覆面算×素因数分解
こんにちは。いつも楽しく拝見しております。
以下で，Ａ，Ｂ，Ｃ，……は０以上９以下の相異なる整数で，これらを並べたものは十進数表記であるものとする。ただし，最高位は０ではない。また，p，q，r，……は相異なる素数とする。２式を同時に満たすＡ，Ｂ，Ｃ，……およびp，q，r，……は何か。
(1) ＡＢＣ＝(p^3)×(q^3)
ＢＣＡ＝(p^4)×q
(2) ＡＢＣ＝(p^4)×q
ＢＣＡ＝(r^2)×q
(3) ＡＢＣ＝p×q （ただし，p<q）
ＡＣＢ＝r×s×t×u （ただし，r<s<t<u）
(4) ＡＢＣ＝p×q×r （ただし，p<q<r）
ＡＣＢ＝(s^2)×t
(5) ＡＢＣ＝(p^2)×(q^2)×r
ＡＣＢＣ＝(p^3)×(q^3)×r （ただし，p<q）
(6) ＡＢＣ＝(p^2)×q
ＡＣＢＣ＝(p^2)×q×(r^2)
(7) ＡＢＣ＝p^3
ＣＡＢ＝q^9
(8) ＡＢＣ＝p^4
ＢＣＡ＝q^8
(9) ＡＢＣＤ＝p^4
ＤＣＡＢ＝q^10
(7)～(9)はおまけ。ほかにもきれいな形がありそうです。
面白い問題ですね。
(1) 216 = 3^3 * 2^3, 162 = 3^4 * 2
(2) 592 = 2^4 * 37, 925 = 5^2 * 37
(3) 901 = 17 * 53, 910 = 2 * 5 * 7 * 13
(4)
(5) 180 = 2^2 * 3^2 * 5, 1080 = 2^3 * 3^3 *5
(6) 175 = 5^2 * 7, 1575 = 5^2 * 7 * 3^2
(7) 125 = 5^3, 512 = 2^9
(8) 625 = 5^4, 256 = 2^8
(9) 2401 = 7^4, 1024 = 2^10
(4) だけは理詰めでも当てずっぽうでも厳しそう……。
これも綺麗ですかね。
知らなきゃ難問だと思いますが。
ABC = p^2 * q^2 (p<q)
ACB = r^2
BCA = s^2
管理人様、DD++様
ご回答ありがとうございます。正解です！
DD++様
ＡＣ＝p^4 ですね。
数字の並びを知っていたら分かりますが、理詰めで解くならば素数の平方が3桁になるものを書き出して絞りそうです。
(4) については、
ＡＢＣとそのアナグラムが互いに素であれば素因数3を含まないこと、
7*11*13＝1001＞999より、pは2または5であること
などを用いれば多少絞り込めますが、最後はしらみつぶしかなと思います。
（追記）
最終的には、
ＡＢＣ＝p*q*r， （ＡＢＣのアナグラム）＝s*t*u
のようなものを作りたかったのですが、私が手計算した限りでは存在しませんでした。
(4) 874 = 2 * 19 * 23, 847 = 11^2 * 7
s が 2 桁になるのは想定してなかった……。
(4)の解はもう一つありますね。
DD++様
ありがとうございます。私の想定解でした。
らすかる様
ありがとうございます。
唯一解と思っていましたが、確かに s が２桁の解がもう１つありましたね。
管理人さんの解答である 174 と 147 は、素因数の 3 が重複してるので
「p、q、r、…… は、相異なる
素数とする。」
に反していますね。
DD++さん、ご指摘ありがとうございます。確かに、条件に反していましたね！
