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スレッドNo.221

覆面算×素因数分解

こんにちは。いつも楽しく拝見しております。

以下で,A,B,C,……は0以上9以下の相異なる整数で,これらを並べたものは十進数表記であるものとする。ただし,最高位は0ではない。また,p,q,r,……は相異なる素数とする。2式を同時に満たすA,B,C,……およびp,q,r,……は何か。

(1) ABC=(p^3)×(q^3)
   BCA=(p^4)×q
(2) ABC=(p^4)×q
   BCA=(r^2)×q
(3) ABC=p×q     (ただし,p<q)
   ACB=r×s×t×u  (ただし,r<s<t<u)
(4) ABC=p×q×r  (ただし,p<q<r)
   ACB=(s^2)×t
(5) ABC=(p^2)×(q^2)×r
  ACBC=(p^3)×(q^3)×r  (ただし,p<q)
(6) ABC=(p^2)×q
  ACBC=(p^2)×q×(r^2)
(7) ABC=p^3
   CAB=q^9
(8) ABC=p^4
   BCA=q^8
(9) ABCD=p^4
   DCAB=q^10

(7)~(9)はおまけ。ほかにもきれいな形がありそうです。

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面白い問題ですね。

(1) 216 = 3^3 * 2^3, 162 = 3^4 * 2
(2) 592 = 2^4 * 37, 925 = 5^2 * 37
(3) 901 = 17 * 53, 910 = 2 * 5 * 7 * 13
(4)
(5) 180 = 2^2 * 3^2 * 5, 1080 = 2^3 * 3^3 *5
(6) 175 = 5^2 * 7, 1575 = 5^2 * 7 * 3^2
(7) 125 = 5^3, 512 = 2^9
(8) 625 = 5^4, 256 = 2^8
(9) 2401 = 7^4, 1024 = 2^10

(4) だけは理詰めでも当てずっぽうでも厳しそう……。


これも綺麗ですかね。
知らなきゃ難問だと思いますが。

ABC = p^2 * q^2 (p<q)
ACB = r^2
BCA = s^2

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管理人様、DD++様
 ご回答ありがとうございます。正解です!

DD++様
 AC=p^4  ですね。
 数字の並びを知っていたら分かりますが、理詰めで解くならば素数の平方が3桁になるものを書き出して絞りそうです。

 (4) については、
   ABCとそのアナグラムが互いに素であれば素因数3を含まないこと、
   7*11*13=1001>999より、pは2または5であること
  などを用いれば多少絞り込めますが、最後はしらみつぶしかなと思います。

(追記)
最終的には、
 ABC=p*q*r, (ABCのアナグラム)=s*t*u
のようなものを作りたかったのですが、私が手計算した限りでは存在しませんでした。

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(4) 874 = 2 * 19 * 23, 847 = 11^2 * 7

s が 2 桁になるのは想定してなかった……。

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(4)の解はもう一つありますね。

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DD++様
 ありがとうございます。私の想定解でした。

らすかる様
 ありがとうございます。
 唯一解と思っていましたが、確かに s が2桁の解がもう1つありましたね。

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管理人さんの解答である 174 と 147 は、素因数の 3 が重複してるので
「p、q、r、…… は、相異なる
素数とする。」
に反していますね。

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DD++さん、ご指摘ありがとうございます。確かに、条件に反していましたね!

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