😊出会いの泉😊

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

google翻訳しました。
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騒動のもう 1 つの理由は、これらの若い先駆者が提案した証明が、確立された数人の数学者に彼らの言葉を食い物にするかもしれないということです。

これは、彼らの証明が三角法を使用しているためです。

では、なぜそれがそんなに大きな問題なのですか？ さて、私たちの三角恒等式と法則の多くはピタゴラスの定理に依存しているため、多くの数学者は、三角法を使用した定理の証明は循環論理であると示唆しています。 別の言い方をすれば、三角法を使用してピタゴラスを証明することは、基本的に A を使用して B を証明することであり、A が既に B に依存している場合に、彼らは主張します。 -定理の三角法による証明、および三角法の証明は不可能であることを明示的に述べています。

しかし、この観点はここ数十年でますます疑問視されてきており、それ以来、ピタゴラスのいくつかの三角法による証明が行われてきました. ジョンソンとジャクソンの証明がピタゴラスの最初の三角法による証明であるというメディアの主張は誇張されていますが、彼らの証明は、これまでに見た中で最も美しく、最も単純な三角法の証明である可能性が十分にあり、明らかに若くて鋭い知性の作品であり、 多くの経験豊富な数学者の仕事を特徴付ける深い研究の年。
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新しい手法なんだけど、要するに、

別の言い方をすれば、三角法を使用してピタゴラスを証明することは、基本的に A を使用して B を証明することであり、A が既に B に依存している場合に、彼らは主張します。 -定理の三角法による証明、および三角法の証明は不可能であることを明示的に述べています。

ということが、問題点でもあるということですね。

はい。

ですので今回はそうした循環論法を避けている、という理解でよろしいことかと。

いえ、よーーーく読むと循環論法の完全な回避は微妙に失敗してます。

In this case we have an isoceles right-angled triangle and, our angles ⍺ = β = π/4 radians. So our hypotenuse is a/sin(π/4) = √2a, which satisfies the Pythagorean Theorem.

その sin(π/4) の値はどこから？
通常は三平方の定理で導出するものでしょうから、循環論法を避けることに成功したと主張するにはこれを別の方法で導出して見せる必要があったでしょう。
まあ、相似な図形の面積比を使うとか回避方法はいくらでもあるので加筆修正は容易でしょうけど。

おおっ。
a=b の特殊なケースでは
AやCの分母が 0 になってしまい
今回の証明が通用しない、
そういう話の流れなのですね！！

そのケースでの短証明に
sin(π/4)
を使うのは確かに反則ですね。

寄せられていたコメントを追いかけたところ
a = b のケースでは、次のように改善する案があげられていました。

By the way, that case is trivial: the triangle is a one-fourth of a square whose side length is $c$. The area of this square is c^2, while the triangle’s area is (ab)/2 = a^2/2. Therefore c^2=4 times a^2/2 = 2a^2 = a^2+b^2, as desired.

google翻訳しました
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この新しい証拠は何ですか？

わかりましたので、これが私が考える方法です。 この図を見て、この証明を通してずっと参照してください。
図のように、辺 a、b、c (斜辺) を持つ左上の単純な直角三角形から始めましょう。 ここでは、a ≠ b と仮定しましょう — この記事の最後の注で、a = b の自明な特殊なケースを扱います。 長さ b と c の辺の間の角度を ⍺ とし、長さ a と c の辺の間の角度を β とします。 次に、この元の直角三角形から 3 つの幾何学的なステップを作成します。

長さ b の辺に反映して、右上の等価三角形を形成します。
元の三角形の長さ c の辺に垂直な直線を延長します。
反射した三角形の斜辺から連続線を延長します。

ステップ 2 と 3 から延長した線が交わると、図のように、斜辺の長さが C、辺が A と c の新しい大きな直角三角形が形成されます。

この大きな直角三角形内に、図のように一連の小さくて小さい類似の直角三角形を描画し、サイズが減少する類似の三角形の無限のシーケンスを形成します。

この無限の相似三角形のシーケンスを使用して、長さ A と C を導出する方法を調べます。

小さい三角形の辺の長さを導き出す

辺の長さ A の左上から 1 番目の直角三角形を見ると、この三角形の辺の長さは 2a であり、したがって斜辺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の三角形から、sinβ = b/c であることがわかっているので、この斜辺は長さ (2ac)/b であると結論付けることができます。 これにより、この三角形の 3 番目の辺は 2a²/b になります。

すぐに右側の三角形に移動すると、短辺の 1 つが長さ 2a²/b であることがわかります。したがって、この三角形の斜辺 (辺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

このプロセスを続けることができますが、小さな相似三角形のそれぞれが a²/b² の係数で減少することが明らかになります。 これは、長さ A が最初の項 (2ac)/b と公比 a²/b² を持つ等比級数であることを意味します。 同様に、長さ C は c で始まり、最初の項 (2a²c)/b² と公比 a²/b² の等比級数になります。

長さ A と C の計算

これで、等比級数の和の式を使用して、長さ A と C を計算できます。初項 k と公比 r の等比級数の和の式は、k/(1-r) です。 この合計は、r の絶対値が 1 未満の場合に収束します。この場合、r は a²/b² であるため、常に収束することを確認できます (a>b の場合は、それらを交換するだけです)。

それでは、長さ A を計算してみましょう。この場合、k = (2ac)/b および r = a²/b² となるので、
A=2ac/b(1-a^2/b^2)=2abc/b^2-a^2
k = (2a²c)/b² で同様のアプローチを使用し、最初に c を追加する必要があることを思い出してください。
C=c+2a^2c/b^2(1-a^2/b^2)=c(b^2+a^2)/(b^2-a^2)
それでは、長さ A を計算してみましょう。この場合、k = (2ac)/b および r = a²/b² となるので、
k = (2a²c)/b² で同様のアプローチを使用し、最初に c を追加する必要があることを思い出してください。

この美しい証明を締めくくる

A と C の比を取るとどうなるか見てみましょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であることがわかります。

ここで、元の直角三角形を反映して形成された上の二等辺三角形の正弦規則を見てみましょう。 正弦定理は直角三角形に依存しないことに注意してください。 サイン ルールは、どの三角形でも、辺とその反対側の角度のサインとの比率は常に同じであると述べています。

したがって：
sin 2α/2a=sinβ/c
したがって、現在わかっていることを次の式に変換します。
b/(a^2+b^2)=b/c^2
この状況では、a、b、c のいずれもゼロではないことに注意し、分子が同一であることに注意すると、分母が同一であるという結論に至ります。 これでピタゴラスの定理が証明されました。

[注: a = b という特殊なケースでは、三角形に長さ a の 2 つの短い辺と斜辺がある場合、証明は自明です。 この場合、直角二等辺三角形があり、角度 ⍺ = β = π/4 ラジアンです。 したがって、斜辺は a/sin(π/4) = √2a であり、ピタゴラスの定理を満たします。 ミディアムユーザーに感謝
ウォットシット
この特別なケースに対処する必要性を指摘してくれて.]
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図がここにはありませんが、原文にはあります。

拾いものです。

𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − (𝑥 − 𝑦))
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦)
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥(𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦)
= (𝑐𝑜𝑠² 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑦.
cos y が0でなければ、両辺をこれで割る。

以上は、ピタゴラスの定理を陽には使わずに
cos^2x と sin^2x との和を 1 と示すものです。

加法定理は一体どこから湧いて出たのでしょうか。

sin や cos を微分で定義している場合は加法定理もマクローリン展開と二項定理で示すことになるでしょうし、その場合はこれで大丈夫という話なのかな？

と思いましたが、少し考えてみたら
s’(x) = c(x)
c’(x) = -s(x)
s(0) = 0
c(0) = 1
の解を s(x) = sin x, c(x) = cos x とする定義の場合、

{ (sin x)^2 + (cos x)^2 }’ = 0 が一瞬で示せるので、加法定理を使うまでもなかった……。

級数で定義した場合もこの微分の関係式をすぐ作れますし、何を目的とした式変形だったんでしょうねコレ。

失礼しました。
拾った場所を記し漏らしました。

https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf

です。

あ、鋭角限定なんですね。
それなら確かに加法定理に三平方は不要ですね。

でも、鋭角限定でもやっぱり加法定理使うまでもないような気もしますね。

∠B = θ, ∠C = π/2, AB = 1 の三角比の定義に使ういつもの直角三角形 ABC に対し、
辺 DE が点 C を通るように長方形 ABDE を書けば相似な直角三角形が 3 つできて、
BC = cosθ で DC = (cosθ)^2
AC = sinθ で EC = (sinθ)^2
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = DC + EC = AB = 1

で終わる話なような。

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

＞ですので今回はそうした循環論法を避けている、という理解でよろしいことかと。

しかし、sinα、sinβという三角関数の概念を使っていますよね。

＞辺の長さ A の左上から 1 番目の直角三角形を見ると、この三角形の辺の長さは 2a であり、したがって斜辺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の三角形から、sinβ = b/c であることがわかっているので、この斜辺は長さ (2ac)/b であると結論付けることができます。 これにより、この三角形の 3 番目の辺は 2a²/b になります。

より、明らかですね。sinβ = b/c は、

＞すぐに右側の三角形に移動すると、短辺の 1 つが長さ 2a²/b であることがわかります。したがって、この三角形の斜辺 (辺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

でも使われています。b/cをsinβということなしに、論理はくみたてられないと思います。

＞A と C の比を取るとどうなるか見てみましょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であることがわかります。

ここでも、sin(2⍺)という三角関数の概念が使われています。

＞循環論法を避けている

とは言えないのではないでしょうか？
でなければ、文章の前半は、いらなかったはずです。「循環論法なるけど、」という前置きがあるから、この文書があるのではないでしょうか？

三角関数の定義自体を使うだけなら循環論法にはなりませんよ。

お手元の数学の教科書を見てください。
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1 という重要な式の証明に三平方の定理が関わっていますね。
だから、そのページより後に書いてあることは、三平方の定理の証明に使ってはなりません。
言い方を変えれば、そのページより前に書いてあることは別に使っても何も問題はないんです。
だから「三角関数（の三平方の定理を使う前の部分）できちんと三平方の定理を証明することに成功した」という話題なのですよ。

はちべえさんはどうも数式しか見ていないようですが、言語と合わせて読むようにした方がよろしいかと。

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1
これを前提とせずに
正弦定理ってなりたつんだっけ？

くらいを念のために確認はいたしました。
循環論法になっていないことを確認するためです。

あ、そういえば正弦定理使ってましたか。

では、2 つ上のコメントを訂正。
「三角関数（の三平方の定理を使う前の部分と、教科書の掲載順的には後ろだけど三平方を使うものに依存せず証明が構成されているもの）できちんと三平方の定理を証明することに成功した」
ですね。

鋭角の三角比の定義
tan = sin / cos
鋭角の正弦定理
第一余弦定理（高校で習うやつは第二余弦定理で、そっちはダメ）
鋭角の加法定理……くらいですか。

なんか昔ここで似たようなことやったような、と思って調べてみたらありました。

「中線定理」
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun658.html

三平方の定理を使わずに中線定理を示せるか、という話題です。

名前クリックからも飛べるようにしておきます。

管理人さんから疑義があがっていることに
気が付きました。概ね、下記のごとくと存じます。

「正弦定理は(第２)余弦定理から導かれる。この余弦定理からは直接に三平方の定理が導かれる。ジョンソンとジャクソンによる今回の新証明が正弦定理に依拠するのはまずいのではないか？」

私も少々考え込みました。
調べたところ、以下もわかりました。すなわち
三角関数の加法定理のもとでは
正弦定理と第１余弦定理と第２余弦定理とは
同値である。
ですから
加法定理に依拠しつつ
ジョンソンとジャクソンとの新証明を理解すること、これはまずかろう。循環論法の謗りを免れない。

じゃあどうすればいいのか？

正弦定理の各種の証明を調べてくださっているテキストをみつけました。

http://izumi-math.jp/K_Satou/seigen/seigen.htm

上記のなかから適切なものを見いだせればよいと思いました。

ジョンソンとジャクソンは
面積による証明を回避し
辺の長さの相似を利用していますから
その志向とも整合したほうが良いですね。

　さきの文書の「普通の証明（２）」
が解りやすいかと思いました。

あるいは、
「９　幾何学的証明　ﾖｯﾛｰﾊﾟにおける三角法の基礎をつくったﾚｷﾞｵﾓﾝﾀﾇｽ(1436-1376)の証明」
も素敵です。


それにしても、DD++さんによる
No.858
はクールですね。

手元に高校数学の教科書がないので記憶頼りですが、日本の高校教育では正弦定理は同じ円周角をもつ直角三角形を使って証明していたと思います。

そこで使っているのは
・円周角の定理
・タレスの定理
・三角比の定義
・直径と半径の定義
くらいだったはずで、三平方の定理は全く使ってないですね。

余弦定理を使う方法は、私は今回調べて初めて存在を知りました。
海外だとどの方法での証明がメジャーなんだろう。

law of sines で検索して英語ページをいろいろ見てみました。

日本とは違って、=2R がついていない形で紹介されていることがほとんどのようです。
そのため、証明も以下で終わりというのが普通のよう。

A も B も鋭角の場合、頂点 C から辺 AB に下ろした垂線の長さを考えると
b*sinA = a*sinB
両辺を sinA および sinB で割って得られる。
どちらかが鈍角の場合は内角と外角の sin の値は等しいことを考えれば同じことが言える。

問題は三平方の定理を使っているかどうか。
直角や鈍角の場合はそもそも三平方の定理を使って定義するのでダメですが、鋭角の場合に限定すれば使ってないですね。
そして件の証明では、2αもβも鋭角です。
よって、海外で主流っぽい正弦定理の証明方法を前提とした場合、循環論法にはなっていないと言ってよさそうです。