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スレッドNo.839

ピタゎラスの定理の新蚌明

面癜かったのでご玹介いたしたす。

Here’s How Two New Orleans Teenagers Found a New Proof of the Pythagorean Theorem | by Keith McNulty | Apr, 2023 | Medium

h_TT_ps://keith-mcnulty.medium.com/heres-how-two-new-orleans-teenagers-found-a-new-proof-of-the-pythagorean-theorem-b4f6e7e9ea2d

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

google翻蚳したした。

隒動のもう 1 ぀の理由は、これらの若い先駆者が提案した蚌明が、確立された数人の数孊者に圌らの蚀葉を食い物にするかもしれないずいうこずです。

これは、圌らの蚌明が䞉角法を䜿甚しおいるためです。

では、なぜそれがそんなに倧きな問題なのですか さお、私たちの䞉角恒等匏ず法則の倚くはピタゎラスの定理に䟝存しおいるため、倚くの数孊者は、䞉角法を䜿甚した定理の蚌明は埪環論理であるず瀺唆しおいたす。 別の蚀い方をすれば、䞉角法を䜿甚しおピタゎラスを蚌明するこずは、基本的に A を䜿甚しお B を蚌明するこずであり、A が既に B に䟝存しおいる堎合に、圌らは䞻匵したす。 -定理の䞉角法による蚌明、および䞉角法の蚌明は䞍可胜であるこずを明瀺的に述べおいたす。

しかし、この芳点はここ数十幎でたすたす疑問芖されおきおおり、それ以来、ピタゎラスのいく぀かの䞉角法による蚌明が行われおきたした. ゞョン゜ンずゞャク゜ンの蚌明がピタゎラスの最初の䞉角法による蚌明であるずいうメディアの䞻匵は誇匵されおいたすが、圌らの蚌明は、これたでに芋た䞭で最も矎しく、最も単玔な䞉角法の蚌明である可胜性が十分にあり、明らかに若くお鋭い知性の䜜品であり、 倚くの経隓豊富な数孊者の仕事を特城付ける深い研究の幎。

新しい手法なんだけど、芁するに、

別の蚀い方をすれば、䞉角法を䜿甚しおピタゎラスを蚌明するこずは、基本的に A を䜿甚しお B を蚌明するこずであり、A が既に B に䟝存しおいる堎合に、圌らは䞻匵したす。 -定理の䞉角法による蚌明、および䞉角法の蚌明は䞍可胜であるこずを明瀺的に述べおいたす。

ずいうこずが、問題点でもあるずいうこずですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい。

ですので今回はそうした埪環論法を避けおいる、ずいう理解でよろしいこずかず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いえ、よヌヌヌく読むず埪環論法の完党な回避は埮劙に倱敗しおたす。

In this case we have an isoceles right-angled triangle and, our angles ⍺ = β = π/4 radians. So our hypotenuse is a/sin(π/4) = √2a, which satisfies the Pythagorean Theorem.

その sin(π/4) の倀はどこから
通垞は䞉平方の定理で導出するものでしょうから、埪環論法を避けるこずに成功したず䞻匵するにはこれを別の方法で導出しお芋せる必芁があったでしょう。
たあ、盞䌌な図圢の面積比を䜿うずか回避方法はいくらでもあるので加筆修正は容易でしょうけど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

おおっ。
a=b の特殊なケヌスでは
AやCの分母が 0 になっおしたい
今回の蚌明が通甚しない、
そういう話の流れなのですね

そのケヌスでの短蚌明に
sin(π/4)
を䜿うのは確かに反則ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

寄せられおいたコメントを远いかけたずころ
a = b のケヌスでは、次のように改善する案があげられおいたした。

By the way, that case is trivial: the triangle is a one-fourth of a square whose side length is $c$. The area of this square is c^2, while the triangle’s area is (ab)/2 = a^2/2. Therefore c^2=4 times a^2/2 = 2a^2 = a^2+b^2, as desired.

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月10日 13:47)

google翻蚳したした

この新しい蚌拠は䜕ですか

わかりたしたので、これが私が考える方法です。 この図を芋お、この蚌明を通しおずっず参照しおください。
図のように、蟺 a、b、c (斜蟺) を持぀巊䞊の単玔な盎角䞉角圢から始めたしょう。 ここでは、a ≠ b ず仮定したしょう — この蚘事の最埌の泚で、a = b の自明な特殊なケヌスを扱いたす。 長さ b ず c の蟺の間の角床を ⍺ ずし、長さ a ず c の蟺の間の角床を β ずしたす。 次に、この元の盎角䞉角圢から 3 ぀の幟䜕孊的なステップを䜜成したす。

長さ b の蟺に反映しお、右䞊の等䟡䞉角圢を圢成したす。
元の䞉角圢の長さ c の蟺に垂盎な盎線を延長したす。
反射した䞉角圢の斜蟺から連続線を延長したす。

ステップ 2 ず 3 から延長した線が亀わるず、図のように、斜蟺の長さが C、蟺が A ず c の新しい倧きな盎角䞉角圢が圢成されたす。

この倧きな盎角䞉角圢内に、図のように䞀連の小さくお小さい類䌌の盎角䞉角圢を描画し、サむズが枛少する類䌌の䞉角圢の無限のシヌケンスを圢成したす。

この無限の盞䌌䞉角圢のシヌケンスを䜿甚しお、長さ A ず C を導出する方法を調べたす。

小さい䞉角圢の蟺の長さを導き出す

蟺の長さ A の巊䞊から 1 番目の盎角䞉角圢を芋るず、この䞉角圢の蟺の長さは 2a であり、したがっお斜蟺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の䞉角圢から、sinβ = b/c であるこずがわかっおいるので、この斜蟺は長さ (2ac)/b であるず結論付けるこずができたす。 これにより、この䞉角圢の 3 番目の蟺は 2a²/b になりたす。

すぐに右偎の䞉角圢に移動するず、短蟺の 1 ぀が長さ 2a²/b であるこずがわかりたす。したがっお、この䞉角圢の斜蟺 (蟺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

このプロセスを続けるこずができたすが、小さな盞䌌䞉角圢のそれぞれが a²/b² の係数で枛少するこずが明らかになりたす。 これは、長さ A が最初の項 (2ac)/b ず公比 a²/b² を持぀等比玚数であるこずを意味したす。 同様に、長さ C は c で始たり、最初の項 (2a²c)/b² ず公比 a²/b² の等比玚数になりたす。

長さ A ず C の蚈算

これで、等比玚数の和の匏を䜿甚しお、長さ A ず C を蚈算できたす。初項 k ず公比 r の等比玚数の和の匏は、k/(1-r) です。 この合蚈は、r の絶察倀が 1 未満の堎合に収束したす。この堎合、r は a²/b² であるため、垞に収束するこずを確認できたす (a>b の堎合は、それらを亀換するだけです)。

それでは、長さ A を蚈算しおみたしょう。この堎合、k = (2ac)/b および r = a²/b² ずなるので、
A=2ac/b(1-a^2/b^2)=2abc/b^2-a^2
k = (2a²c)/b² で同様のアプロヌチを䜿甚し、最初に c を远加する必芁があるこずを思い出しおください。
C=c+2a^2c/b^2(1-a^2/b^2)=c(b^2+a^2)/(b^2-a^2)
それでは、長さ A を蚈算しおみたしょう。この堎合、k = (2ac)/b および r = a²/b² ずなるので、
k = (2a²c)/b² で同様のアプロヌチを䜿甚し、最初に c を远加する必芁があるこずを思い出しおください。

この矎しい蚌明を締めくくる

A ず C の比を取るずどうなるか芋おみたしょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であるこずがわかりたす。

ここで、元の盎角䞉角圢を反映しお圢成された䞊の二等蟺䞉角圢の正匊芏則を芋おみたしょう。 正匊定理は盎角䞉角圢に䟝存しないこずに泚意しおください。 サむン ルヌルは、どの䞉角圢でも、蟺ずその反察偎の角床のサむンずの比率は垞に同じであるず述べおいたす。

したがっお
sin 2α/2a=sinβ/c
したがっお、珟圚わかっおいるこずを次の匏に倉換したす。
b/(a^2+b^2)=b/c^2
この状況では、a、b、c のいずれもれロではないこずに泚意し、分子が同䞀であるこずに泚意するず、分母が同䞀であるずいう結論に至りたす。 これでピタゎラスの定理が蚌明されたした。

[泚: a = b ずいう特殊なケヌスでは、䞉角圢に長さ a の 2 ぀の短い蟺ず斜蟺がある堎合、蚌明は自明です。 この堎合、盎角二等蟺䞉角圢があり、角床 ⍺ = β = π/4 ラゞアンです。 したがっお、斜蟺は a/sin(π/4) = √2a であり、ピタゎラスの定理を満たしたす。 ミディアムナヌザヌに感謝
りォットシット
この特別なケヌスに察凊する必芁性を指摘しおくれお.]

図がここにはありたせんが、原文にはありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月10日 14:31)

拟いものです。

𝑐𝑜𝑠 𝑊 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − (𝑥 − 𝑊))
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑊) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑊)
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑊 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑊) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥(𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑊 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑊)
= (𝑐𝑜𝑠² 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑊.
cos y が0でなければ、䞡蟺をこれで割る。

以䞊は、ピタゎラスの定理を陜には䜿わずに
cos^2x ず sin^2x ずの和を 1 ず瀺すものです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

加法定理は䞀䜓どこから湧いお出たのでしょうか。

sin や cos を埮分で定矩しおいる堎合は加法定理もマクロヌリン展開ず二項定理で瀺すこずになるでしょうし、その堎合はこれで倧䞈倫ずいう話なのかな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ず思いたしたが、少し考えおみたら
s’(x) = c(x)
c’(x) = -s(x)
s(0) = 0
c(0) = 1
の解を s(x) = sin x, c(x) = cos x ずする定矩の堎合、

{ (sin x)^2 + (cos x)^2 }’ = 0 が䞀瞬で瀺せるので、加法定理を䜿うたでもなかった  。

玚数で定矩した堎合もこの埮分の関係匏をすぐ䜜れたすし、䜕を目的ずした匏倉圢だったんでしょうねコレ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倱瀌したした。
拟った堎所を蚘し挏らしたした。

https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf

です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、鋭角限定なんですね。
それなら確かに加法定理に䞉平方は䞍芁ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

でも、鋭角限定でもやっぱり加法定理䜿うたでもないような気もしたすね。

∠B = Ξ, ∠C = π/2, AB = 1 の䞉角比の定矩に䜿うい぀もの盎角䞉角圢 ABC に察し、
蟺 DE が点 C を通るように長方圢 ABDE を曞けば盞䌌な盎角䞉角圢が 3 ぀できお、
BC = cosΞ で DC = (cosΞ)^2
AC = sinΞ で EC = (sinΞ)^2
(cosΞ)^2 + (sinΞ)^2 = DC + EC = AB = 1

で終わる話なような。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月10日 17:35)

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございたす。

ですので今回はそうした埪環論法を避けおいる、ずいう理解でよろしいこずかず。

しかし、sinα、sinβずいう䞉角関数の抂念を䜿っおいたすよね。

蟺の長さ A の巊䞊から 1 番目の盎角䞉角圢を芋るず、この䞉角圢の蟺の長さは 2a であり、したがっお斜蟺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の䞉角圢から、sinβ = b/c であるこずがわかっおいるので、この斜蟺は長さ (2ac)/b であるず結論付けるこずができたす。 これにより、この䞉角圢の 3 番目の蟺は 2a²/b になりたす。

より、明らかですね。sinβ = b/c は、

すぐに右偎の䞉角圢に移動するず、短蟺の 1 ぀が長さ 2a²/b であるこずがわかりたす。したがっお、この䞉角圢の斜蟺 (蟺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

でも䜿われおいたす。b/cをsinβずいうこずなしに、論理はくみたおられないず思いたす。

A ず C の比を取るずどうなるか芋おみたしょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であるこずがわかりたす。

ここでも、sin(2⍺)ずいう䞉角関数の抂念が䜿われおいたす。

埪環論法を避けおいる

ずは蚀えないのではないでしょうか
でなければ、文章の前半は、いらなかったはずです。「埪環論法なるけど、」ずいう前眮きがあるから、この文曞があるのではないでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞉角関数の定矩自䜓を䜿うだけなら埪環論法にはなりたせんよ。

お手元の数孊の教科曞を芋おください。
(sinΞ)^2 + (cosΞ)^2 = 1 ずいう重芁な匏の蚌明に䞉平方の定理が関わっおいたすね。
だから、そのペヌゞより埌に曞いおあるこずは、䞉平方の定理の蚌明に䜿っおはなりたせん。
蚀い方を倉えれば、そのペヌゞより前に曞いおあるこずは別に䜿っおも䜕も問題はないんです。
だから「䞉角関数の䞉平方の定理を䜿う前の郚分できちんず䞉平方の定理を蚌明するこずに成功した」ずいう話題なのですよ。

はちべえさんはどうも数匏しか芋おいないようですが、蚀語ず合わせお読むようにした方がよろしいかず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(sinΞ)^2 + (cosΞ)^2 = 1
これを前提ずせずに
正匊定理っおなりた぀んだっけ

くらいを念のために確認はいたしたした。
埪環論法になっおいないこずを確認するためです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、そういえば正匊定理䜿っおたしたか。

では、2 ぀䞊のコメントを蚂正。
「䞉角関数の䞉平方の定理を䜿う前の郚分ず、教科曞の掲茉順的には埌ろだけど䞉平方を䜿うものに䟝存せず蚌明が構成されおいるものできちんず䞉平方の定理を蚌明するこずに成功した」
ですね。

鋭角の䞉角比の定矩
tan = sin / cos
鋭角の正匊定理
第䞀䜙匊定理高校で習うや぀は第二䜙匊定理で、そっちはダメ
鋭角の加法定理  くらいですか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

なんか昔ここで䌌たようなこずやったような、ず思っお調べおみたらありたした。

「䞭線定理」
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun658.html

䞉平方の定理を䜿わずに䞭線定理を瀺せるか、ずいう話題です。

名前クリックからも飛べるようにしおおきたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さんから疑矩があがっおいるこずに
気が付きたした。抂ね、䞋蚘のごずくず存じたす。

「正匊定理は(第)䜙匊定理から導かれる。この䜙匊定理からは盎接に䞉平方の定理が導かれる。ゞョン゜ンずゞャク゜ンによる今回の新蚌明が正匊定理に䟝拠するのはたずいのではないか」

私も少々考え蟌みたした。
調べたずころ、以䞋もわかりたした。すなわち
䞉角関数の加法定理のもずでは
正匊定理ず第䜙匊定理ず第䜙匊定理ずは
同倀である。
ですから
加法定理に䟝拠し぀぀
ゞョン゜ンずゞャク゜ンずの新蚌明を理解するこず、これはたずかろう。埪環論法の謗りを免れない。

じゃあどうすればいいのか

正匊定理の各皮の蚌明を調べおくださっおいるテキストをみ぀けたした。

http://izumi-math.jp/K_Satou/seigen/seigen.htm

䞊蚘のなかから適切なものを芋いだせればよいず思いたした。

ゞョン゜ンずゞャク゜ンは
面積による蚌明を回避し
蟺の長さの盞䌌を利甚しおいたすから
その志向ずも敎合したほうが良いですね。

 さきの文曞の「普通の蚌明」
が解りやすいかず思いたした。

あるいは、
「 幟䜕孊的蚌明 における䞉角法の基瀎を぀くった(1436-1376)の蚌明」
も玠敵です。


それにしおも、DD++さんによる
No.858
はクヌルですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月13日 11:16)

手元に高校数孊の教科曞がないので蚘憶頌りですが、日本の高校教育では正匊定理は同じ円呚角をも぀盎角䞉角圢を䜿っお蚌明しおいたず思いたす。

そこで䜿っおいるのは
・円呚角の定理
・タレスの定理
・䞉角比の定矩
・盎埄ず半埄の定矩
くらいだったはずで、䞉平方の定理は党く䜿っおないですね。

䜙匊定理を䜿う方法は、私は今回調べお初めお存圚を知りたした。
海倖だずどの方法での蚌明がメゞャヌなんだろう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

law of sines で怜玢しお英語ペヌゞをいろいろ芋おみたした。

日本ずは違っお、=2R が぀いおいない圢で玹介されおいるこずがほずんどのようです。
そのため、蚌明も以䞋で終わりずいうのが普通のよう。

A も B も鋭角の堎合、頂点 C から蟺 AB に䞋ろした垂線の長さを考えるず
b*sinA = a*sinB
䞡蟺を sinA および sinB で割っお埗られる。
どちらかが鈍角の堎合は内角ず倖角の sin の倀は等しいこずを考えれば同じこずが蚀える。

問題は䞉平方の定理を䜿っおいるかどうか。
盎角や鈍角の堎合はそもそも䞉平方の定理を䜿っお定矩するのでダメですが、鋭角の堎合に限定すれば䜿っおないですね。
そしお件の蚌明では、2αもβも鋭角です。
よっお、海倖で䞻流っぜい正匊定理の蚌明方法を前提ずした堎合、埪環論法にはなっおいないず蚀っおよさそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

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