😊出会いの泉😊

凸五角形ABCDEは
AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
が成り立っていれば外接円が存在すると思います。
「角度だけ」や「辺の長さだけ」の条件ではダメです。
またより一般には
n角形のn辺それぞれの垂直二等分線（全部でn本）の
すべてが1点で交われば外接円が存在します。

(追記)
上の「角度だけ」は「内角だけ」のつもりでしたが、内角に限らなければ「角度だけ」でも行けますね。
五角形ABCDEで
∠BCE＝∠BDE＝π-∠A
であれば外接円が存在すると思います。

> "らすかる"さんが書かれました:
> 凸五角形ABCDEは
> AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
> が成り立っていれば外接円が存在すると思います。
> 「角度だけ」や「辺の長さだけ」の条件ではダメです。
> またより一般には
> n角形のn辺それぞれの垂直二等分線（全部でn本）の
> すべてが1点で交われば外接円が存在します。

> (追記)
> 上の「角度だけ」は「内角だけ」のつもりでしたが、内角に限らなければ「角度だけ」でも行けますね。
> 五角形ABCDEで
> ∠BCE＝∠BDE＝π-∠A
> であれば外接円が存在すると思います。
なるほどです。綺麗な条件ですね。
これなら、一般化もできそうですけど
直観的には成り立つと思います。
星型図形；凸多角形の対角線を結び、閉じた図形
星型図形の内角：隣り合う対角線で囲まれた角
例えば、五芒星の内角の総和は、πである。
証明は、色々あると思います。
任意に描いた、五芒星は、円に埋め込むことが可能。
そのままでは、無理でしょうが、埋め込みが可能の意味を緩くして、
角が、反時計回りにΘ１、Θ２，…、Θｎとして、
同じ順序で埋め込みが可能という意味です。

五芒星の頂点を、ＡＢＣＤＥとし、その角を
ΘＡ，ΘＢ，ΘＣ，ΘＤ，ΘＥを円周角となるように、
それぞれに対応するように、中心角をとれば、順番に
おなじように角を取ることができる。
星型図形の表記として、Ｎと互いに素なｄとおくと
Ｎ/ｄ 分数表記できるらしい。
五芒星は、５/２
他の星型Ｎ/ｄも、緩い意味で埋め込み可能

星型図形の内角の総和
星型N/ｄ とき、（Ｎ/dー２）ｄπとすれば、
通常の凸多角形は、ｄ＝１とみなせばよい。
（Ｎ－２ｄ）πでもよい

星型の表記について
互いに素、にこだわらず、ｄ＜ｎ/２ であれば、
ｎ/ｄ の表記は有効であるみたいです。
六点の場合、６/２ とすると、２点ごとに対角線を引くと、
点が余りますが、残りの点も同様にして、対角線を引くと、三角形が、二つできます。したがって、内角の総和は、２πです。
総和の公式（ｎー２d）π＝（６－２・２）π＝２π
8/2,9/3,10/2,12/４なども同様

凸多角形の対角線を等間隔で描いた図形、
以外の場合を考えてみました。
例えば、円周上に、六点ABCDEFを左周りに、適当に配置します。
AB＝１，BE＝３，EF＝１、FC＝３、CD＝１、DA＝３
数字は、長さではなくて、左回りに数えた距離に無関係な間隔です。
ｄ＝（1＋３＋１＋3＋1＋3）/6＝2 (平均値をとる)
公式に代入すると、（6－２・２）π＝2π
角度に符号を導入すると、－の角度がある場合は、角の総和は、不定となり意味を持ちませんので、＋の角のみの時とします。
左回転は＋、右回転はーです。
色々試して、うまくいきました。
もう一つ、７点を、配置して、三角形と四角形を適当に作っても、
平均が、７で割り切れ
計算すると、π＋２π＝3πでうまくいきます。
以前の削除訂正、編集しました。

dの計算：左周り（反時計まわり、一定の方向で数える）
閉曲線を作る。数えた数の総和の平均をとる。
例えば、円周上に適当に四点をとる。等間隔でなくてもよい。
それを、A、B、C、Dとし、ABDCの順で、点を結ぶと、
A～Bは、１　B～Dは、２　D～Cは、３　C～Aは、２となる。
合計１＋２＋３＋２＝８なので、平均８÷４＝２
したがって、４－２×２＝０となる。０に意味がある。
例えば、７点を配置し、蝶の形と、三角形を作ります。
７点ABCDEFG。AFGを結んで三角形、CDFEを結んで蝶の形を作ると
１５１１２６５の総和は、２１で、ｄ＝３
よって、Ｎー２ｄ＝７－２×３＝１となり、三角形の内角１８０°と一致し
蝶の形の部分が０になるので都合がよいです。

適用範囲を拡大して、
（N-２ｄ）πから（Nー２ｄーe）πを考える
正の回転だけから、直線、点を考える。
e；点だけの個数
円周上に、N個の点だけを残した場合、ｄ＝０、e＝N
（N-０－N）π＝０
４個の配置で、３点で三角形を作り、１点を残すと
１２０１より、d＝１、e＝１なので、
（４－２×１－１）π＝π　見た目と一致します。
直線の場合、点をAとBとし、AからBをｋとすると
ＢからＡは、Ｎ－ｋとなり、和はＮ、Ｎで割ってｄ＝１を得る。
二重の線のイメージの閉曲線です。

円周上のN個の点を、結ぶ図形の総角の和(まとめ)
0． 等間隔に配置した、点を一個づつ結んでできる図形。正多角形
内角の総和は、（N―2）πで与えられる
1． 配置が、等間隔でなくても、点を一個づつ結んでできる図形。凸多角形
同様に、内角の総和は、（N―2）πで与えられる
２，配置が、等間隔でなく。点をｄ個づつ結んでできる図形。星型図形
　（Ｎ－２ｄ）π　但し、Ｎ＞＝２ｄ、かつ、Ｎとｄは互いに素
3，等間隔でなく。点をｄ個づつ結んでできる図形。互いに素でない場合を含む
　（Ｎ－２ｄ）π　但し、Ｎ＞＝２ｄ　ｄが約数のとき、N/d個の
複連結の図形を作ることができる。余った点から、ｄ個づつ繋ぐ。
中心角と円周角の関係から、導くことができる。

4、連結して結ぶ線の足の長さが同じでなくても、公式が適用される。
どこを始点に数え始めてもよいが、必ず反時計回りに数える。
隣の点と結ぶ場合、足の長さｃ＝１とする。間に一個おいて結ぶ場合ｃ＝２。以下同様。ｃはＮ－１まで数えることができる。全ての足の長さの和をＮで割ったもの（平均）をｄとする。そうすると、1，2、３までの結果を含むことになる。但し、N＞＝２ｄ
この時、角の総和が不定（点の配置によって、総角の和が一定ではない）の図形ができるときがある。不定の図形は、捻じれが生じてるからで、全て正の回転、全て負の回転の場合以外は、不定になる。全て負の回転の場合、逆順が、全て正の回転になります。
正の回転は、Ａ→Ｂ→Ｃのとき、∠ＡＢＣが、Ｃから見てＡが、反時計周りのとき、そうでないとき、負の回転となる。不定の図ｎ個のとき、ｎ―２ｄの値の総和をeとする。
これは、不定の場合、角の総和を０とみなすため引くことにするためである。
（Ｎ＝２のとき、直線は、不定なので、０となる。Ｎ＞＝３のとき、N―２ｄの値としては、１となる。）
Ｎ－２ｄの値が負になることがあるが、それは、逆順であるため、始点を変えればよい。
絶対値は同じになる。
公式　（Ｎ―2ｄ－e）π　となる。但し、Ｎ＞＝２ｄ

5、公式を円周上の置換、全てに、適用することができる。
N個の円周上の点を反時計周りにナンバリングする。０～Ｎ－１。
０からＮ－１の全単射で、写像に従って、→で結んだ図形（置換の図）を対象に、公式の適用を考えることができます。この時、ｋからｋの写像のときは、足の長さｃ＝０とし、単点とよぶことにする。単点の個数を不定の数eに加える。角が不定の場合を除けば、
公式　（N―２ｄ―e）π　となる。但し、Ｎ＞＝2ｄ
具体例　Ｎ＝１１個の点を適当に配置し、ナンバリングする。
全単射（置換）
（０，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）→（2，0，5，3，6，8，7，4，9，1，10）
図を描くと、６点の角が不定の図、３点の三角形、単点２個ができる。
足の長さｃは、点２から始めて、６個の閉曲線を、点４から、始めて三角形をつくり、
ｄ＝（3＋3＋1＋3＋10＋2＋2＋１＋８＋０＋０）/11=3,
点３と１０は単点なので、６点の平曲線は、角が不定でそれ自身の値は2 ,
よって、e＝2＋2＝4、(N-2d-e)=(11-6-4)=1
したがって、総角は１８０°で一致します。

安定な図形（点の配置、等間隔に無関係に、円周角の総和が一定である。正の角のみをもつ図形）のみをもつ図形の種類を、数えてみました。
反時計まわりに、ナンバリングしました。
２点のときは、円周角がないので、０
３点のときは、三角形がひとつ、逆順も同じ形なので、1種類と考えます。
（０，１，２）⇒（１，２，０）の置換のみ　1個　総和１８０°
４点のときは、四角形がひとつ、
（０，１，２，３）⇒（１，２，３，０）の置換のみ　一個　総和３６０°
５点のときは、五角形と星型のふたつ
（０，１，２，３，４）⇒（１，２，３，４，０）ｘ＋１　総和５４０°
（０，１，２，３，４）⇒（１，２，３，４，０）ｘ＋2　総和１８０°
の二つ、０，１，１，２と見覚えのある数列
６点のときは、3種
（０１２３４５）⇒（１２３４６０）六角形　ｘ＋１　総和７２０°
（０１２３４5）⇒（２３４５０１）三角形二個ｘ＋２　総和３６０°
他に、三角形が二つの場合も同一視する
（０１２３４5）⇒（234051）　総和３６０°
回転して、重なるものは、同一視する。

N=6の場合、新たに一個見つかり、フィボナッチ数列の予想が外れましたが、
トリボナッチの可能性が？
（０１２３４５）⇒（１４３０５２）

同一視する、必要条件は、
１，円周角の総角の和が等しいこと
２、形が同じであること。逆順と回転しておなじになる。
逆順は、置換が逆になる。回転は、足跡（足の長さの順番が違うだけ、サイクルは一緒）
例えば、０から始めて、足跡（1122422）の図と、１から始めて（1122422）同じという意味です。
３，二つ以上のサイクルに分かれる時、６点＝３＋３、７点＝３＋４，
８点＝３＋５，８点＝４＋４
サイクルの型が一致。それぞれのサイクルは、同一視できる。
各サイクルのみの部分で考えれば、足跡も一致する。
４，形は異なるが、足跡の数の中身が一致する。後述
足跡表示で、表せば、始点に無関係に、同じ形になる。足跡とは、
区間の長さを表示するもので、１は隣の点、２は一つ点を越えて線を引くことなど。

７点のときは、７種類
① 足跡表示　（１１１１１１１）＝７　７角形　ｘ＋１　総角　９００°
② 足跡表示　（２２２２２２２）＝１４　星型　ｘ＋２　総角　５４０°
③ 足跡表示　（３３３３３３３）＝２１　星型　ｘ＋3　総角　１８０°
④ 足跡表示　（１５１１１１４）＝１４複体の三角と四角総角　５４０°　
位置や形が違っても、三角形と四角形は全て同一視する。３の内容　
⑤ 足跡表示（１３１４１３１）＝１４三角形二つ四角形　総角　５４０°
⑥ 足跡表示　（１１２２４２２）＝１４　　　　　　　　総角　５４０°
⑦ 　（１２１２３３２）と（１２２１３２３）＝１４　 総角　５４０°
上の二つは、見た目は異なるが、
足跡の数の内容が一致するので、同一視する。

８点のときは、１３種類、全て足跡表示です。
① （１１１１１１１１）＝８　ｘ＋１　八角形　総角　１０８０°
② （２２２２２２２２）＝１６　ｘ＋２　星型　　総角　７２０°
③ （３３３３３３３３）＝２４　ｘ＋３　星型　　総角　３６０°
④ （１２２２３２２２）＝１６　　　　　　　　　　総角　７２０°
⑤ （１６１１１１１４）＝１６　（３，５）の複体　総角　７２０°
⑥ （１６１２２５２５）＝２４　（３，５）の複体　総角　７２０°
⑦ （１５１５１５１５）＝２４　　　　　　　　　　総角　３６０°
⑧ （１２２２３２２２）＝１６　　　　　　　　　　総角　７２０°
⑨ （１２３１３２１３）＝１６　　　　　　　　　　総角　７２０°
⑩ （１２３４２１２１）＝１６　　　　　　　　　　総角　７２０°
⑪ （１１２２５２２１）＝１６　　　　　　　　　　総角　７２０°
⑫ （１４１４１１３１）＝１６　　　　　　　　　　総角　７２０°
⑬ （３１３３４３４３）＝２４　　　　　　　　　　総角　３６０°

④が重複してたので、削除しました。

９点のときは、２４種、全て足跡表示です。
① (111111111)
② (2222222222)
③ (333333333)
④ (4444444444)
⑤ (171111114)
⑥ (171226224)
⑦ (1711311616)
⑧ 161111115
⑨ (161122626)
⑩ (123232122)
⑪ (442222443)
⑫ (443122353)
⑬ (442424133)
⑭ (123521211)
⑮ (133131213)
⑯ (334334331)
⑰ (433232334)
⑱ (422211222)
⑲ (341515143)
⑳ (114114114)
21 (141244425)
22 (442411416)
23 (6221111122)
24 (532244223)

足跡でけいさんすると、
（32523252）＝24、ｄ＝２４÷８＝３
Ｎー２ｄ＝８－２×３＝２、２π