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スレッドNo.395

凸多角形の考察

任意のN多角形の内角の総和は、(N-2)π

任意の三角形は、その頂点を、円周上に乗せることが可能。
これを、円に埋め込むことが可能ということにする。
四角形の場合は、対角の和が、πであれば、可能。
五角形の場合は、条件をどのようにすれば、可能でしょうか?
そのような、条件は、不可能でしょうか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年11月22日 11:38)

凸五角形ABCDEは
AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
が成り立っていれば外接円が存在すると思います。
「角度だけ」や「辺の長さだけ」の条件ではダメです。
またより一般には
n角形のn辺それぞれの垂直二等分線(全部でn本)の
すべてが1点で交われば外接円が存在します。

(追記)
上の「角度だけ」は「内角だけ」のつもりでしたが、内角に限らなければ「角度だけ」でも行けますね。
五角形ABCDEで
∠BCE=∠BDE=π-∠A
であれば外接円が存在すると思います。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年11月17日 14:58)

> "らすかる"さんが書かれました:
> 凸五角形ABCDEは
> AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
> が成り立っていれば外接円が存在すると思います。
> 「角度だけ」や「辺の長さだけ」の条件ではダメです。
> またより一般には
> n角形のn辺それぞれの垂直二等分線(全部でn本)の
> すべてが1点で交われば外接円が存在します。

> (追記)
> 上の「角度だけ」は「内角だけ」のつもりでしたが、内角に限らなければ「角度だけ」でも行けますね。
> 五角形ABCDEで
> ∠BCE=∠BDE=π-∠A
> であれば外接円が存在すると思います。
なるほどです。綺麗な条件ですね。
これなら、一般化もできそうですけど
直観的には成り立つと思います。
星型図形;凸多角形の対角線を結び、閉じた図形
星型図形の内角:隣り合う対角線で囲まれた角
例えば、五芒星の内角の総和は、πである。
証明は、色々あると思います。
任意に描いた、五芒星は、円に埋め込むことが可能。
そのままでは、無理でしょうが、埋め込みが可能の意味を緩くして、
角が、反時計回りにΘ1、Θ2,…、Θnとして、
同じ順序で埋め込みが可能という意味です。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年11月18日 21:56)

五芒星の頂点を、ABCDEとし、その角を
ΘA,ΘB,ΘC,ΘD,ΘEを円周角となるように、
それぞれに対応するように、中心角をとれば、順番に
おなじように角を取ることができる。
星型図形の表記として、Nと互いに素なdとおくと
N/d 分数表記できるらしい。
五芒星は、5/2
他の星型N/dも、緩い意味で埋め込み可能

引用して返信編集・削除(未編集)

星型図形の内角の総和
星型N/d とき、(N/dー2)dπとすれば、
通常の凸多角形は、d=1とみなせばよい。
(N-2d)πでもよい

引用して返信編集・削除(未編集)

星型の表記について
互いに素、にこだわらず、d<n/2 であれば、
n/d の表記は有効であるみたいです。
六点の場合、6/2 とすると、2点ごとに対角線を引くと、
点が余りますが、残りの点も同様にして、対角線を引くと、三角形が、二つできます。したがって、内角の総和は、2πです。
総和の公式(nー2d)π=(6-2・2)π=2π
8/2,9/3,10/2,12/4なども同様

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年11月23日 15:54)

凸多角形の対角線を等間隔で描いた図形、
以外の場合を考えてみました。
例えば、円周上に、六点ABCDEFを左周りに、適当に配置します。
AB=1,BE=3,EF=1、FC=3、CD=1、DA=3
数字は、長さではなくて、左回りに数えた距離に無関係な間隔です。
d=(1+3+1+3+1+3)/6=2 (平均値をとる)
公式に代入すると、(6-2・2)π=2π
角度に符号を導入すると、-の角度がある場合は、角の総和は、不定となり意味を持ちませんので、+の角のみの時とします。
左回転は+、右回転はーです。
色々試して、うまくいきました。
もう一つ、7点を、配置して、三角形と四角形を適当に作っても、
平均が、7で割り切れ
計算すると、π+2π=3πでうまくいきます。
以前の削除訂正、編集しました。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年11月30日 14:16)

dの計算:左周り(反時計まわり、一定の方向で数える)
閉曲線を作る。数えた数の総和の平均をとる。
例えば、円周上に適当に四点をとる。等間隔でなくてもよい。
それを、A、B、C、Dとし、ABDCの順で、点を結ぶと、
A~Bは、1 B~Dは、2 D~Cは、3 C~Aは、2となる。
合計1+2+3+2=8なので、平均8÷4=2
したがって、4-2×2=0となる。0に意味がある。
例えば、7点を配置し、蝶の形と、三角形を作ります。
7点ABCDEFG。AFGを結んで三角形、CDFEを結んで蝶の形を作ると
1511265の総和は、21で、d=3
よって、Nー2d=7-2×3=1となり、三角形の内角180°と一致し
蝶の形の部分が0になるので都合がよいです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月30日 10:48)

適用範囲を拡大して、
(N-2d)πから(Nー2dーe)πを考える
正の回転だけから、直線、点を考える。
e;点だけの個数
円周上に、N個の点だけを残した場合、d=0、e=N
(N-0-N)π=0
4個の配置で、3点で三角形を作り、1点を残すと
1201より、d=1、e=1なので、
(4-2×1-1)π=π 見た目と一致します。
直線の場合、点をAとBとし、AからBをkとすると
BからAは、N-kとなり、和はN、Nで割ってd=1を得る。
二重の線のイメージの閉曲線です。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月31日 10:49)

円周上のN個の点を、結ぶ図形の総角の和(まとめ)
0. 等間隔に配置した、点を一個づつ結んでできる図形。正多角形
内角の総和は、(N―2)πで与えられる
1. 配置が、等間隔でなくても、点を一個づつ結んでできる図形。凸多角形
同様に、内角の総和は、(N―2)πで与えられる
2,配置が、等間隔でなく。点をd個づつ結んでできる図形。星型図形
 (N-2d)π 但し、N>=2d、かつ、Nとdは互いに素
3,等間隔でなく。点をd個づつ結んでできる図形。互いに素でない場合を含む
 (N-2d)π 但し、N>=2d dが約数のとき、N/d個の
複連結の図形を作ることができる。余った点から、d個づつ繋ぐ。
中心角と円周角の関係から、導くことができる。

4、連結して結ぶ線の足の長さが同じでなくても、公式が適用される。
どこを始点に数え始めてもよいが、必ず反時計回りに数える。
隣の点と結ぶ場合、足の長さc=1とする。間に一個おいて結ぶ場合c=2。以下同様。cはN-1まで数えることができる。全ての足の長さの和をNで割ったもの(平均)をdとする。そうすると、1,2、3までの結果を含むことになる。但し、N>=2d
この時、角の総和が不定(点の配置によって、総角の和が一定ではない)の図形ができるときがある。不定の図形は、捻じれが生じてるからで、全て正の回転、全て負の回転の場合以外は、不定になる。全て負の回転の場合、逆順が、全て正の回転になります。
正の回転は、A→B→Cのとき、∠ABCが、Cから見てAが、反時計周りのとき、そうでないとき、負の回転となる。不定の図n個のとき、n―2dの値の総和をeとする。
これは、不定の場合、角の総和を0とみなすため引くことにするためである。
(N=2のとき、直線は、不定なので、0となる。N>=3のとき、N―2dの値としては、1となる。)
N-2dの値が負になることがあるが、それは、逆順であるため、始点を変えればよい。
絶対値は同じになる。
公式 (N―2d-e)π となる。但し、N>=2d

5、公式を円周上の置換、全てに、適用することができる。
N個の円周上の点を反時計周りにナンバリングする。0~N-1。
0からN-1の全単射で、写像に従って、→で結んだ図形(置換の図)を対象に、公式の適用を考えることができます。この時、kからkの写像のときは、足の長さc=0とし、単点とよぶことにする。単点の個数を不定の数eに加える。角が不定の場合を除けば、
公式 (N―2d―e)π となる。但し、N>=2d
具体例 N=11個の点を適当に配置し、ナンバリングする。
全単射(置換)
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)→(2,0,5,3,6,8,7,4,9,1,10)
図を描くと、6点の角が不定の図、3点の三角形、単点2個ができる。
足の長さcは、点2から始めて、6個の閉曲線を、点4から、始めて三角形をつくり、
d=(3+3+1+3+10+2+2+1+8+0+0)/11=3,
点3と10は単点なので、6点の平曲線は、角が不定でそれ自身の値は2 ,
よって、e=2+2=4、(N-2d-e)=(11-6-4)=1
したがって、総角は180°で一致します。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年01月22日 14:39)

安定な図形(点の配置、等間隔に無関係に、円周角の総和が一定である。正の角のみをもつ図形)のみをもつ図形の種類を、数えてみました。
反時計まわりに、ナンバリングしました。
2点のときは、円周角がないので、0
3点のときは、三角形がひとつ、逆順も同じ形なので、1種類と考えます。
(0,1,2)⇒(1,2,0)の置換のみ 1個 総和180°
4点のときは、四角形がひとつ、
(0,1,2,3)⇒(1,2,3,0)の置換のみ 一個 総和360°
5点のときは、五角形と星型のふたつ
(0,1,2,3,4)⇒(1,2,3,4,0)x+1 総和540°
(0,1,2,3,4)⇒(1,2,3,4,0)x+2 総和180°
の二つ、0,1,1,2と見覚えのある数列
6点のときは、3種
(012345)⇒(123460)六角形 x+1 総和720°
(012345)⇒(234501)三角形二個x+2 総和360°
他に、三角形が二つの場合も同一視する
(012345)⇒(234051) 総和360°
回転して、重なるものは、同一視する。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年01月25日 13:54)

N=6の場合、新たに一個見つかり、フィボナッチ数列の予想が外れましたが、
トリボナッチの可能性が?
(012345)⇒(143052)

引用して返信編集・削除(未編集)

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