三角形 心を繋ぐ
三角形の中心について、調べると最近一万近くある記事をみてビックりします。
その前知ったときは、２００くらいでしたが。確かに、有名なフェルマー点や、ナポレオン点などあります。チェバの定理で、比を適当に変えればいくらでも作れそうです。中でも有名な、外心O、内心I、重心G、垂心Hについて、考察しました。
便宜上、鋭角三角形に限定します。（内部にあるため）
先ず、簡明な、△ABCについて、その辺の中点をDEFとした場合、△ABCと△DEFの重心は一致します。それで、△ABC（G）＝△DEF（G）と表記します。
次に、△ABCの外心をとります。各辺の中点で作る三角形の垂心を考えるとOに一致します。したがって、△ABC（O）＝△DEF（H）
いぜんにも、似た内容を投稿しましたが。
「△ABC（□）＝△ＤＥＦ（☆） 但し、ＤＥＦは、ＡＢＣに由来」を考察します。
△ABCの垂心をHとする。各辺の垂心の足をDEFとすると、
Hは、△DEFの内心になる。したがって、
△ABC（H）＝△DEF（I）
△ABCの内心をIとする。内接円の各辺との接点をDEFとすると、
Iは、△DEFの外心になる。したがって、
△ABC（I）＝△DEF（O）
これで、H→I→O→Hとなりましたが、
逆の、I→H→O→Iの場合、見つけていただけないでしょうか？
管理人様へ 前の記事、追加編集してます。
△ABCの、外心をO、
ベクトル OA＝a, OB=b, OC=c とするとき、
重心 OG＝（a+b+c）/3
垂心 OH＝a+b+c なので
OH＝３OG （オイラー線）
△ABCの、外心（O）垂心（H）内心（I）重心（G）
の4個のうち、いずれかの二つが、一致するとき、
△ABCが正三角形であるための
必要十分条件になります。
△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による、対称点をDEFとする。△DEFの内心が、Hに一致するので、△ABC（H）＝△DEF（I）
△ABCの内心をＩとする。Ｉのそれぞれの辺対称な点をＤＥＦとする。
△ＤＥＦの外心は、Ｉに一致するので、
△ＡＢＣ（Ｉ）＝△ＤＥＦ（Ｏ）
△ABCの外心をOとする。各辺による、点Oの対称点をDEFとすると、
△DEFの垂心は、Oに一致する。
△ABC（O）＝△DEF（H）
H→I→O→H 逆順の例はないでしょうか？
△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する。
したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）
逆に、△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点を
それぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致するので、
△ABC（I）＝△DEF（H）
また、△ABCの外接円をOとするとき、円周上のどの三点DEFをとっても
△ABC（O）＝△DEF（O）
証明は、簡単ですが、…
