2A^4+B^4+C^4=D^4の自明でない整数解
はじめまして。Y.K.と申します。
タイトルの通り2A^4+B^4+C^4=D^4の非自明な整数解を探索しようと試行錯誤していたところ、ある方からこの掲示板の存在を教えていただきました。
様々なディオファントス方程式の解を求めているとのことで、もしかしたら2A^4+B^4+C^4=D^4の整数解ももう既に求められていられるかもしれないと思ったのですが、自分では見つけられなかったためここに投稿させていただきます。
ある程度のことが分かっていて、一番小さい非自明解が(A,B,C,D)=(110135,249568,244580,325193)と見つけました。(私の成果ではない)
現在2番目に小さい解をどうにか探索中です...が、なかなか厳しい感じです。
Y.K.さん
(A,B,C,D)=(110135,249568,244580,325193)は、
2*A^4+B^4+C^4=D^4
の整数解になっていません。
2*110135^4+249568^4+244580^4=7751937824733931778626
325193^4=11183165553400911588001
なので、左辺と右辺は一致しません。
(1)方程式または数値の間違いではないですか？
しかし、
110135^4+249568^4+2*244580^4=11183165553400911588001
なので、 A^4+B^4+2*C^4=D^4の自明でない整数解にはなっています。
(2)Y.K.さんの成果ではないのであれば、だれの成果なのですか？
どこかに公開されているのであれば、そこに整数解を求めた方法も書いてあるのではないでしょうか？
(3)解いた人が誰なのかが分かっているのであれば、解いた人に聞くのが早いのではないしょうか？
もし解けるのであれば、解き方を教えて欲しいくらいです。
(1) すみません... AとCが逆でした... 2*A^4+B^4+C^4=D^4とするならば(244580,249568,110135,325193)ですね
(2) これはEugene Goというmathoverflowの方の結果で、下記URLの質問の回答としてA^4+B^4+C^4+D^4=E^4の整数解のリストをあげていらっしゃいます。
mathoverflowでのEugene Go氏の回答：
https://math.stackexchange.com/questions/5145111/in-order-to-parameterize-more-numerical-solutions-are-requested-for-the-a4b/5145556#5145556
Eugene Go氏の整数解のリスト：
https://drive.google.com/file/d/1lEEdTOVH_7V-dHQl1PjqPx5Emw8K4qm5/view
しかしここに書かれているのはあくまでA^4+B^4+C^4+D^4=E^4の整数解をブルートフォースで求める方法であって、A^4+B^4+2*C^4=D^4の整数解を求めることに特化しているわけではないのです。しかしたまたまこのリストに入るぐらいの小さい解が載っていたので、A^4+B^4+2*C^4=D^4の整数解を得られたというわけです。
色々と工夫していますがEugene Go氏の環境が素晴らしいのか私の実装が下手くそなのか、私はまだ最小解(244580,249568,110135,325193)すら探索によってでは見つけられていません...
(3) 解説のpdfがあるのでそれを読んでいました... けどA^4+B^4+2*C^4=D^4用の最適化の方法が分からず試行錯誤中です
Y.K.さん
Seiji Tomitaが以下のURLで紹介している
2. a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 has infinetly many solutions
の証明がヒントになるのではないでしょうか？
http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph63e.html
参照しているMaddenの論文は、
Jacobi, Lee W., Madden, Daniel J., "On a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = ( a + b + c + d )^4". American Mathematical Monthly. 115 (3), p220–236.
のようです。
・Aは10の倍数
・Bは5の倍数
・Cは、Bが10で割り切れるとき5で割り切れない奇数、割り切れないとき5で割り切れない偶数
・Dは5で割り切れない奇数
（もちろんBとCは交換可）
というところまで絞って、何とか最小解までは探索でたどり着けました。
しかし2番目はD＞1000万とわかっていますので、（私には）かなり厳しいです。
Y.K.さん、らすかるさん
2*A^4+B^4+C^4=D^4の2番目以降の整数解について、ブルートフォースでの探索は困難との結論が出ていましたが、非常に興味深い外部の知見を見つけました。
Xにて、かいもちゐ氏（@Kaimochi_920）という方が、まさにこの方程式が無限に解を持つことの証明と、それに伴う具体的な巨大整数解（50桁規模）を提示されているのを確認しました。 投稿メッセージと整数解の桁数から見ても、本方程式が楕円曲線へと帰着されたことは明らかです。
該当ポストのURL： https://x.com/Kaimochi_920/status/2093769056121999782
ご参考までに。
かいもちゐ氏（@Kaiえいmochi_920）のX投稿
https://x.com/Kaimochi_920/status/2093926485098660240
には、楕円曲線の式と元のA^4+B^4+2*C^4=D^4の整数解との関係が書いてあったので、それを使って、さらに巨大な３番目、４番目、5番目、6番目の整数解を計算しました。
[A,B,C,D]=
[49494256269168883921893536501755051556767975295914677935284954387412484692879666198489957014418420251879785591236298119337198884489585465, 93764198766252763890432809404866529374544191829088062449961647867739247626037659251559888322722610863702742076798967503976470276124891552, 87651612318971616899430892021752796370990837975548428503301481603367277690574374614094885746471525222135789942762282336062876847882686900, 119120345356566624443103411153397529190918659231499392470804555719384197453210796755123761028125283297778707622699668720872038417957894073],
[7024705385197176036160160975394031394011040954419963433879670124833890132894842575226042553063518228679627051254666196679304252864614263356362362965051930600484525650264380285750519595657456896658608514107436509197761583958423094631256980841898901672279533985510670935, 29163586096379186878080521399438505461743602457747737058118256121510697727463265115966499343045546259944203081598708254352775140383787787251240476588216821659398280006492025001553007403915767149063060038668075028370808923377675711310890602016321127482346143909242908128, 32813599886791494039499606683949526768320948393125455250856826720863241186386575851807745667237820912634257046359945443485505668102152863193122109397467763808970761219444631945137067680043416977402243290377428997371304747408786161530610328234353764040317601768928332740, 41771449560894616158124989486205994462774413773530603245721407676829476737889155265204414020174506306681037132697324910604266721798763932872034463050546290588253483068944641346149128109434982047040137406553910619537094195829206260896402728462693428087429380749042483753],
[547306683463903341098288137926081385040029939445959556146513914422912037493650530854804050597962203367725036201007999456173256109035663535012841509406339712759633297361463451795210270367186730803983993140466720320521886098012670823476826235407789686025366872875781409438662671679523977285797649828748790425310732119634067653464794306660980232841237135653467110723321826239512610386083167600571855289548690407831629791614387511140494226034938135, 898078003728976797350687428262329577344590580663832927724458490337201509017880709798812179251174185335485747185154848669475376046837037978698903614696977513308167035507888230761842749708786564425254959813655597189594836550894108737740073813699030192704528541966194714108737068353151882382613868080751869170208288058156091416064691067887047855892690012791690310886976360462811357091569190051376737628411596150572222738332604450423664205027891168, 811934948336590036230521571381017440956404399772907062094454292032512526091881745890491171581899078633973677898621882599245035887539459500862629062185498162001764595195287882189775352691036035206049190247080738889591414474532911419252605933620226271313339636803522478699922319732444552813780291924715004733330935731233960656582338931932827386761237182582373367740128560427011569875773706312603706789135381259477485537740630162838529833753065220, 1126336287964357480128604205677453132877420965196276772201121075576480993575430885157462460412346387515257097879227669423598684941712963248328630199926568725632509638625961639075666723990307835090260513423110300436031265365139644781027495694126292958523002100626604027749559693248171722981734563373453487754897179540987859055597462655648090155234563103510625738709948655790353521607393595745984296999832373032406231352298844486753392733238866793],
[150129592713131587482323979466643197140646568425903442102468798998326531718037871666516044777802839012490230415206233675790968366665311064620704767030480266790290767626984188002639262793705410734666439481985983361208104355472728393139627803041050900384790419999476947008143667434487602477740864968028815316805547932652445024964343784200174782737982547147124221125343484091295545164251216943210748250174210733265838502867490342017798409747677690696856812219844964108133114467270678543217125247237266171510905575635800624301958729209958664825387576559856289010430152354033670309068756701676961817732061982397046161386272752450989200557258347780887120178911852847865, 1275596823380223625840619016702106891266574080053048988144078675195590730201140718515567593239877788455250143700819699055120519965787984209603587594468617134705715387944158065284270341603744674162172894595870151041768422928909226780089005873365775968976602836586745520152448627092243834769181960342452308302444520867576044009695761700609711268469067553092271279366706769144970080101401083386555077368850294599143197155303797906774179598669269958666469273727362550421408479975504623190183843097502254622634226438147663403314044452927070930279762576963814632247405239969412716993803141609601782026842827025683047749043242029093737028497543946485056380455959915568032, 1576074736785745345686904185961566283429759992522238646026481273955783133497086374622287134089666389243969637725833350099349028721346660361372120785242267515945321183589518777697123875749528384383451620193199646008475603369216552974134739287591560132459269012219980974421874107393162369898046314675219839902561759035059866043276616517290212568155230133353198014970534393058221927633487823575683564348793384226885886012267835307622709151910996699838068905581029331591098633794051983346793566038955015701675390351186569443568144513027613359107808369426033149658871138101606629884353390436656258668228609009910446818807065940961993777020735285530108774535496301525620, 1967620346626220431251730397329180501554446476439048174074632224634249416831169382998960322665517756415906383167551190861786045271772927922790974254698349591205731766795920831187940722386552197529478692971273767424581906325306349030984984993636351117031214257608574133865748939833823037703253059755710943735996656130376276792414163714828290127448981118248455030989407136427077790660876275491644571919377366024242091785434903977011964888041585903248253520667164331440324243497594059503570433698522428751858972819209658873886119349192719269010835371060090267711106812604869401761041244868940578019720392888105148008934957018740165770441065554987449002991188182857593],
....
2*A^4+B^4+C^4=D^4の整数解については、MathOverflowでも議論されていて、Eugene Go氏の整数解とは別の整数解が、Vepir氏やAnders Høyer Berg氏によって発見されています。
https://mathoverflow.net/questions/515812/more-small-solutions-to-a-new-infinite-family-2a4c4d4-e4
これらの方法を参考にすれば、さらに別の整数解を見つけることもできそうです。
