😊出会いの泉😊

来年なら
(4049^3+2026^3)/(4049^3+2023^3) = (4049+2026)/(4049+2023) = 2025/2024
みたいなことですよね？

任意の年でできるような？

n∈Z, n≡1(mod 3)のとき
　　[a,b,c]=[(2*n+1)/3,(n+2)/3,(n-1)/3]
は、
　 a,b,c∈Z,
　 (a^3+b^3)/(a^3+c^3)=(a+b)/(a+c)=(n+1)/n,
(a+b)=(a+c)+1
を満たす。

また、n∈Z-{0}に対して、
　 (a^3+b^3)/(a^3+c^3)=(a+b)/(a+c)=(n+1)/n,
(a+b)=(a+c)+1
が整数解[a,b,c]を持つならば、n≡1 (mod 3)である。

以上より、最終行の分母nが「n≡1 (mod 3)」を満たすときであり、そのときに限り可能。

恒等式
((x+y)^3+y^3)/(x^3+(x+y)^3) = ((x+y)+y)/(x+(x+y))
から出発しました。

x+2y=2024
2x+y=2023
を要請して
x=675
y=674
を得ました。

このやり方では
3x+3y=2023+2024
で右辺が3の倍数となりうまくいきます。
H.Nakao さんからはこちらのルートを厳密に示していただきました。

一方において DD++ さんによるご教示には
私はとても驚きました。なるほど
約分……がうまく働いています。

詳しい解説をお願い申し上げます。

じゃあ、Dengan さんに乗っかる形で。

2 番目の辺が規約分数である必要はないので、
x+2y=2024k
2x+y=2023k
であればよく、
3x+3y=(2023+2024)k
となったときに括弧内が 3 の倍数でなくても k が 3 の倍数であれば何も問題ないというだけの話です。

ところで、
(7^3+7^3)/(8^3+5^3) = (7+7)/(8+5) = 14/13
みたいなパターンってこの問題においてアリですかね？

4 数バラバラもありだという前提で。
(3N+2)/(3N+1) 型以外も作れはするものの、この形の方がいろんな式で作れることが多いようですね。

(1025^3+999^3)/(1034^3+989^3) = (1025+999)/(1034+989) = 2024/2023

(1025^3+999^3)/(1034^3+989^3) = (1025+999)/(1034+989) = 2024/2023

大変に興味深いです。

a*b = c*d を見たす 4 数 a, b, c, d に対し、
p = a+b-c, q = a+b-d, r = c+d-a, s = c+d-b とすると、
(p^3+q^3)/(r^3+s^3) = (p+q)/(r+s) が成り立ちます。

※ p, q, r, s が整数であれば、a, b, c, d が整数である必要はありません。
※ a = (2x+y)/3, b = 2(x+2y)/3, c = (x+2y)/3, d = 2(2x+y)/3 とすれば、Dengan さんが用いた式になります。

(a+b)-(c+d) = k であるとき、(p+q)-(r+s) = 3k になるので、
k = 1/3 になるようにするか、p+q が 3 の倍数になるようにしながら k = 1 にするかで、
今回の目的のように分子が分母より 1 だけ大きい分数が得られます。

また、(a+b)-(c+d) = k を要請する場合、
p = a+b-c = d+k, q = a+b-d = c+k, r = c+d-a = b-k, s = c+d-b = a-k となり、整数にする調整が多少楽になります。

例1
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 400/9 を要請して、
a = 16/3, b = 25/3, c = 20/3, d = 20/3 とすると、
p = 7, q = 7, r = 8, s = 5 が得られ、14/13 が作れます。

例2
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 1120/9 を要請して、
a = 28/3, b = 40/3, c = 32/3, d = 35/3 とすると、
p = 12, q = 11, r = 13, s = 9 が得られ、23/22 が作れます。

例3
(a+b)-(c+d) = 1 と a*b = c*d = 2*2024*2025 を要請して、
a = 2024, b = 4050, c = 2025, d = 4048 とすると、
p = 4049, q = 2026, r = 4049, s = 2023 が得られ、6075/6072 = 2025/2024 が得られます。

例4
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 2*2023*2024/9 を要請して、
a = 2023/3, b = 4048/3, c = 2024/3, d = 4046/3 とすると、
p = 1349, q = 675, r = 1349, s = 674 が得られ、2024/2023 が得られます。

例5
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 28*29*106*107/9 を要請して、
a = 2968/3, b = 3103/3, c = 2996/3, d = 3074/3 とすると、
p = 1025, q = 999, r = 1034, s = 989 が得られ、2024/2023 が得られます。

大魔導士の呪文を聞いているようで
ビビリました。ヽ⁠(⁠*ﾟ⁠ｰﾟ⁠*⁠)⁠ﾉ

理解に努めようと思います。
拘束条件つきの恒等式って素敵ですね。