x^4+20015*y^4=z^4+20015*w^4 の自明でない整数解
不定方程式 x^4+20015*y^4=z^4+20015*w^4 の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか計算した。
8513710387513^4+20015*209949857134^4=8527633537859^4+20015*122012568856^4
9892332126346429069688889044164658960191848102869506039998033551555613270738667910553646254942303626304035^4+20015*282375846852921480964433503904805379625885825616798886856138678934021519680884390219919579234359698449992^4=9925032812819466394586889015510060805356844220367653327693761849044080174621341735884401992515201427554265^4+20015*2411350229317465545384305070959991472669092998108164006242023765105913395933698810937773983094372796242^4
2677651100023618434981109559850488552207531569795312055822533434762892478328869837245922825028883845330896533406380578399171989175645491578236184558369650942043167887283166034896128860985587951254126001206787530210231033783856955984867477707280557291599961248650508760544906753647258616108293^4+20015*66680387190839598447192830900882557165237093380565781626016688802289031437057753259818562302480089665266565530086182295250137953199601610360376839747332802418023869520001221278145719210939803794285672907913249355673307795087120078111916422228362388282962817283155153566658992906461835606058^4=2682290206168498752428379800354386881589412555237532430773808981536199171442827714063918824549894051072804350925002296223125105100397923131621600995058828381645481051740753148842918794116724793219285668091432989366306082302758312409560397598020095239610331676397752987509204244284658329188551^4+20015*37242769748266728770397483705109275936877996884424010539720740943619058778327792120177159846186420220824987595710455752892289885898906305825286884259430380430854143969290056224344204387451055476689659943242500742109470154591035119059513486687681708894272710610625443818053264525957547224088^4
...
先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。
また、max{|x|,|y|,|z|,|w|}<=100000を満たす自明でない整数解(x,y,z,w)は存在しない。
しかし、max{|x|,|y|,|z|,|w|}=8527633537859は13桁であるので、最小解である可能性は高いと思われる。
この辺りまでは、工夫次第で力任せの全域検索(brute-force search)が有効そうなので、この最小性(あるいは、もっと小さい整数解があるか)を検証してみてはいかがでしょうか？
