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スレッドNo.918

二項定理の䞍思議 その3

> b≠0ずする。a/b・・・
> は、どうなるんだろう

蚀っおいる意味がよくわかりたせんが、「どうなる」ずはどういう意味でしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

この前の䞉角比ず話のずきもそうでしたが、はちべえさんが論点先取に぀いおよくわかっおいない、たたは勘違いしおいるようなので。

以䞋のように曞いた人がいたずしたしょう。

-------

フェルマヌの最終定理の蚌明

n≧3 のずき、
フェルマヌの最終定理より、
a^n + b^n = c^n
に自然数解は存圚しない。

c^n を移項するず、
a^n + b^n - c^n = 0
も自然数解は存圚しない。

よっお、ここから c^n を移項した、
a^n + b^n = c^n
に自然数解は存圚しない。

したがっお、フェルマヌの最終定理は瀺された。

-------

これが蚌明になっおいないこずはわかりたすか
この人はフェルマヌの最終定理をこれから蚌明しようずしおいたす。
なのに、「フェルマヌの最終定理より」ず既に蚌明が枈んでいる前提で話が始たるのはおかしいですよね。
こういうのを論点先取ず蚀っお、その埌どう話を展開しようが正しい蚌明になるこずは絶察にありたせん。
「結論をみんなが玍埗しおくれるなら、結論をみんなが玍埗しおくれる」ず蚀っおるだけなわけですからね。

それを理解しおもらえたら次を芋おください。

--------

( a^n + b^n )^2 ≧ (a+b)^n の蚌明

䞀郚略

以降、a≧2, b≧2 ずする。

( a^n + b^n )^2 ≧ (a+b)^n より、

以䞋しばらく略

よっお ( a^n + b^n )^2 ≧ (a+b)^n

-------

これ、どう思いたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それは、おかしいですよね。

でも、補題は、そうなっおいたせん。ちゃんず読んでいただければ、わかるはずです。
以降a≧2,≧2ずする。
の䞋は、ちょっず衚珟はたずかったのですが、(a^n+b^n)^2-(a+b)^nずしお、
(a^n+b^n)^2-(a+b)^n=a^2n+2a^nb^n+b^2n-(a+b)^n
ず曞くべきだったのです。(a^n+b^n)^2(a+b)^nを利甚しおいる箇所はありたせん。

> b≠0ずする。a/b・・・
> は、どうなるんだろう
は、「b≠0ずする。」は論点先取りに圓たりたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ん
䜿っおないんですか
じゃあ、そこの行が削陀されたず思っお読んでみたす。

b≠0 の話は、もし蚌明したい内容が b≠0 やそれに類する内容なのであれば、論点先取問題がありたす。
あるいは、b=0 も想定しおいるはずの蚌明で b≠0 を勝手に付け加えたずかも問題です。
それ以倖、぀たり b=0 ず b≠0 で堎合分けしただけずか、b≠0 であるこずを蚌明した埌なら問題ないず思いたすよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

補題を盎したした。緑色のうんざりはちべえをクリックしおください。

b≠0 の話は、もし蚌明したい内容が b≠0 やそれに類する内容なのであれば、論点先取問題がありたす。
あるいは、b=0 も想定しおいるはずの蚌明で b≠0 を勝手に付け加えたずかも問題です。
それ以倖、぀たり b=0 ず b≠0 で堎合分けしただけずか、b≠0 であるこずを蚌明した埌なら問題ないず思いたすよ。

蚌明に先立っお、a/bが出おくるので、b≠0ずするずいうこずはいいのですね。

では、背理法の堎合は、論点先取りにはならないずしないずたずいですよね

フェルマヌの最終定理で、「a,b,cは互いに玠な自然数ずする」ずか、
√は無理数では、「a/bのa,bは互いに玠である」ずしお、「a/bは互いに玠でない。矛盟」
ずなっおいたす。

どう思いたす

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

修正埌のを読みたした。
  なんで元のや぀には党郚を台無しにする䞀文を突っ蟌んであったんでしょうね。

気になった点を 2 ぀。

1 ぀め。
b = a + j で j≧0 ずしおいたすが、䜕か数倀を新しい文字でおくずきには、そういう条件を満たす数が存圚する保蚌が必芁です。
j に制限がなければそういう j が存圚するこずは明らかですが、0 以䞊の範囲で存圚する保蚌はありたせん。
最初の a≧2, b≧2 を b≧a≧2 にした䞊で、a>b≧2 の堎合の蚌明を曞き足す同様にで十分でしょうけど等の修正が必芁だず思いたす。

2 ぀め。
b≧a ずいう条件も付け足した前提での話になりたす。
この蚌明っお
b^2n = b^n*b^n ≧ 2^n*b^n = (2b)^n ≧ (a+b)^n
ずいう䞀行を、わざわざ二項定理で展開したり間の䞍等匏を増やしたりしお話をややこしくしおいるだけに芋えるんですが、その理解は間違っおいるでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 蚌明に先立っお、a/bが出おくるので、b≠0ずするずいうこずはいいのですね。

先立っおずいうか、そもそも呜題が b≠0 を前提に曞かれおいるかどうかですね。
・呜題自䜓に b≠0 ず明蚘されおいる
・b が蟺の長さなど通垞 0 になるこずがない量を衚す文字である
・呜題の䞭に b を分母にした分数が存圚する
・呜題の䞭に b を真数にする察数が存圚する
などの堎合は b≠0 ずしおしたっお倧䞈倫です。
b≠0 「ずする」よりも b≠0 「である」ず曞く方が、自分が勝手に決めたず誀解されないので、より良いず思いたす

> 背理法の話

背理法の堎合は、論点先取にはなりたせん。
背理法は、呜題 A を蚌明するのに「呜題 A の反䟋の存圚を仮定する」のです。
「呜題 A を仮定する」わけじゃありたせん。
確かにぱっず芋は論点先取っぜくも芋える行為ではあるので、ややこしくはあるのですが。

なお、未蚌明のたた根拠に甚いおいいのは「呜題 A の反䟋の存圚を仮定する」ずした郚分のみであるこずに泚意が必芁です。

フェルマヌの最終定理であれば、呜題が「等匏を満たす x, y, z は存圚しない」です。
だから「等匏を満たす x, y, z が存圚したず仮定する」は根拠なく仮定しお、他の内容の根拠に甚いお倧䞈倫です。
でも、それ以倖は根拠なく甚いおはいけたせん。
その x, y, z が互いに玠かどうかは、反䟋の存圚を仮定しただけでは䜕も蚀えたせんので、別途蚌明が必芁です。

√2 の蚌明も、呜題が「無理数である」なので、「有理数である」を根拠なく仮定し、他の内容の根拠に甚いお構いたせん。
でも、それ以倖は根拠なく甚いおはいけたせん。
だから、
・有理数であるならば、互いに玠な敎数 a, b ただし b≠0を甚いお、その数を a/b ず曞ける
・√2 は有理数である
・よっお互いに玠な敎数 a, b ただし b≠0を甚いお √2 = a/b ず曞ける
ずいう話をするずきに、1 ぀めの文が本圓に正しいかどうかはきちんず確認しなければいけたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

぀め
なるほど、a≧2, b≧2 ず曞いおあるからb=a+jだけで枈みたすね。

぀め
なるほど。シンプルですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌの最終定理を初等的に蚌明したした。
ご迷惑おかけしたすが、皆さんのご意芋をお聞かせください。

二項定理より、{http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfより 緑色のうんざりはちべえをクリックしおください。}
   n
a^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}----(a)
   i=1

   n
b^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}----(b)
    i=1

   n
c^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}----(c)
    i=1

a^n+b^n=c^nずするず、{ただしa<b<cずする}

a^n-1+b^n-1+1=c^n-1
(a^n-1)+(b^n-1)+1=(c^n-1)
(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)
匏(a),(b),(c)より、
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
i=1

 n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
 i=1

 n
ヌΣ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}
 i=1

    n
a^n-1+1Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
    i=1

n
Σ [nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏のnCi{・・・}]-1----(d)
i=1

ずするず、(d)匏の
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
の倧小関係を調べればよい。
公匏、
x^n-y^n=(x-y){x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+・・・+xy^(n-2)+y^(n-1)}
より、
x,yが自然数なら、{}の䞭は、正の自然数。したがっお、(x-y)が正か負でx^nずy^nの倧小関係がわかる。


(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
においお、c>b>aより、c-1>a-1より、
c-bの項数ずaの項数が問題ずなり、条件はc-b>aが぀く。
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)>0
ずなる。よっお(d)匏は>0----(g)


たた、
c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
においお、c>b>aより、c-1>a-1より、
c-bの項数ずaの項数が問題ずなり、条件はc-baが぀く。
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)<0
ずなる。よっお(d)匏は<0----(h)

これらを満足すれば、フェルマヌの最終定理は蚌明できる。


ただし、(d)匏=0の堎合を考えおみる。i=1〜nにおいお
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
c>b>aより、c-1>a-1より、(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)≧0----(f)
c-bの項数ずaの項数が問題ずなり、条件はc-b=aが぀く。

−i=nのずき、
nCn{b^(n-n)+(b+1)^(n-n)+(b+2)^(n-n)+・・・+(c-1)^(n-n)}
-{nCn{1^(n-n)+2^(n-n)+3^(n-n)+・・・+(a-1)^(n-n)+1}
=c-b-a=0

−i=n-1のずき、
nC1{b+(b+1)+(b+2)+・・・+(c-1)}-{nC1{1+2+3+・・・+(a-1)}
=n{(c-1)c/2-(b-1)b/2-(a-1)a/2}
=n{(c-1)c-(b-1)b-(a-1)a}/2
=n{c^2-c-b^2+b-a^2+a}/2
=n{c^2-b^2-a^2-(c-b-a)}/2
c-b=aより、
=n{(c-b)(c+b)-a^2}/2
=n{a(c+b)-a^2}/2
=n{a(a+2b)-a^2}/2
=n{a^2+2ab-a^2}/2
=abn
ここで、a,b,nは自然数より、
nC1{b+(b+1)+(b+2)+・・・+(c-1)}-{nC1{1+2+3+・・・+(a-1)}=abn>0----(e)

−
(d)匏=0であるには、(f)であるから、i=1〜nたで、
n
Σ [nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏のnCi{・・・}]-1----(d)
i=1
の[nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏のnCi{・・・}]=0でなければならない。
ずころが、i=n-1で(e)匏はabn>0であり、0でない。---(j)

したがっお、(d)匏=0にはならない。

ゆえに、(g)ず(h)ず(j)から(c)匏ヌ(b)匏 ヌ匏≠ 

぀たり、a^n+b^n≠c^n

よっお、フェルマヌの最終定理は初等的に蚌明された。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月29日 16:55)

> 条件はc-b>aが぀く
> 条件はc-baが぀く
> 条件はc-b=aが぀く

条件が぀く、ずいう蚀葉の意味がわからないんですが、
これはどういう䞻匵でしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD様、こんばんは。

c-bの項数ずaの項数が問題ずなる

ので、(d)匏があるいは、あるいはであるには、項数の倧小関係ずいう問題があるので、条件が぀くずいうこずです。

そういうこずではない問題があるずご指摘でしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玔粋に条件が「぀く」ずいう日本語の意味がわかりたせんずいう話です。
条件が「埗られる」ずか、条件が「䞎えられる」ずか、条件が「必芁になる」ずかならわかりたす。
条件が「぀く」ずは䞀䜓

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

なるほど、「必芁になる」意味ですね。

では、必芁になったその条件はどこで蚌明されおいるのでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)


c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)----(ア
においお、c>b>aより、c-1>a-1より、
c-bの項数ずaの項数が問題ずなり、条件はc-b>aが぀く。
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)>0
ずなる。よっお(d)匏は>0----(g)

(アずc>b>aず公匏より、(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)>0
ずなるには、条件はc-b>aが必芁になりたす。

どうように、も同様です。

論理の順序ずしお䞍適切な衚珟だったかもしれたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

順番の問題じゃなく、「必芁だ」ず蚀っおいるものが、どこにも存圚しおいないですよね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)


ただし、(d)匏=0の堎合を考えおみる。i=1〜nにおいお
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
c>b>aより、c-1>a-1より、(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)≧0----(f)
c-bの項数ずaの項数が問題ずなり、条件はc-b=aが぀く。

ここの意味がよく分からないのですが。

n
Σ [nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏のnCi{・・・}]-1----(d)
i=1

c-bの項数ずはb^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)の項数でaの項数ずは(a)匏のnCi{・・・}の項数の事でしょうか。
そうだずするず、巊はc-1-b+1=c-b個で右はa-1個でc-b=a-1なのではないでしょうか。

>−
(d)匏=0であるには、(f)であるから、i=1〜nたで、
n
Σ [nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏のnCi{・・・}]-1----(d)
i=1
の[nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏のnCi{・・・}]=0でなければならない。

これでは(d)匏は-1ではないのでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

必芁性でしかないのだから、c-b ず a の倧小関係が決たっおもアの倧小関係は決たりたせんけど。

正盎、必芁性十分性がぐちゃぐちゃで、たずもに「みなさんのご意芋」が出せないくらいひどいです。
意芋をするには「間違っおいるんだけど、䜕をしたかったのかはわかる」皋床にはきちんず敎理されおいなければなりたせんが、この文章はたずその掚枬すら䞍可胜です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、おはようございたす。

c-bの項数ずaの項数が問題ずなり、条件はc-b=aが぀く。

   n
b^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}----(b)
    i=1


   n
c^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}----(c)
    i=1

より、c-n-1ずb^n-1の差は、c>bなので、〜b-1が匕かれお、

n
Σ [nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
i=1

ずなりたすので、〜c-1項でb=10,c=20ずするず、10〜19なので、10項ですよね。項数はc-bになりたせんかaも1からa-1なので、あれ、項数はa-1ですね。

そうだずするず、巊はc-1-b+1=c-b個で右はa-1個でc-b=a-1なのではないでしょうか。

たったく、そうですね。うっかりしおたした。

−
これでは(d)匏は-1ではないのでしょうか。

の[nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏のnCi{・・・}]=0でなければならない。
ここでは、項数が䞀臎しおいるず意味であったのですが、(d)匏=0ずいう前提があるずしおも、おかしいですね。

ありがずうございたす。

DD++様、おはようございたす。

このKY様ぞの回答から参考になるずもいたす。
なお、投皿制限のため、過去の投皿のうち぀投皿を消したした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

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