x^4+20015*y^4=z^4+20015*w^4 の自明でない整数解
不定方程式 x^4+20015*y^4=z^4+20015*w^4 の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか計算した。
8513710387513^4+20015*209949857134^4=8527633537859^4+20015*122012568856^4
9892332126346429069688889044164658960191848102869506039998033551555613270738667910553646254942303626304035^4+20015*282375846852921480964433503904805379625885825616798886856138678934021519680884390219919579234359698449992^4=9925032812819466394586889015510060805356844220367653327693761849044080174621341735884401992515201427554265^4+20015*2411350229317465545384305070959991472669092998108164006242023765105913395933698810937773983094372796242^4
2677651100023618434981109559850488552207531569795312055822533434762892478328869837245922825028883845330896533406380578399171989175645491578236184558369650942043167887283166034896128860985587951254126001206787530210231033783856955984867477707280557291599961248650508760544906753647258616108293^4+20015*66680387190839598447192830900882557165237093380565781626016688802289031437057753259818562302480089665266565530086182295250137953199601610360376839747332802418023869520001221278145719210939803794285672907913249355673307795087120078111916422228362388282962817283155153566658992906461835606058^4=2682290206168498752428379800354386881589412555237532430773808981536199171442827714063918824549894051072804350925002296223125105100397923131621600995058828381645481051740753148842918794116724793219285668091432989366306082302758312409560397598020095239610331676397752987509204244284658329188551^4+20015*37242769748266728770397483705109275936877996884424010539720740943619058778327792120177159846186420220824987595710455752892289885898906305825286884259430380430854143969290056224344204387451055476689659943242500742109470154591035119059513486687681708894272710610625443818053264525957547224088^4
...
先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。
また、max{|x|,|y|,|z|,|w|}<=100000を満たす自明でない整数解(x,y,z,w)は存在しない。
しかし、max{|x|,|y|,|z|,|w|}=8527633537859は13桁であるので、最小解である可能性は高いと思われる。
この辺りまでは、工夫次第で力任せの全域検索(brute-force search)が有効そうなので、この最小性(あるいは、もっと小さい整数解があるか)を検証してみてはいかがでしょうか？
13桁の全域検索は工夫してもなかなか難しいと思いますが、
max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000で見つかりました。
134542^4+20015*6671^4 = 137662^4+20015*4495^4
というわけで、8527633537859は最小解ではないですね。
プログラムにバグがなければ、上記のmax{|x|,|y|,|z|,|w|}=137662が最小（非自明）解になります。
他に、以下の式も見つかっています。
74257^4+20015*20319^4 = 174332^4+20015*18834^4
274633^4+20015*18215^4 = 297796^4+20015*6082^4
らすかるさん
max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000の範囲なら、プログラムも作成も含めて１時間程度で調査可能とは、驚きました。
効率化のために、20015=5*4003で、素因数4003は3(mod 4)である、つまり、-1はmod 4003で非平方剰余であることを利用しているのでしょうか？
いいえ、利用していません。
せっかくプログラムを作ったので、他の数の式も探してみました。
20018の最小解は（プログラムにバグがなければ）
133577^4+20018*11323^4 = 152033^4+20018*8671^4
他に
129271^4+20018*16993^4 = 198353^4+20018*11893^4
16329の方は、max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦500000の範囲に解はないようでした。
らすかるさんが発見したn=20015のときの3個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。
274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4
471758617428595540183682732692^4+20015*33182522896603830112768752986^4=521203098982384930174044459691^4+20015*3082513578621978511673974235^4
2199272109945132967972909023668^4+20015*109548338612842553693160745006^4=2220191273261141016985252983839^4+20015*99726299306351580407551940495^4
718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4
278549539658427682321244650577537246177792978297114687237757158092^4+20015*16270563247776413311098351615671169461312062323926289153888919114^4=291501330513495627855817332066512623013352024087931567328536168141^4+20015*10028888060190831787837430117596182398452837771072914010451483875^4
23944497258055168906961645361781089759110176351368515607238038965249^4+20015*1657524976897418745718003299720624586587297113445894012164914585745^4=26316054299516218429719084886604065410348366555854552236844740964588^4+20015*311882778374863013968781043903803645198834156352163573657530231854^4
11226548377970413612500519995949116633701930425007048073115589409227121984880731009688505118142089719637^4+20015*675811405125919905302364027449764948460078509098278082840233198718505430719945036966803399830103429925^4=11841011597470942314446697064279610277280650201227616765564904040970998156842498404558665424966876353444^4+20015*376274088860053485284474603392669868916313499895518443671782485386072508752165400429416657904368051898^4
220691579014143434870860902987823131213434317436079148830095556032333333996300054482011362013540998140004^4+20015*14020312409902709813353163276367829056767211452673040276584243552922638099347359445572976136007636224182^4=236267409981538966178380432038203365904443363683624960027612953968957460140057080695215322556446354851517^4+20015*6190566552175095066466503558660081317826048344771244522901592823380671657047231910047203860560197429005^4
4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4
...
74257^4+20015*20319^4=174332^4+20015*18834^4
19655572359060351077593^4+20015*4079877272410703532009^4=33069708345313027901668^4+20015*3872005446360268636194^4
54749572634601332711939827883^4+20015*22251538392300879935341812699^4=198369397650205811786399796908^4+20015*20252636445662343677908713894^4
92350921449882593361472831526901086188^4+20015*28213087019802844224348462736519556514^4=245523037020157522484975674222137479287^4+20015*25981239077479481120210209812108928359^4
2238651227846415103114758229111969950046265200252^4+20015*1080328614816281732194024756479248043893335924134^4=9716224811343949739735328935003237860780880319173^4+20015*978869361488537922120605282356441084286828987499^4
720495255487133241692624386147010178903076029345105411019595931578132^4+20015*161980410950708467286282696104289836252281791509361581068647483250114^4=1340138448690895535989308953747360684143583624760362054424475956248743^4+20015*152490863685518823439602295474288698009075998718778065341093657328489^4
1069513273984141839995839010597639207916186205114270055112699835475479867573750067^4+20015*180265471548940127880547723898825110990484672757903801394476463273234589353603869^4=1349865065297277460880456301170251643534422104711394368331328168291715433886015092^4+20015*175813578807881602515994408693009771118768545298679469849551483388975339879144374^4
6684689781028901608736255576669176077363335240965445937255550512700912139845245181018809029387^4+20015*5355306156912991275607045975686593845525345880842793405387026423629282694218422459751288977349^4=48813990810182834790572342875066939414742123568150096229385788775440876368277041931469655829012^4+20015*4818173727833952735534899287538252135884381744534615959137423933051350602388512525922097484774^4
...
274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4
718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4
4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4
...
らすかるさんが発見したn=20018のときの2個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。
129271^4+20018*16993^4=198353^4+20018*11893^4
3945822257173661521287463881015941^4+20018*1371688971357445874707494319939057^4=16248945516451885959717618836052163^4+20018*514103868444835962913491612208093^4
332445795971231006616412889705987203305308268591672815069192432931402210536446726936308437^4+20018*6123932587512844327082360406845207982153933961123604241839483053236415085498072260471915237^4=72719249007600485117487408839541485538860409659611643297602566850005331042294288846840883741^4+20018*1755814119357340772174336509395323175167403908892716598442986579137033671338519847668341113^4
4549843963195303335734880288374590697820480654685362673684507763909976419408643068494498700489969291638331036323666549642203632803141978787958689426860669730383929810425576884807^4+20018*1506737865623043706822575226614041509939553725140853999391071205201422132531250696629586873765535468974916132597944559294246549350813586270470752108033661028537984936305793462637^4=17844317615941737604856541602460161312266563977153561216827410015829618178900872049233009899368532345124389955510921872875488589558881449708411960517263680764234398292067746779151^4+20018*576538494365339648734454839725793401227674863159404271454504997631584839332915234027177445920123319357780030515792998234874119067411663486954513538049310571915799031592595320537^4
...
133577^4+20018*11323^4=152033^4+20018*8671^4
934945174325070597605177886702911^4+20018*98410553546482920979970509403053^4=1259130138764499271410386237373991^4+20018*50295992219705241028571999694089^4
206151792569683936775023065646470197^4+20018*23417526206340820333508086725722563^4=295634697660889225698452060600807837^4+20018*9834150822116281507630970232030751^4
85682396628860657130160550211739545528029249527^4+20018*6524033985749496793204434180526027990707656537^4=90299624071640500681441761444694894122331799567^4+20018*5864251825226738213733507345186822067034945149^4
18405707671794765723170561358027854654135730984163^4+20018*2395340595648443979586315541305662059092276777781^4=29640589127079872802657815697987308125205418439547^4+20018*554771646912921247537875130698213662726902513753^4
11140366911857942673272914476009189361853985981723101629810283222283408529108871434538434579^4+20018*1041988185614519557962796863250090393345109221831844758308991487271426097440326176213232357^4=13659788431090345348533675612916202680868298573989060989847000597969029808954015405113038251^4+20018*676181755164883178105970910260538942190776756781948365260422917572087393690858720658421641^4
...
n=20015のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか見つけた。
274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4
718044947021967^4+20015*78261955103425^4=966404558198196^4+20015*51831174560314^4
53661297554440034490629^4+20015*7022617914569341986469^4=77837095906925935346147^4+20015*5640895508161367985469^4
2210771248165316517968534^4+20015*195629937543592760401730^4=2697589233093260339346431^4+20015*59369959323425431748597^4
173917385923125737962928516666^4+20015*35814033446160642194813342014^4=306149164462246564543519051037^4+20015*33450231502902647918829318847^4
91382926075908996323182819344504781500148^4+20015*7357516714221248317705929420074550580766^4=106446142832758148128897281307415487718627^4+20015*532739682223545485287360179545343152723^4
17753945561219653689207463767557480607662401^4+20015*4662439650793608865270507348205451147560224^4=35197163477699600280915544448702850037351507^4+20015*4474484019743506016100392056204028077515022^4
1556008196965207586428676000978744879378280264516162018434031^4+20015*143814030993870640647637362932622228603941448564095465059940^4=1941151978777845425306692581312758189183341735126991047314429^4+20015*57927949955606322574180845813765695579662178898719740544078^4
15512357344047023896703334483513248076982958910662081087341373793^4+20015*818116268760682998608831084923363576267057496064876760836680021^4=15914319697211505818964159026785008257549993974546495425389356626^4+20015*607564559960240086948399181304822529303372462601612107573450918^4
66270773149048535278511546179645938528960772452801967922633145713^4+20015*137708851975275665439309993350015337753733136269396401647573023103^4=590947660037820310945951009677922521978125572594700550736048730612^4+20015*137121898299795264672205916101462872624400806662074284588025616606^4
172415563676386539187729581259703243156638114834882362026609286634139^4+20015*66317828523206603772691753588054939412205928585163578845076582549958^4=423003221219539406466320386867639681495943848365848314258201345018073^4+20015*64942373047016326706570096968483194956001836597723348514328781365436^4
4342963477992932294709394389285273737998536750769028695082359781924207826081^4+20015*2921784842453041692935152404110589419397042777756472777451352860320376339477^4=15444016987694819121640679826068912049737130960976361154148921671264993414042^4+20015*2893052710247946644981235205633221124846982760923558510631131938858130397074^4
....
n=20017のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。
3637^4+20017*1816^4=5801^4+20017*1814^4
32309^4+20017*8542^4=74936^4+20017*7853^4
91513^4+20017*7128^4=104994^4+20017*1943^4
103183^4+20017*10778^4=139726^4+20017*3277^4
216656^4+20017*17701^4=254057^4+20017*3316^4
1562768^4+20017*116227^4=1758431^4+20017*40972^4
2864003^4+20017*188372^4=3080401^4+20017*105142^4
8388161^4+20017*588152^4=9226258^4+20017*265807^4
30357046^4+20017*7041445^4=65115497^4+20017*6327190^4
17148713^4+20017*10556960^4=71304412^4+20017*10272155^4
124853168^4+20017*13438337^4=172456087^4+20017*4870478^4
147020254^4+20017*66784973^4=487826083^4+20017*64294192^4
360358287^4+20017*44469931^4=542459219^4+20017*25568889^4
2118911843^4+20017*365377794^4=3844445016^4+20017*298288811^4
1523150894^4+20017*467885365^4=3879057083^4+20017*438232400^4
21137288458^4+20017*2496093879^4=30980857596^4+20017*1289894251^4
30557963017^4+20017*4093262125^4=48240118469^4+20017*2707566895^4
22875596706^4+20017*7065463577^4=58461461293^4+20017*6621407418^4
191419398574^4+20017*26983872857^4=310959893596^4+20017*18993240613^4
512491372228^4+20017*51966890613^4=680508836739^4+20017*12655211122^4
692223093563^4+20017*59039670932^4=829210563442^4+20017*6352182517^4
389733088947^4+20017*144476162816^4=1122867656788^4+20017*137498670969^4
186047890318^4+20017*601574336281^4=2931012458903^4+20017*597295028804^4
4450824219446^4+20017*572700961741^4=6866414139644^4+20017*356372084489^4
5998244316418^4+20017*1125085002113^4=11400022845877^4+20017*952522124602^4
8006765037289^4+20017*913438252925^4=11484658080277^4+20017*424212917455^4
5515287108897^4+20017*3722025132569^4=13816797078337^4+20017*3713391862521^4
70569138183451^4+20017*4309047380777^4=74140968885553^4+20017*2935266341507^4
46389158041111^4+20017*9749635239626^4=93992782700104^4+20017*8559451167679^4
119581338384779^4+20017*8401475792533^4=131626235383901^4+20017*3768823100563^4
100511314151594^4+20017*11146959360239^4=141577380765868^4+20017*4647681645251^4
288829447409319^4+20017*319284786985292^4=1367942781030568^4+20017*317935300876203^4
9740707268999991^4+20017*763554202555972^4=11207008775466554^4+20017*199592084684217^4
12023315194098268^4+20017*789021661381319^4=12922084037404147^4+20017*443341337032904^4
9052909306520992^4+20017*1075503879393275^4=13318031876670706^4+20017*564927878356615^4
13895150317459039^4+20017*1193144923301144^4=16703328350919358^4+20017*113076448893329^4
42990650636306049^4+20017*2440998742043308^4=44242257463978523^4+20017*1959611500630818^4
15154970423607767^4+20017*17115351170038040^4=73653362887504531^4+20017*17041700103466690^4
59334769713809237^4+20017*7274214563653477^4=88968639136846493^4+20017*4123427522130083^4
61006168510017488^4+20017*7806379262049187^4=93813364934041874^4+20017*4811773208729423^4
58586368586982769^4+20017*21156682134088092^4=165847324844579352^4+20017*20097531811141363^4
255722718301670356^4+20017*18883775578064525^4=286916611484262769^4+20017*6886124353990520^4
377626885587411164^4+20017*43368720013104247^4=543944856058284593^4+20017*20599730168000918^4
480529756091075983^4+20017*51670535292993083^4=663315730485604579^4+20017*18631762551056377^4
500686737710607711^4+20017*59552244161492266^4=737105816299553054^4+20017*31378170680409789^4
535718858694743886^4+20017*102016874160138313^4=1026779050402110557^4+20017*86852430342695022^4
997660018797526219^4+20017*98547130507630946^4=1302275855442196198^4+20017*18612806663395969^4
2965014447017081569^4+20017*1466419586286592436^4=4656316113563339128^4+20017*1464861398552030909^4
5495724100123505431^4+20017*2643859951260414778^4=8245817891851908107^4+20017*2641348507191667352^4
7501875753924731264^4+20017*1071667944079634231^4=12276944044864824826^4+20017*764896783205017139^4
2163069960287039282^4+20017*2079231340604235397^4=12873096656581118891^4+20017*2040009696431949068^4
7145954553808430071^4+20017*1880700069724007524^4=16528144458192456008^4+20017*1727834508885233221^4
7704523695773439782^4+20017*5406285342982123325^4=20373349878458457907^4+20017*5392896800953221940^4
18099743091339893897^4+20017*1541696825351174242^4=21666909937214184686^4+20017*169709576937985477^4
23363551210682361459^4+20017*2290801313078742662^4=30352179937798323658^4+20017*397132812735088953^4
11443829820914847991^4+20017*4159750786971219530^4=32537967757552981384^4+20017*3953379188658831775^4
29984422454143577776^4+20017*2849352432568250885^4=38191838445664086643^4+20017*307346025708867910^4
27199065853569230666^4+20017*4356045294534276115^4=47393188806236735663^4+20017*3410925071876302730^4
95434070073640033776^4+20017*9713727345953240587^4=127037571147738371069^4+20017*2441465374853812218^4
90042223471883435824^4+20017*10283320570333383819^4=129241603578967688061^4+20017*4793364086237482426^4
62588455936779230657^4+20017*44517450858669227469^4=168609351629376198069^4+20017*44404782820621322041^4
145991230816802248111^4+20017*16142374187951283578^4=205239730449509233582^4+20017*6645510286166787757^4
543576881996522824147^4+20017*28104321539872725041^4=546236088174412750201^4+20017*27081549932991984251^4
381061959055259833627^4+20017*56773633484992437830^4=638235980235371736364^4+20017*42139451584281370915^4
366157140009949456543^4+20017*75936217713375219302^4=736291032646405890964^4+20017*66422971762184947783^4
795636337084980900359^4+20017*73222502632541924152^4=993981921333305394158^4+20017*3064260539890573463^4
1562761598739949122527^4+20017*173490464696474368798^4=2202712205192501167346^4+20017*72644383939122571517^4
2531177714589537726716^4+20017*242401255521172785827^4=3239570143991538308773^4+20017*30057371171904361118^4
4165638685548406282304^4+20017*371693934523718375781^4=5112503548828797992361^4+20017*7515140954336948836^4
399489521002720695913^4+20017*1405656921567958964920^4=7667800948949912164916^4+20017*1389847473796345446235^4
4076322836672730518563^4+20017*841932741023330234134^4=8177937217633058955404^4+20017*735611251653719164651^4
4129531111742275206141^4+20017*841891900712346861470^4=8223786505325558203912^4+20017*732821712204300445365^4
8219682045278248726764^4+20017*676591402619230959359^4=9673257427668171648907^4+20017*117523947853875989304^4
5839859112785336813194^4+20017*1327972994120196567797^4=12382118760927093564601^4+20017*1188280716703556028898^4
12779552262462692337052^4+20017*1131944672673127262797^4=15620421888887795176619^4+20017*39302508663472324502^4
4775411232941558961082^4+20017*2243565725655099797129^4=16232815745577486816871^4+20017*2163128317666410916636^4
5018925053056779734119^4+20017*3383753688128995792484^4=22396115311156229518216^4+20017*3299781026524638739861^4
21333372045122847778783^4+20017*2891737712899115126663^4=33904410993887346312751^4+20017*1943277267394922771017^4
66837410429877190119586^4+20017*15745304479584793781673^4=144675482851485399311613^4+20017*14192415682572209753722^4
141165124336137671164583^4+20017*8705982355237842892825^4=148755595550346877100417^4+20017*5786570349772763686735^4
122082381965579069251296^4+20017*11613184929703041624031^4=155598372163174592090219^4+20017*1277580530910621006324^4
94360574665094392184752^4+20017*15146023141019821627827^4=164619884435323893053778^4+20017*11876788309068447937183^4
54349196428043639410447^4+20017*69127452942808482019794^4=304265927338630937628387^4+20017*68801440813604816841296^4
28350015358572403049677^4+20017*74062336924513417179116^4=411148312532390035670008^4+20017*73167777373108749213319^4
21139352917405670843983^4+20017*110582256795941964035335^4=551638414585142657370719^4+20017*109716884551192008354935^4
554476236848743678298279^4+20017*63525926667064057785271^4=797469247788146475585311^4+20017*29932923694244710402049^4
573775389283303410579338^4+20017*80743547052354954677477^4=931198036790624150489449^4+20017*56726701988922252980258^4
941680452986813954642939^4+20017*105095984693001950349426^4=1331851939257863461471926^4+20017*44969971565094013815569^4
845156286330182284249227^4+20017*126163661901945194086379^4=1417056830828189518161331^4+20017*93798085981903742033661^4
1565778478881541932629977^4+20017*211037300986197828861081^4=2480463381945354587969841^4+20017*140764584807576269346559^4
2637082473950954133792781^4+20017*195087396787102730916636^4=2960908108720218930551007^4+20017*70539075722000886009626^4
2443828355442931078040896^4+20017*301966500287287363486883^4=3681581196790797107936293^4+20017*174092284846507263395962^4
5776628847372163121451317^4+20017*293689727032990076898939^4=5781873720546957658804659^4+20017*291672468119607562532269^4
8962380099608185436754964^4+20017*969549900810604775428349^4=12420839119244190346778683^4+20017*360626645203243266888466^4
13740094657822508841649537^4+20017*763449744192002808547262^4=14058750359958263616237139^4+20017*640889858755174049090492^4
7989055638299695279048321^4+20017*2054384182808241303706160^4=18220246497954544637628172^4+20017*1880689224751316141901475^4
14448774080476506885527569^4+20017*2185004089326448665891094^4=24398650151883690769592168^4+20017*1641871322753237443364521^4
22291920028214730504587516^4+20017*2136985868718093010750627^4=28548844973664885110263679^4+20017*269523725685812606817128^4
12780362660771753062445642^4+20017*8514715145308246972263737^4=31445953459791956910526711^4+20017*8495406439523949171187168^4
21420981053880849487100581^4+20017*3220360488908120608348733^4=36055609688228423944958197^4+20017*2408342831994792644673427^4
....
