+21b| 6a+85b|91a+ 6b|97a+91b|88a+97b|85a+88b|73a+85b|58a+73b|31a+58b|89a+31b |
-------------------------------------------------------------------------------------
90|20a+89b| 9a+20b|29a+ 9b|38a+29b|67a+38b| 5a+67b|72a+ 5b|77a+72b|49a+77b|26a+49b |
-------------------------------------------------------------------------------------
100|75a+26b| a+75b|76a+ 1b|77a+76b|53a+77b|30a+53b|83a+30b|13a+83b|96a+13b| 9a+96b |
-------------------------------------------------------------------------------------
110| 5a+ 9b|14a+ 5b|19a+14b|33a+19b|52a+33b|85a+52b|37a+85b|22a+37b|59a+22b|81a+59b |
-------------------------------------------------------------------------------------
120|40a+81b|21a+40b|61a+21b|82a+61b|43a+82b|25a+43b|68a+25b|93a+68b|61a+93b|54a+61b |
-------------------------------------------------------------------------------------
130|15a+54b|69a+15b|84a+69b|53a+84b|37a+53b|90a+37b|27a+90b|17a+27b|44a+17b|61a+44b |
-------------------------------------------------------------------------------------
140| 5a+61b|66a+ 5b|71a+66b|37a+71b| 8a+37b|45a+ 8b|53a+45b|98a+53b|51a+98b|49a+51b |
-------------------------------------------------------------------------------------
150|0+ 49b|49a+ 0 |49a+49b|98a+49b|47a+98b|45a+47b|92a+45b|37a+92b|29a+37b|66a+29b |
-------------------------------------------------------------------------------------
160|95a+66b|61a+95b|56a+61b|17a+56b|73a+17b|90a+73b|63a+90b|53a+63b|16a+53b|69a+16b |
-------------------------------------------------------------------------------------
170|85a+69b|54a+85b|39a+54b|93a+39b|32a+93b|25a+32b|57a+25b|82a+57b|39a+82b|21a+39b |
-------------------------------------------------------------------------------------
180|60a+21b|81a+60b|41a+81b|22a+41b|63a+22b|85a+63b|48a+85b|33a+48b|81a+33b|14a+81b |
-------------------------------------------------------------------------------------
190|95a+14b| 9a+95b| 4a+ 9b|13a+ 4b|17a+13b|30a+17b|47a+30b|77a+47b|24a+77b| a+24b |
-------------------------------------------------------------------------------------
200|25a+ 1b|26a+25b|51a+26b|77a+51b|28a+77b| 5a+28b|33a+ 5b|38a+33b|71a+38b| 9a+71b |
-------------------------------------------------------------------------------------
210|80a+ 9b|89a+80b|69a+89b|58a+69b|27a+58b|85a+27b|12a+85b|97a+12b| 9a+97b| 6a+ 9b |
-------------------------------------------------------------------------------------
220|15a+ 6b|21a+15b|36a+21b|57a+36b|93a+57b|50a+93b|43a+50b|93a+43b|36a+93b|29a+36b |
-------------------------------------------------------------------------------------
230|65a+29b|94a+65b|59a+94b|53a+59b|12a+53b|65a+12b|77a+65b|42a+77b|19a+42b|61a+19b |
-------------------------------------------------------------------------------------
240|80a+61b|41a+80b|21a+41b|62a+21b|83a+62b|45a+83b|28a+45b|73a+28b| a+73b|74a+ b |
-------------------------------------------------------------------------------------
250|75a+74b|49a+75b|24a+49b|73a+24b|97a+73b|70a+97b|67a+70b|37a+67b| 4a+37b|41a+ 4b |
-------------------------------------------------------------------------------------
260|45a+41b|86a+45b|31a+86b|17a+31b|48a+17b|65a+48b|13a+65b|78a+43b|91a+78b|69a+91b |
-------------------------------------------------------------------------------------
270|60a+69b|29a+60b|89a+29b|18a+89b| 7a+18b|25a+ 7b|32a+25b|57a+32b|89a+57b|46a+89b |
-------------------------------------------------------------------------------------
280|35a+46b|81a+35b|16a+81b|97a+16b|13a+97b|10a+13b|23a+10b|33a+23b|56a+33b|89a+56b |
-------------------------------------------------------------------------------------
290|45a+89b|34a+45b|79a+34b|13a+79b|92a+13b| 5a+92b|97a+ 5b| 2a+97b|99a+ 2b| a+99b |
-------------------------------------------------------------------------------------
300| b|a | a+ b| 2a+ b| 3a+ 2b|5a+ 3b
300で収まっています。1桁の60の5倍です。
3桁は1500でした。2桁の300の5倍です。
4桁は、3桁の1500の5倍は7500ですが、らしく見えますがちょっと違うようです。
https://oeis.org/A096363
↑ここによると
4桁以上は15000,150000,1500000,…つまり
1.5×10^(桁数)となるようです。
らすかる様、こんばんは。
3桁 4桁
番号 aの bの係数 aの bの係数
14998 2 997 2 9997
14999 999 2 9999 2
15000 1 999 1 9999
15001 0 1 0 1
15002 1 0 1 0
15003 1 1 1 1
15004 2 1 2 1
15005 3 2 3 2
15006 5 3 5 3
15007 8 5 8 5
15008 13 8 13 8
15009 21 13 21 13
15010 34 21 34 21
15011 55 34 55 34
15012 89 55 89 55
おっしゃる通り15000でした。3桁は10回目の折返しですね。
フィボナッチ数列ですから、
f2=f1+f0
f3=f2+f1
f4=f3+f2
f5=f4+f3
・
・
・
fn=fn-1+fn-2
より、
f2-f1=f0
f3-f2=f1
f4-f3=f2
f5-f4=f3
・
・
・
+)fn-fn-1=fn-2
------------------------
fn-f1=f0+f1+f2+f3+・・+fn-2
そこで、
n-2
fn=f1+Σfi ---(1)
i=0
また、
f2=f1+f0
(1)より、
f3=f1+f0+f1=2f1+f0
f4=f1+f0+f1+f2=f1+f0+f1+(f0+f1)=3f1+2f0
f5=f1+f0+f1+f2+f3=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)=5f1+3f0
f6=f1+f0+f1+f2+f3+f4=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)+(3f1+2f0)=8f1+5f0
f2=f1+f0
f3=2f1+f0
f4=3f1+2f0
f5=5f1+3f0
f6=8f1+5f0
f7=13f1+8f0
f8=21f1+13f0
f9=34f1+21f0
f10=55f1+34f0
f11=89f1+55f0
f12=144f1+89f0
f13=233f1+144f0
f14=377f1+233f0
f15=610f1+377f0
f16=987f1+610f0
f17=1597f1+987f0
これをやり続けると
f58 f59 f60 f61 f62
f0の係数 365435296162 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961
f1の係数 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881
fnの係数 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842
fnの最下位は 1 0 1 1 2
このように、299番目で、fnの最下位から二桁が、00に、300番目で、01に、1499番目でfnの最下位から三桁が、000に、1500番目で、001に、というふうになるのでしょうね。しかし、桁数が膨大なので、libreoffice のCalcでも、Excelでも、確認は取れません。
fn=mod(fn,10^k)とすれば、できています。
なお、aは16,31,46番目も最下位は0ですが、次が1にはなりません。それは、61番目と62番目です。
0: 0
1: 1
2: 1
60: 1548008755920
61: 2504730781961
62: 4052739537881
300: 222232244629420445529739893461909967206666939096499764990979600
301: 359579325206583560961765665172189099052367214309267232255589801
302: 581811569836004006491505558634099066259034153405766997246569401
1500: 135511256685631019516369368671…800838145996187122583354898000 (314桁)
1501: 219261819175562414066861037063…414440690362014196035679949001 (314桁)
1502: 354773075861193433583230405734…215278836358201318619034847001 (314桁)
15000: 291822482420491383023640722369…140908611007655976683548980000 (3135桁)
15001: 472178695237723741550776991928…405008577933901775242024490001 (3135桁)
15002: 764001177658215124574417714298…545917188941557751925573470001 (3135桁)
のようになります。（間の全桁も計算はしていますが、
掲示板に書くには長すぎますので省略しています。）
らすかる様、こんにちは。
ありがとうございます。
