２通りの解釈
ある大学入試問題に
正七角形の頂点と対角線の交点で作られる三角形について
少なくとも2つの頂点が正七角形の頂点であるような異なる三角形は
何個あるか。
という問題が問われた。
ただそこに与えられた解答は正七角形の7つの頂点と中に発生する
交点から3点を選んで作られる三角形とみて解いたものであった。
しかしこの文章からは正七角形と引かれた全対角線の状態においての
三角形として考えるべきではないかと思われてしまいます。
そこで皆さんへ
上記の解釈と、下記での解釈をした場合のそれぞれの個数を求めて頂きたいのですが・・・
読解力のない私には
後者「正七角形と引かれた全対角線の状態においての三角形」
の意味が理解できません。
前者「正七角形の7つの頂点と中に発生する交点から3点を選んで作られる三角形」
との違いを教えて下さい。
（前者のみに含まれるもの、あるいは後者のみに含まれるものの例をお願いします。）
私も日本語の使い方に不安を抱える技量不足の力しかありませんが
後者の意味は
「正七角形と引かれた全対角線の状態」
においては対角線によって中に35個の交点が発生し、中心部では
小さい正七角形が作られている図形が現れてきます。
従って考えれる三角形は今の状態において図の中に発見できるものに
限っての三角形をカウントすることになります。
ですから中心部の小さい正七角形の交点の7つから3つを選んで出来る
三角形は対象外にする。
つまり
前者は出来た交点を元に作られる三角形の総数
後者は出来た図形に含まれる三角形の形状の総数
のニュアンスです。
それならば、とりあえず元の問題文が
「正七角形の頂点と対角線の交点で作られる三角形について」
のように「点で作られる」三角形と言っていますので、
元の問題の解釈は前者ですね。
# 対象が「点」のみのため「辺」や「対角線」は関係ない、つまり
# 辺や対角線がなく42個の点が散らばっている状態から
# （一直線上にない）3点を選んで結び、
# 三角形を描くということになると思います。
もし後者の解釈ならば「点」に言及する必要がありませんので
「正七角形の辺と対角線で作られる三角形」
と表現されると思います。
後者の場合、考え違いがなければ
3点が正七角形の頂点 → 7C3個
2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個
計175個
となる気がします。
> 2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個
この計算式だけで処理可能な理由を解説して下さい。
できたら前者の場合の計算方法も教えて下さい。
2点が正七角形の頂点で残り1点が対角線の交点、かつその対角線が
最初の2点から出ている線ならば、それら2本の対角線の反対側は
正七角形の頂点なわけで、そうするとこれら4つの頂点と対角線の
交点から4つの三角形が構成されることがわかります。
この対応には重複はありませんので、7C4×4で計算されることになります。
前者の計算は
対角線の交点が2頂点を通る直線上にある場合も含めると、
全部で7C2×35個
このうち対角線の交点が2頂点を通る直線上にあるものは
交点1つにつき2回数えられているので、
1頂点が対角線の交点であるものは 7C2×35-35×2=665個
すべて正七角形の頂点であるものは7C3=35個なので、
求める個数は665+35=700個
