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を拝見しました。

N=4(=2^2)の場合はGF(4)(=GF(2^2))上のアフィン平面について、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の16人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(16,20,5,4,1)のブロックデザインにおいて記載されているように、

(0,0) (1,0) (a,0) (b,0)
(0,1) (1,1) (a,1) (b,1)
(0,a) (1,a) (a,a) (b,a)
(0,b) (1,b) (a,b) (b,b)

の16個の点を含みます。ここで、a^2+a+1=0,b=a+1です。

N=4の場合の射影平面ですが、有限体GF(4)上の3次元の同次座標を(x,y,z)とすると、z≠0の場合は、射影関係により有限体GF(4)上の2次元のアフィン座標(x/z,y/z)と対応して、16個の点からなり、z=0の場合は無限遠点で、(kx,ky,0)(k=1,a,b)を同一視すると、(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,a,0),(a,1,0)の5個の点からなるので、合計すると21(=4^2+4+1)個の点から成ります。
z≠0の場合は(kx,ky,kz)(k=1,a,b)を同一視するので、(x,y,1)で代表して、以下のように1～16の番号をつけます。

1:(0,0,1) 2:(1,0,1) 3:(a,0,1) 4:(b,0,1)
5:(0,1,1) 6:(1,1,1) 7:(a,1,1) 8:(b,1,1)
9:(0,a,1) 10:(1,a,1) 11:(a,a,1) 12:(b,a,1)
13:(0,b,1) 14:(1,b,1) 15:(a,b,1) 16:(b,b,1)

そして、残りの5個の無限遠点については、1-2-3-4を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に17という番号をつけ、以下、1-5-9-13,1-6-11-16,1-8-10-15,1-7-12-14を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に順次18,19,20,21と番号をつけていきます。

1:(0,0,1)- 2:(1,0,1)- 3:(a,0,1)- 4:(b,0,1)-17:(1,0,0)
1:(0,0,1)- 5:(0,1,1)- 9:(0,a,1)-13:(0,b,1)-18:(0,1,0)
1:(0,0,1)- 6:(1,1,1)-11:(a,a,1)-16:(b,b,1)-19:(1,1,0)
1:(0,0,1)- 8:(b,1,1)-10:(1,a,1)-15:(a,b,1)-20:(1,a,0)
1:(0,0,1)- 7:(a,1,1)-12:(b,a,1)-14:(1,b,1)-21:(1,b,0)

　この射影平面上の「直線」は以下の21本となります。

1-2-3-4-17,5-6-7-8-17,9-10-11-12-17,13-14-15-16-17,
1-5-9-13-18,2-6-10-14-18,3-7-11-15-18,4-8-12-16-18,
1-6-11-16-19,2-5-12-15-19,3-9-8-14-19,4-7-10-13-19,
1-8-10-15-20,2-7-9-16-20,3-6-12-13-20,4-5-11-14-20,
1-7-12-14-21,2-8-11-13-21,3-5-10-16-21,4-6-9-15-21,
17-18-19-20-21

21本の「直線」上にはいずれも5点が乗っており、「班編成」についての平成３０年１月２９日付けでのＧＡＩさんからのコメントで、「入居者n^2-n+1名の老人ホームではn人がグループで毎日散歩へ出掛けるルールがある。但し、道案内のため昨日散歩へ参加したn人のうち必ず1人は次の散歩グループの班長として次も参加するものとする。このことをn^2-n+1日間続けたとき、どの人も計n回散歩に出掛けたことになると言い、またどの人も他のn^2-n人と一緒に散歩したことがあると言った」のn=5の場合のグループの作り方に相当します。

GF(3)上の3次元射影空間のブロックデザインについては、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の40人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(40,130,13,4,1)の場合に相当します。

有限体GF(3)上の4次元の同次座標を(x,y,z,w)とすると、w≠0の場合は、射影関係により有限体GF(3)上の3次元のアフィン座標(x/w,y/w,z/w)と対応して、27個の点からなり、w=0の場合は無限遠点で、(x,y,z,0)と(2x,2y,2z,0)を同一視して13個の点からなるので、合計すると40(=3^3+3^2+3+1)個の点から成ります。

w≠0の場合は(kx,ky,kz,kw)(k=1,2)を同一視するので、(x,y,z,1)で代表して、以下のように1～27の番号をつけます。

1:(0,0,0,1) 2:(1,0,0,1) 3:(2,0,0,1)
4:(0,1,0,1) 5:(1,1,0,1) 6:(2,1,0,1)
7:(0,2,0,1) 8:(1,2,0,1) 9:(2,2,0,1)

10:(0,0,1,1) 11:(1,0,1,1) 12:(2,0,1,1)
13:(0,1,1,1) 14:(1,1,1,1) 15:(2,1,1,1)
16:(0,2,1,1) 17:(1,2,1,1) 18:(2,2,1,1)

19:(0,0,2,1) 20:(1,0,2,1) 21:(2,0,2,1)
22:(0,1,2,1) 23:(1,1,2,1) 24:(2,1,2,1)
25:(0,2,2,1) 26:(1,2,2,1) 27:(2,2,2,1)

残りの13個の無限遠点について以下のように28～40の番号をつけます。1-10-19を結ぶ直線の延長上の無限遠点に28という番号をつけ、以下、1-11-21,1-12-20,…の直線の延長上の無限遠点に順次29,30,…と番号をつけていきます。

1:(0,0,0,1)-10:(0,0,1,1)-19:(0,0,2,1)-28:(0,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-11:(1,0,1,1)-21:(2,0,2,1)-29:(1,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-12:(2,0,1,1)-20:(1,0,2,1)-30:(2,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-13:(0,1,1,1)-25:(0,2,2,1)-31:(0,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-14:(1,1,1,1)-27:(2,2,2,1)-32:(1,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-15:(2,1,1,1)-26:(1,2,2,1)-33:(2,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-16:(0,2,1,1)-22:(0,1,2,1)-34:(0,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-17:(1,2,1,1)-24:(2,1,2,1)-35:(1,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-18:(2,2,1,1)-23:(1,1,2,1)-36:(2,2,1,0)
1:(0,0,0,1)- 2:(1,0,0,1)- 3:(2,0,0,1)-37:(1,0,0,0)
1:(0,0,0,1)- 4:(0,1,0,1)- 7:(0,2,0,1)-38:(0,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 5:(1,1,0,1)- 9:(2,2,0,1)-39:(1,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 6:(2,1,0,1)- 8:(1,2,0,1)-40:(2,1,0,0)

無限遠点28には、直線1-10-19,2-11-20,3-12-21,4-13-22,5-14-23,6-15-24,7-16-25,8-17-26,9-18-27の9本の直線が通り、同様に無限遠点29～40についてもアフィン空間上の点から9本ずつの直線が通るので、まず、13×9＝117本の直線が含まれます。それに加えて、無限遠点を相互に結ぶ以下の13本の直線が追加されるので、合計130本の直線が含まれます。

37-38-39-40,28-29-30-37,28-31-34-38,
28-32-36-39,31-32-33-37,29-32-35-38,
34-35-36-37,30-33-36-38,28-33-35-40,
30-32-34-40,29-33-34-39,30-31-35-39,29-31-36-40

このようにしてつくった有限体GF(3)上の3次元射影空間は、40個の点と130本の直線を含んでいて、(40,4,1)-デザインとなり、任意の異なる2個の点に対し、その2個の点を全て含むブロックの元はちょうど1個であるという条件も満たすので、2-(40,4,1)-デザインとなります。

130本の直線を10本の直線からなる13組の平行類へ分類するパターンから、40人の女子学生の10卓への13日間の組み分けのパターンが得られるので、Magma Free Online Calculatorの力を借りて求めると、一例として、

1日目
{1,2,3,37},{10,14,18,39},{21,23,25,40},{4,13,22,28},{8,16,27,30},{9,12,24,31},{6,17,19,33},{5,11,26,34},{7,15,20,36},{29,32,35,38}
2日目
{16,17,18,37},{19,22,25,38},{1,6,8,40},{5,14,23,28},{3,10,20,29},{7,11,24,32},{2,13,27,33},{9,15,21,34},{4,12,26,36},{30,31,35,39}
3日目
{7,8,9,37},{20,23,26,38},{10,15,17,40},{2,12,19,29},{6,14,22,30},{1,13,25,31},{5,16,21,33},{3,18,24,34},{4,11,27,35},{28,32,36,39}
4日目
{19,20,21,37},{3,4,8,39},{12,14,16,40},{6,13,23,29},{7,18,26,30},{2,15,25,32},{9,11,22,33},{1,17,24,35},{5,10,27,36},{28,31,34,38}
5日目
{12,15,18,38},{19,23,27,39},{2,4,9,40},{8,17,26,28},{1,11,21,29},{5,13,24,30},{7,10,22,31},{6,16,20,32},{3,14,25,33},{34,35,36,37}
6日目
{1,10,19,28},{5,15,22,29},{9,17,25,30},{8,11,23,31},{3,13,26,32},{4,18,20,33},{6,12,27,34},{7,14,21,35},{2,16,24,36},{37,38,39,40}
7日目
{22,23,24,37},{11,14,17,38},{2,6,7,39},{9,16,26,29},{1,12,20,30},{3,15,27,31},{5,18,19,32},{4,10,25,34},{8,13,21,36},{28,33,35,40}
8日目
{10,11,12,37},{21,22,26,39},{3,5,7,40},{6,15,24,28},{8,18,25,29},{4,16,19,31},{1,14,27,32},{2,17,23,34},{9,13,20,35},{30,33,36,38}
9日目
{2,5,8,38},{20,24,25,39},{11,13,18,40},{3,12,21,28},{7,17,27,29},{4,15,23,30},{1,16,22,34},{6,10,26,35},{9,14,19,36},{31,32,33,37}
10日目
{25,26,27,37},{10,13,16,38},{1,5,9,39},{2,11,20,28},{4,14,24,29},{6,18,21,31},{7,12,23,33},{8,15,19,35},{3,17,22,36},{30,32,34,40}
11日目
{3,6,9,38},{11,15,16,39},{20,22,27,40},{2,14,26,31},{4,17,21,32},{8,10,24,33},{7,13,19,34},{5,12,25,35},{1,18,23,36},{28,29,30,37}
12日目
{4,5,6,37},{21,24,27,38},{12,13,17,39},{7,16,25,28},{3,11,19,30},{9,10,23,32},{1,15,26,33},{8,14,20,34},{2,18,22,35},{29,31,36,40}
13日目
{13,14,15,37},{1,4,7,38},{19,24,26,40},{9,18,27,28},{2,10,21,30},{5,17,20,31},{8,12,22,32},{3,16,23,35},{6,11,25,36},{29,33,34,39}

となります。

カークマンの話で出てきたアーサー・ケイリーですが、八元数のことをケイリー数ともいって、これは、ジョン・グレイヴスとは独立に八元数を発見したアーサー・ケイリーに因んでいます。八元数には7つの虚数単位がありますが、7つの虚数単位の相互の積を記憶する方法で、ファノ平面((7,3,1)-デザイン)が用いられています。