円上の三角形
半径1の円周上に三点A,B,Cがある。
(1)このとき△ABCが鋭角三角形であるとき
L=AB^2+BC^2+CA^2
はどんな値の範囲であるか？
(2)△ABCの各角A,B,Cが度数法での整数角を
動くとき、L=AB^2+BC^2+CA^2の値が整数値
となるときのLと角度A,B,Cの組合せを求めよ。
(△ABCは直角三角形ではないものとする。)
(1) L=8(1+cosAcosBcosC) となり、計算は省略して 8＜L≦9
(2) 単位の°は省略してA≦B≦Cとして
(A,B,C,L)=(6,66,108,7),(15,60,105,7),(30,30,120,5),(36,42,102,7),(60,60,60,9)
で合っているでしょうか。
すべて一致しています。
(1)を判断できるLの変形もお見事です。
(2)のL=7での組み合わせは、こんなものもあるのだと計算させてやっと見つかるもので
論理的に求めるのは無理と思われます。
L=6が存在できないのが不思議で面白いです。
