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スレッドNo.522

驚きの定理

任意の自然数について、約数を選び、A、B、C…とします。さらに
それぞれの約数の個数を考えます。d(A)、d(B)、d(C)…とします。この時、(Σd(A))^2=Σd(A)^3 が成り立つ。
(リュービル)

例 N=12の時、約数は、1,2、3,4,6、12
d(1)=1、d(2)=2、d(3)=2、d(4)=3、d(6)=4、d(12)=6なので、(1+2+2+3+4+6)^2=18^2=324
1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=1+8+8+27+
64+216=324
任意に成り立つので、驚きです。証明は難しいでしょうか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年02月09日 12:28)

324 の代わりに 素数だとどうなりますか?

引用して返信編集・削除(未編集)

> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが書かれました:
> 324 の代わりに 素数だとどうなりますか?

1^3+2^3=(1+2)^2

ということですか……なるほど。

引用して返信編集・削除(未編集)

ksさんの定義によると、N=30の約数には、N自身も含まれているので、
30の約数は、1,2,3,5,6,10,15,30の8個であり、d(30)=8となり、
(Σ_{A|30}{d(A)})^2=(1+2+2+2+4+4+4+8)^2=27^2=927
Σ_{A|30}{d(A)^3}=1^3+2^3+2^3+2^3+4^3+4^3+4^3+8^3=927
よって、
(Σ_{A|30}{d(A)})^2=Σ_{A|30}{d(A)^3}
が成立する。

1<=N<=10^6の範囲で、(Σ_{A|N}{d(A)})^2=Σ_{A|N}{d(A)^3}が成立することを確認しました。
おそらく証明できるのでは?

引用して返信編集・削除(未編集)

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