😊出会いの泉😊

複素平面上の単位円に内接する正七角形の重心が原点であることから
Σ[k=0～6]cos(2kπ/7)=0
これと cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7) と cos(0)=1 から
A=cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2 なので
{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2
=(3-A)/2=7/4
{cos(π/7)}^2+{cos(2π/7)}^2+{cos(3π/7)}^2
={1+cos(2π/7)}/2+{1+cos(4π/7)}/2+{1+cos(6π/7)}/2
=(3+A)/2=5/4

正7角形だったので、π/7と/7がでてきたのですね。

これも、2倍角、3倍角でやれば、いくつか解があるのでしょうね？

cosはともかく、sinはsin2θ=2sinθcosθでできませんでした。

通りすがり様の、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5のθは、±π/7か±2π/7か±3π/7というのは、正7角形の回転をイメージすれば、良いのでしょうか？

また、(cosθ)^2+(cos2θ)^2+(cos3θ)^2=5/4のθも、±π/7か±2π/7か±3π/7というのは、正7角形の回転をイメージすれば、良いのでしょうか？

http://izumi-math.jp/K_Katou/ori_t/ori_t.htm

こちらの正七角形の図で、

＞Σ[k=0～6]cos(2kπ/7)=0

これはOAのｘ座標の値＋OBのｘ座標の値＋…＋OHのｘ座標の値＝０を意味しています。

＞cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7)

これはOBとOHのｘ座標の値，OCとOGのｘ座標の値，ODとOFのｘ座標の値が等しい事を意味しています。
それらとcos(0)=1と考えると、cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2が出ます。

＞{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2

これは半角の公式を考えれば分かります。以上を整理すると、7/4が出ます。（素晴らしい解法ですね。）

以前もこんなような解説をして出禁になった事があるので、失礼します。

sin の場合。
cot や tan のときと類似の手段をとると、
(√(1-x^2)+ix)^7 = (√(1-x^2)-ix)^7
という 7 次方程式（根号は全部消える！）の解が x = sin(kπ/7) (k=0,±1,±2,±3) ですので、そこから解と係数の関係で。
しかし tan ほどは係数をスパッと求める方法はなさそうで、全部二項展開して地道に整理して 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x = 0 を得るしかないのかな？
そうなると半角の方が早そう。

cos の場合は (x+i√(1-x^2))^7=(x-i√(1-x^2))^7 を整理しても √(1-x^2) が残るのでこの手は直接は使いにくいですね。
まあ、x≠±1 を想定していると言って両辺 √(1-x^2) で割ってしまえば対処可能ではありますが、やっぱり半角の方が早そう。

ド・モアブルの公式を知らない人でもこちらのサイトはいいですね。https://e-littlefield.com/teito-vision/hint/regular-polygon/

念のため、直接は関係ありません。