複素数の底力
トレミーの定理
円周上に、異なる四点が、左回りに
A（α）B（β）C（γ）D（δ）があるとき、
AB・CD＋AC・BD≧AD・BC が成り立つ。
初等幾何的証明もありますが、複素平面を利用して
｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧｜ｘ＋ｙ｜を使って
｜α－β｜｜γーδ｜＋｜αーδ｜｜βーγ｜
≧｜(α－β)(γーδ)＋(αーδ)(βーγ)｜
＝｜αγ－αδーβγ＋βδ＋αβーαγーδβ＋δγ｜
＝｜αβーαδ＋δγーβγ｜
＝｜α(βーδ)＋γ（δーβ）｜
＝｜（αーγ）（βーδ）｜＝｜αーγ｜｜βーδ
よって、与式が示された。｜
最初の式が、間違えてました。
ABCD＋ADBC＞＝ACBD でした
トレミーの不等式でした。
等式の部分が不足してます。
等号が成り立つ⇔（α－β）（γーδ）＝ｋ（αーδ）（βーγ）
⇔（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ）=ーk（実数）
⇔偏角を取ると、０ではなく、１８０°の場合になる
⇔ＡＲＧ（（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ））＝π
⇔ＡＲＧ（α－β/αーδ）＋ＡＲＧ（γーδ/γーβ）＝π
⇔∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝π 対角の和がπ
⇔Ａ、Ｂ、C、Dは同一円周上の点
