😊出会いの泉😊

(1) L=8(1+cosAcosBcosC) となり、計算は省略して 8＜L≦9
(2) 単位の°は省略してA≦B≦Cとして
(A,B,C,L)=(6,66,108,7),(15,60,105,7),(30,30,120,5),(36,42,102,7),(60,60,60,9)
で合っているでしょうか。

すべて一致しています。
(1)を判断できるLの変形もお見事です。
(2)のL=7での組み合わせは、こんなものもあるのだと計算させてやっと見つかるもので
論理的に求めるのは無理と思われます。
L=6が存在できないのが不思議で面白いです。

何となく「角度をもう少し細かくしたらどうなる？」と思ったので0.5°刻みで計算してみると、
(A,B,C,L) = (22.5,45,112.5,6)
というのが出てきました。どうも「1周が360°」というのが粗かったようです。
さらに(1/120)°刻みかつLの方も整数/120まで許しても、他には一つも出てきませんでした。
今回の件では、1周720°が良かったようです。

(追記)
1周240°でも大丈夫ですね。もし1周が240°だったら
(A,B,C,L)=(4,44,72,7),(10,40,70,7),(15,30,75,6),(20,20,80,5),(24,28,68,7),(40,40,40,9)
となっていました。

なるほど！
度数法は相対的基準ですよね。
何も360に拘らなくいても変換可能ですから、一周を240とする基準なら6のL値を与える角度は各整数値で示せることになる。
いや～恐れ入りました。

らすかるさん頭柔らか～
腑に落ちました。

さらに調べました。
A,B,Cを分母7の分数にすると
(A,B,C,L)=(180/7,360/7,720/7,7)
というのが見つかりますので、より一般的にして
A,B,Cが有理数度(≠90°)で合計180°のときにLが有理数になる組合せ、すなわち
A：B：Cが整数比でA+B+C=πのときにcosAcosBcosCが有理数になるような組合せ
をある程度調べました。A：B：C=p：q：r(p,q,rは自然数でp≦q≦r≦1000)で見つかったのは以下の7つです。
A：B：C = 1：1：1 → cosAcosBcosC = 1/8 → (60,60,60), L=9
A：B：C = 1：1：4 → cosAcosBcosC = -3/8 → (30,30,120), L=5
A：B：C = 1：2：4 → cosAcosBcosC = -1/8 → (180/7,360/7,720/7), L=7
A：B：C = 1：2：5 → cosAcosBcosC = -1/4 → (45/2,90/2,225/2), L=6
A：B：C = 1：4：7 → cosAcosBcosC = -1/8 → (15,60,105), L=7
A：B：C = 6：7：17 → cosAcosBcosC = -1/8 → (36,42,102), L=7
A：B：C = 1：11：18 → cosAcosBcosC = -1/8 → (6,66,108), L=7
（C,B,Aの昇順）　※cosAcosBcosCの有理数判定は厳密ではありません
つまり整数度と(45/2,90/2,225/2)と(180/7,360/7,720/7)の他には見つかりませんでした。
もしかしたら
・A：B：Cが整数比でA+B+C=π(A,B,C≠π/2)のときにcosAcosBcosCが有理数になる組合せは7つしかない
・そしてその場合Lは必ず整数
というのが成り立つ可能性がありますが、証明は難しそうですね。
角度は1周1680°が良かったのかも知れません。

(45/2,90/2,225/2)でL=6 と
(180/7,360/7,720/7)でL=7
確かに条件を満たしてくれます。
gp > 4*(sin(22.5*Pi/180)^2+sin(45*Pi/180)^2+sin(112.5*Pi/180)^2)
%73 = 6.0000000000000000000000000000000000000

gp > 4*(sin(180/7*Pi/180)^2+sin(360/7*Pi/180)^2+sin(720/7*Pi/180)^2)
%81 = 7.0000000000000000000000000000000000000

を形状を実際に描いて眺めましたがL=6は何とか中心角に直して(45°,90°,225°)
作図すれば納得できることは可能でしたが
下のL=7を与える有理数角は思いつきも出来そうにありません。(計算機を使っても探すのは無理です。)

自分も有理数角ではと思いある程度調査はしていたんですが、とてもじゃないが全有理数を
相手に途方に暮れるばかりでした。

しかしL=7の場合の角度は微妙なバランスをとって多様なパターンを発生できることは驚きです。
新しい知見を示されることに感謝です。