「三角関数の値」の問題
管理人さんとは別のやり方で求めてみました。
α = cos(2π/7), β = cos(4π/7) , γ = cos(6π/7) とします。
半角の公式より (cotx)^2 = (1+cos2x)/(1-cos2x) なので、
(1+α)/(1-α) + (1+β)/(1-β) + (1-γ)/(1+γ) を求めればよいことになります。
ζ = exp(2π/7) = cos(2π/7) + i sin(2π/7) とおきます。
z^7 - 1 = 0 は 1 の 7 乗根を解にもつので、
z^7 - 1 = ( z - 1 ) ( z - ζ ) ( z - ζ^2 ) ( z - ζ^3 ) ( z - ζ^4 ) ( z - ζ^5 ) ( z - ζ^6 )
= ( z - 1 ) { ( z - ζ ) ( z - ζ^6 ) } { ( z - ζ^2 ) ( z - ζ^5 ) } { ( z - ζ^3 ) ( z - ζ^4 ) }
= ( z - 1 ) ( z^2 - 2αz + 1 ) ( z^2 - 2βz + 1 ) ( z^2 - 2γz + 1 )
これを ( z - 1 ) z^3 で割ると
( z^3 + 1/z^3 ) + ( z^2 + 1/z^2 ) + ( z + 1/z ) + 1 = ( z + 1/z - 2α ) ( z + 1/z - 2β ) ( z + 1/z - 2γ )
ここで、2x = z + 1/z とおくと、
4x^2 = z^2 + 2 + 1/z^2 より、z^2 + 1/z^2 = 4x^2 - 2
8x^3 = z^3 + 3z + 3/z + 1/z^3 より、z^3 + 1/z^3 = 8x^3 - 6x
なので、これを用いて書き換えると
8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 8 ( x - α ) ( x - β ) ( x - γ )
t = (1+x)/(1-x) とおくと、x = (t-1)/(t+1) なので、これを代入して両辺に (t+1)^3 をかけると
8(t-1)^3 + 4(t-1)^2*(t+1) - 4(t-1)(t+1)^2 - (t+1)^3 = { (t-1) - (t+1)α } { (t-1) - (t+1)β } { (t-1) - (t+1)γ }
整理して
7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 = { (1-α)t - (1+α) } { (1-β)t - (1+β) } { (1-γ)t - (1+γ) }
よって (1+α)/(1-α), (1+β)/(1-β) ,(1-γ)/(1+γ) は方程式 7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 = 0 の解なので、
解と係数の関係よりその和は 35/7 = 5
投稿後に、7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 というどう見ても 7Ck な係数を見て、
先ほどのはとんでもない遠回りをしていたことに気づいてしまった……。
kπ/7 は 7 倍すると π の整数倍になるので、
cot(kπ/7) + i = { cos(kπ/7) + i sin(kπ/7) } / sin(kπ/7) は 7 乗すると実数です。
よって、6 次方程式 (x+i)^7 - (x-i)^7 = 0の解は x = ±cot(π/7), ±cot(2π/7), ±cot(3π/7) であるはずです。
この方程式の左辺を全部展開したとき、
x^6 の係数は 2*7C1*i^1
x^4 の係数は 2*7C3*i^3
その比 7C3/7C1*i^2 = -35/7 = -5 は、6 つの解の異なる 2 つずつの積の総和ですが、
符号違いが打ち消し合うことを考えれば、それは - {cot(π/7)}^2 - {cot(2π/7)}2 - {cot(3π/7)}^2 に他なりません。
よって、{cot(π/7)}^2 + {cot(2π/7)}2 + {cot(3π/7)}^2 = 5
ところで、2倍角、3倍角の公式は
2tanθ
tan2θ=-----------
1-(tanθ)^2
1-(cotθ)^2
cot2θ=-----------
2cotθ
これは、なんとなく逆数というイメージなのでわかったような気になるんですが、（でも数学的におかしいという印象ですよね？）
3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=-----------------
1-3(tanθ)^2
(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=------------------
3(cotθ)^2-1
と全く同じ構造なんですよ。不思議ですね。（でも数学的におかしいという印象ですよね？）
数学をちゃんとやる人は、そもそも数学的におかしいかどうかを印象で言ったりは絶対にしません。
写し間違えてますね。
(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------
2cotθ
です。もしかしたら偶数と奇数で逆になるのかもしれませんね。（研究して下さい。）
DD++様、おはようございます。
(%i1) float((cot(%pi/7))^2+(cot(2*%pi/7))^2+(cot(3*%pi/7))^2);
(%o1) 5.000000000000001
ならは、tanとcotの先の印象から、
(%i2) float((tan(%pi/7))^2+(tan(2*%pi/7))^2+(tan(3*%pi/7))^2);
(%o2) 20.99999999999999
より、21になりそうな印象ですが・・・・
通りすがり様、おはようございます。
写し間違えていました。ご指摘、ありがとうございます。
tan の方は、7 次方程式 (1+xi)^7 - (1-xi)^7 = 0 の解が x = 0, ±tan(π/7), ±tan(2π/7), ±tan(3π/7) であることから、7C2/7C0 由来で 21 が得られますね。
ちょっと、問題から外れますが、１）、２）を上げます。
１）
(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------------
2cotθ
(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=-----------------------
3(cotθ)^2-1
を使って、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5 をやってみる。
cotθ=xとおくと、
x^2-1 x^3-3x
x^2＋(------------)^2＋(-----------------)^2=5
2x 3x^2-1
49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1
----------------------------------------=5
4x^2(3x^2-1)^2
49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1=20x^2(3x^2-1)^2
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
より、7x^2-1=0と7x^6-35x^4+21x^2-1=0が、成り立てば、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5 は、ただしい。
7x^2-1=0ではx=±1/√7 実数解がある。
7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5 は、実数解があるのでただしい。
２）
2tanθ
tan2θ=----------------
1-(tanθ)^2
3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=------------------------
1-3(tanθ)^2
を使って、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21 をやってみる。
tanθ=xとおくと、
2x 3x-x^3
x^2＋(------------)^2＋(---------------)^2=21
1-x^2 1-3x^2
2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)
------------------------------------------------=21
(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)=21(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
(2x^2-1)(5x^2-3)(x^6-21x^4+35x^2-7)=0
より、2x^2-1=0、5x^2-3=0とx^6-21x^4+35x^2-7=0が、成り立てば、
(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21 は、ただしい。
2x^2-1=0ではx=±1/√2 実数解がある。
5x^2-3=0ではx=±√3/√5 実数解がある。
x^6-21x^4+35x^2-7=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21は、実数解があるのでただしい。
＞7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。
実数解が６個ありますね。ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214
最後のでθ＝π/7が合うと思います。
通りすがり様、こんばんは。
大変、ありがとうございます！
やっと、ケリがつきました。
(%i12) fpprec:50; 50桁指定
(%o12) 50
(%i13) x:bfloat(cot(%pi/7));
(%o13) 2.076521396572336567163538861485840330705720206626b0
(%i14) 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1;に代入
(%o14) - 6.8422776578360208541197733559077936097669040130689b-49
答え
ほぼ０です。
近似解を求めると、
(%i1) allroots( 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1);
(%o1) [x = 0.2282434743901499, x = - 0.2282434743901499,
x = 0.7974733888824038, x = - 0.797473388882404, x = - 2.076521396572337,
x = 2.076521396572336]
と通りすがり様の結果になります。
また、tan（π/7）は、
float(tan(%pi/7));
(%o3) 0.4815746188075286
で、
近似解を求めると、
(%i2) allroots(x^6-21*x^4+35*x^2-7);
(%o2) [x = - 0.4815746188075286, x = 0.4815746188075286,
x = - 1.253960337662704, x = 1.253960337662703, x = 4.381286267534823,
x = - 4.381286267534823]
となり、tan（π/7）がありました。
No.794 の記事だけ全然違う問題に向かっているのは意図的にやっているものなんでしょうか？
そして意図的なのだとしたら、向かっている問題を述べてから始めてください。
なんか4回ほど「ただしい」と言っていますが、「何がただしい」のか誰にもわかりません。
DD＋＋様、こんばんは。
もともと、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5を証明せよ。だったので、そっちに主眼を置きました。θ＝π／７が見えなかったからです。
(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21もそうです。
でも、通りすがり様の研究結果から、θ＝π／７が見えてきたのです。
そこで、流れがこういう風になったのです。すみません。
そうですよね。θが π/7 に限らない話をしていますよね。
だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？
θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。
DD++様、おはようございます。
＞だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
が成り立つかということです。
式を展開整理したら、
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
となったので、7x^2-1=0か、あるいは7x^6-35x^4+21x^2-1=0となり、これより、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
は、θによっては、成り立つので、正しいと言っているのです。もちろん、不等式にはならなかったですしね。
＞θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。
そうです。これは、8つの解があるので、θは、8通りあります。
調べていませんが、ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214の残り２つで２π/７と３π/７に対応しているのではないでしょうか。（調べて頂けると納得出来ます。）
通りすがり様、おはようございます。
maximaで、
%i1) solve(x^3+1=0,x); ｛解を求めよ｝
sqrt(3) %i - 1 sqrt(3) %i + 1 {%iは虚数｝
(%o1) [x = - -----------------, x =--------------------, x = - 1]
2 2
(%i2) allroots(x^3+1=0);
(%o2) [x = 0.8660254037844386 %i + 0.5, x = 0.5 - 0.8660254037844386 %i,
x = - 1.0]
となりますので、通りすがり様は、実数解を求めていたのですね。近似解とはすみませんでした。
さて、ご推察のとおり、
(%i5) float(cot(%pi/7));
(%o5) 2.076521396572337
(%i6) float(cot(2*%pi/7));
(%o6) 0.797473388882404
(%i7) float(cot(3*%pi/7));
(%o7) 0.22824347439015
π/7、２π/7、３π/7でした。さすがです。
だとしたら、
「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０ は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。
我々は超能力者じゃないので、はちべえさんの頭の中にしか存在しない文は読めません。
＞「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０ は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。
これが、不等式になれば、成り立つ場合がありませんので、方程式として「正しくありません」。
成り立つ場合があるのであれば、方程式として「ただしい」と言ったら納得していただけますか？
方程式として正しいとは、通常、その式が方程式の定義に該当するという意味です。
すなわち、式（定義された計算記号が正しく使われている数字と記号列）が等号の両辺に書いてあり、そこに未知数が含まれているものである、ということです。
だから「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2-5=0」と書かれただけで、「方程式の定義に該当しているのだから、方程式として正しい」とみんな認めますよ。
念のため言っておくと、方程式の定義に、実際に成り立つ場合があるかどうかは言及されていません。
解がない方程式は、ただ解がないという特徴があるというだけの正しい方程式です。
だから、はちべえさんが「ただしい」と言っている内容は、おそらく「方程式として正しい」じゃなく「特殊なθのときに成り立つ場合がある」と書かれるべきものじゃないかと思うのですが。
DD＋＋様、こんにちは。
ありがとうございました。ご指摘はわかりました。
