[続]分度儀に都合の良い三角形
再び申し訳ないのですが
この正多角形をどんどん大きくして行った時、どうしたらいいのか迷っているので
次の問題を考えて頂きたい。
正1000角形の図形があるとする。
この任意の頂点3か所を選んで作られた三角形の内角が全部整数角となる
頂点3か所の選び方(組合せ)は全部で何通りあるかを求めて欲しい。
但し頂点には固有の番号が振り当てられているものとします。
できたら
正2024角形,正2345角形でも求めて欲しい。
正1000角形
1000=2^3×5^3、180÷(2^2×5)=9と2×5^2=50は互いに素なので
整数角になるためには頂点を50n個(円周角9n°)単位で使用しなければならない。
∴(1000÷50)C3×50=57000通り
正2024角形
2024=2^3×11×23、180÷2^2=45と2×11×23=506は互いに素なので
整数角になるためには頂点を506n個(円周角45n°)単位で使用しなければならない。
∴(2024÷506)C3×506=2024通り
正2345角形
2345=5×7×67、180÷5=36と7×67=469は互いに素なので
整数角になるためには頂点を469n個(円周角36n°)単位で使用しなければならない。
∴(2345÷469)C3×469=4690通り
つまり正N角形の場合は
g=gcd(N,180)としてgC3×(N/g)通り（ただしg＜3のとき0通り）
ということですね。
正１０００角形について、１辺に対する円周角は、９/５０なので、５０個のまとまりごとに整数角となる。
よって、自然数ｋ、ｌ、ｍに対して、９ｋ＋９ｌ＋９ｍ＝１８０ から、 ｋ＋ｌ＋ｍ＝２０
回転させて重なる解（ｋ，ｌ，ｍ）は同一視して、手作業で解を求めると、５７通り
よって、三角形の選び方は、５７×１０００＝５７０００（通り）となる。
＃らすかるさんの結果と一致して、安心しました！
