素朴な長さの計算６
(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=1/2という計算から
3辺が5,7,8の三角形の5と8の辺で挟まれる角の角度は60°とわかる。
(既知とすれば計算不要)
図の形は3辺が5,7,8の三角形の5の辺と8の辺の外側に
それぞれ正三角形をくっつけた形なので、AB=5+8=13。
図での
AD=a,BC=b,CD=c,AB=xとおいて,この4つが整数となれる組合せ調べたら
(a,b,c)=(1,4,7)->x=9
=(2,5,7)->x=10
=(3,6,7)->x=11
=(4,7,7)->x=12
=(5,8,7)->x=13
=(6,9,7)->x=14
=(7,10,7)->x=15
･････････････
一般に(a,b,c)=(n,n+3,7)->x=n+8 (n=1,2,3,･･･)
または
(a,b,c)=(1,6,7)->x=9
=(2,7,7)->x=10
=(3,8,7)->x=11
=(4,9,7)->x=12
=(5,10,7)->x=13
=(6,11,7)->x=14
=(7,12,7)->x=15
･････････････
一般に(a,b,c)=(n,n+5,7)->x=n+8 (n=1,2,3,･･･)
c=7と設定しておくことがポイントになりそうです。
c=13 や c=19 でも可能なのでは。
おそらく 6n+1 型素因数を少なくとも 1 つ持っていることが条件じゃないでしょうか。
確かに6*n+1型の数は
7^2=3^2+8^2-3*8
=5^2+8^2-5*8
13^2=7^2+15^2-7*15 =>(a,b,c)=(n,n+8,13)->x=n+15 (n=1,2,3,･･)
=8^2+15^2-8*15 =>(a,b,c)=(n,n+7,13)->x=n+15 (n,1,2,3,･･)が構成できる。
19^2= 5^2+21^2- 5*21 =>(a,b,c)=(n,n+16,19)->x=n+21 (n=1,2,3,･･)
=16^2+21^2-16*21 =>(a,b,c)=(n,n+5,19)->x=n+21 (n=1,2,3,･･)
25^2=25^2+25^2-25*25(これは例外）
31^2=11^2+35^2-11*35=>(a,b,c)=(n,n+24,31)->x=n+35 (n=1,2,3,･･)
=24^2+35^2-24*35=>(a,b,c)=(n,n+11,31)->x=n+35 (n=1,2,3,･･)
以下同様
37^2= 7^2+40^2-7*40
=33^2+40^2-24*40
43^2=13^2+48^2-13*48
=35^2+48^2-35*48
49^2=16^2+55^2-16*55
=39^2+55^2-39*55
･･････････
と60°の角度を有する三角形の三辺を与えていく２組を
与えてくれますね。
