MENU
13,825

スレッドNo.213

複素数の底力

トレミーの定理
円周上に、異なる四点が、左回りに
A(α)B(β)C(γ)D(δ)があるとき、
AB・CD+AC・BD≧AD・BC が成り立つ。
初等幾何的証明もありますが、複素平面を利用して
|x|+|y|≧|x+y|を使って
|α-β||γーδ|+|αーδ||βーγ|
≧|(α-β)(γーδ)+(αーδ)(βーγ)|
=|αγ-αδーβγ+βδ+αβーαγーδβ+δγ|
=|αβーαδ+δγーβγ|
=|α(βーδ)+γ(δーβ)|
=|(αーγ)(βーδ)|=|αーγ||βーδ
よって、与式が示された。|

引用して返信編集・削除(未編集)

最初の式が、間違えてました。
ABCD+ADBC>=ACBD でした
トレミーの不等式でした。
等式の部分が不足してます。

引用して返信編集・削除(未編集)

等号が成り立つ⇔(α-β)(γーδ)=k(αーδ)(βーγ)
⇔(α-β)(γーδ)/(αーδ)(γーβ)=ーk(実数)
⇔偏角を取ると、0ではなく、180°の場合になる
⇔ARG((α-β)(γーδ)/(αーδ)(γーβ))=π
⇔ARG(α-β/αーδ)+ARG(γーδ/γーβ)=π
⇔∠DAB+∠DCB=π 対角の和がπ
⇔A、B、C、Dは同一円周上の点

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月16日 19:43)

このスレッドに返信

ロケットBBS

Page Top