今更ながらの年越しネタです
年越しネタですけれども一種の感動を覚えましたのでご紹介いたします。
(1349^3+675^3)/(1349^3+674^3) =
(1349+675)/(1349+674) =
2024/2023
こんなことができるのはどんな年でしょう？
来年なら
(4049^3+2026^3)/(4049^3+2023^3) = (4049+2026)/(4049+2023) = 2025/2024
みたいなことですよね？
任意の年でできるような？
n∈Z, n≡1(mod 3)のとき
[a,b,c]=[(2*n+1)/3,(n+2)/3,(n-1)/3]
は、
a,b,c∈Z,
(a^3+b^3)/(a^3+c^3)=(a+b)/(a+c)=(n+1)/n,
(a+b)=(a+c)+1
を満たす。
また、n∈Z-{0}に対して、
(a^3+b^3)/(a^3+c^3)=(a+b)/(a+c)=(n+1)/n,
(a+b)=(a+c)+1
が整数解[a,b,c]を持つならば、n≡1 (mod 3)である。
以上より、最終行の分母nが「n≡1 (mod 3)」を満たすときであり、そのときに限り可能。
恒等式
((x+y)^3+y^3)/(x^3+(x+y)^3) = ((x+y)+y)/(x+(x+y))
から出発しました。
x+2y=2024
2x+y=2023
を要請して
x=675
y=674
を得ました。
このやり方では
3x+3y=2023+2024
で右辺が3の倍数となりうまくいきます。
H.Nakao さんからはこちらのルートを厳密に示していただきました。
一方において DD++ さんによるご教示には
私はとても驚きました。なるほど
約分……がうまく働いています。
詳しい解説をお願い申し上げます。
じゃあ、Dengan さんに乗っかる形で。
2 番目の辺が規約分数である必要はないので、
x+2y=2024k
2x+y=2023k
であればよく、
3x+3y=(2023+2024)k
となったときに括弧内が 3 の倍数でなくても k が 3 の倍数であれば何も問題ないというだけの話です。
ところで、
(7^3+7^3)/(8^3+5^3) = (7+7)/(8+5) = 14/13
みたいなパターンってこの問題においてアリですかね？
4 数バラバラもありだという前提で。
(3N+2)/(3N+1) 型以外も作れはするものの、この形の方がいろんな式で作れることが多いようですね。
(1025^3+999^3)/(1034^3+989^3) = (1025+999)/(1034+989) = 2024/2023
(1025^3+999^3)/(1034^3+989^3) = (1025+999)/(1034+989) = 2024/2023
大変に興味深いです。
a*b = c*d を見たす 4 数 a, b, c, d に対し、
p = a+b-c, q = a+b-d, r = c+d-a, s = c+d-b とすると、
(p^3+q^3)/(r^3+s^3) = (p+q)/(r+s) が成り立ちます。
※ p, q, r, s が整数であれば、a, b, c, d が整数である必要はありません。
※ a = (2x+y)/3, b = 2(x+2y)/3, c = (x+2y)/3, d = 2(2x+y)/3 とすれば、Dengan さんが用いた式になります。
(a+b)-(c+d) = k であるとき、(p+q)-(r+s) = 3k になるので、
k = 1/3 になるようにするか、p+q が 3 の倍数になるようにしながら k = 1 にするかで、
今回の目的のように分子が分母より 1 だけ大きい分数が得られます。
また、(a+b)-(c+d) = k を要請する場合、
p = a+b-c = d+k, q = a+b-d = c+k, r = c+d-a = b-k, s = c+d-b = a-k となり、整数にする調整が多少楽になります。
例1
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 400/9 を要請して、
a = 16/3, b = 25/3, c = 20/3, d = 20/3 とすると、
p = 7, q = 7, r = 8, s = 5 が得られ、14/13 が作れます。
例2
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 1120/9 を要請して、
a = 28/3, b = 40/3, c = 32/3, d = 35/3 とすると、
p = 12, q = 11, r = 13, s = 9 が得られ、23/22 が作れます。
例3
(a+b)-(c+d) = 1 と a*b = c*d = 2*2024*2025 を要請して、
a = 2024, b = 4050, c = 2025, d = 4048 とすると、
p = 4049, q = 2026, r = 4049, s = 2023 が得られ、6075/6072 = 2025/2024 が得られます。
例4
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 2*2023*2024/9 を要請して、
a = 2023/3, b = 4048/3, c = 2024/3, d = 4046/3 とすると、
p = 1349, q = 675, r = 1349, s = 674 が得られ、2024/2023 が得られます。
例5
(a+b)-(c+d) = 1/3 と a*b = c*d = 28*29*106*107/9 を要請して、
a = 2968/3, b = 3103/3, c = 2996/3, d = 3074/3 とすると、
p = 1025, q = 999, r = 1034, s = 989 が得られ、2024/2023 が得られます。
大魔導士の呪文を聞いているようで
ビビリました。ヽ(*ﾟｰﾟ*)ﾉ
理解に努めようと思います。
拘束条件つきの恒等式って素敵ですね。
