😊出会いの泉😊

管理人様、おはようございます。

いつも、ご迷惑おかけします。

これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもので、私がそれを証明できる技量・ヒントは、現在持ち合わせておりません。

いずれか将来、そういうチャンスに恵まれたときまで、お待ちください。

また、投稿の余計な一文が管理人様のご機嫌を損ねたことをお許しください。

すると、すべての無限小数は、無理数になるのではないかという疑問が、生じると思います。

その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかというと、1/3は1÷3で、あまりが循環するから、循 環するのです。つ まり、１÷3=0.333・・・＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。

つまり、演算が可能な範囲で0.333・・・が並んでいるので、無限では、演算ができないので、1÷３は、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数です。

その説明では、√２は、無理数ですが、無限に計算してゆくので、無限では、演算ができないなら、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数ですとなってしまうではないか？

それには、循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数であるが、答えにならないでしょうか？
つまり、循環してないといけないのです。

０．９９９・・・は、根拠もなしにただ、９を並べ多数ですから、演算はどこにもありません。

循環小数は有理数なので、分数にできますが、０．９９９・・・は、分数にできません。私が、x=aとして、１０倍して引いてもx=aでした。
0.333・・・という循環小数を分数にする方法では、1/3になりますが、1/3は、０．３３３・・・より、＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。つまり、０．３３３・・・より大きくなっているのですから、循環小数を分数にする方法は、間違いです。

うんざりはちべえさん、論理が破綻していませんか？

論理が破綻してますか？どのへんでしょうか？それは、さておいて、多分、

＞これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもの　

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が怪しいのです。

すると、すべての無限小数は、有理数になってしまいます。バーゼル問題が正しければ、すべての無限小数は、無理数になってしまいます。

＞循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数である。

からも矛盾します。

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題は、不適切な命題なんでしょうね。

これで終わりにしましょう。
長い間、ご迷惑おかけしました。

……関係があるのかもしれないと思いまして投稿いたします。

まずは参考文献のご案内から。

■《高校生における「無理数」の概念》（大山正信・米沢光洋）
( https://core.ac.uk/download/pdf/144571306.pdf )

この参考文献の p.10 から引用します。

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彼のこの誤解は,彼が【1】において,「無理数とは確定した数が存在しないもの」としているところから生じていると考えられる
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引用部分にある生徒の誤解は、「無限回の操作を必要とするのでいつまでたっても確定した値を取れない」といった気持ちからくるものなのであろうと推察されます。

自分自身を振り返りますと、小学生くらいの頃までは同じような気持ちが強かったと思います。

私の場合には中学一年の頃に出会った関根先生の教え方が上手だったのかもしれませんけれど、なんとなくですがこうした疑問は消えてしまいました。

関根先生は 確か、
「全ての有限小数は無限小数としても書くことができる、書き方が違うだけで値は同じだ」としつこく宣言していらっしゃいました。
こうした宣言を念仏もしくは御題目のようにことあるごとにバリトンの声で繰り返していらっしゃいました。
関根先生が好きな例題は１/４でした。
黒板に書くのはいつも
０.２５＝０.２４９９９９９９９９９………………………
でした。チョークで……を素早く黒板の端から端まで一気に書く必殺技をお持ちでして、一部の生徒たちも真似しようと奮闘していたことが懐かしく思い出されます。 これがなかなか難しいのですけれど。

尻切れトンボですけれども、今回の投稿は以上です。
追記：先程の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったときの生徒たちの反応についてのアンケート結果が出ていまして大変に興味深いものでした。

以上です。

　さて、うんざりはちべえさんは、おそらく、２人で行うグーチョキパーで行うジャンケンは（原理的には）公平であるとお考えの筈です。
　
ジャンケンぽんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったー（負けたー）
　
という例のやつです。
　
《このジャンケンのルールは公平である》ことと
《３進法で記すときに １/２ ＝ ０.１１１１１１………（無限小数）の等式が成立する》
こととは同値であることを指摘しておきたく思います。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

ありがとうございます。

> このことから、
> 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
> は、無理数であるとなりますね。

なるわけないじゃないですか。
私の主張を勝手に捻じ曲げないでください。

続き2に入ってからの投稿を見ましたが、はちべえさんがやっていることは数学と呼べないように思います。

はちべえさんは、根拠があろうとなかろうと自分の予想が間違っているわけがないという前提に立っているように感じます。
そのような考え方は、良く言って宗教、悪く言えば妄想と呼ばれるべきものです。

ここは数学の場です。
証明が用意できないのならば（公理と定義を除き）どんな記述も真実かどうかわからない、という数学的立場で発言してください。

DD++様、おはようございます。

ご指摘ありがとうございます。

さて、https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...によれば、0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もあるそうです。それは、無限小を0とするかしないかの違いだそうです。

昨日は、2日も更新されず、これは、DD++様への返信が、必要であると気づいて、投稿したのですが、あの行は、DD++様の発言の回答には、不要であると気づいて、あの行を消そうと思った時に、管理人様の投稿があったのです。それで、不要な事態を招いてしまいました。

皆様、大変、ご迷惑おかけしました。

うんざりはちべえさんは、
　「0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もある」
ということを知った上で、「0.999・・・=1という体系」は誤りだという立場なんですよね？

管理人様、おはようございます。

無限小を⊿とします。
０．９９９・・・=1の考えでは、⊿＝０です。
一方０．９９９・・・＜1の考えでは、⊿＞０です。

ここで、四則演算が、無限でも適用できるとします。

１）さて、実数は連続なので、a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。
ところが、⊿=0なら、a=bで、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができない、連続でないとなりませんか？

２）有理数の稠密性で、a<bなら、a<(a+b)/2<bですね。(a+b)/2=cとおくと、
a<(a+c)/2<c<bで稠密なんですよね。

ここで、ｂ＝２⊿+aとすると、a<(a+b)/2<bは
a<(a+⊿)<a+2⊿
となりますね。⊿=0では、この不等式は成り立ちませんね。
すると、有理数の稠密性が成り立ちませんとなりませんか？

私は、普通の一般人なので、こんな初歩的な疑問です。

> さて、実数は連続なので、a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。

「隣り合う」とは何を意味していますか？
そして、その意味の上で「a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合う」の証明は？

DD++様、こんにちは。

a≠bとなるb>a>0とします。c=(b-a)とすると、cの最小値は、⊿になりますよね。

aとbの距離は、最小値⊿ですから、隣り合うとなると思います。

三次元のグラフ上のa,bとなると、話が違ってきますが、数直線で考えるとということです。

cの最小値は⊿しかないわけですから。

なお、以下の話は、ないものとしておきます。

１）連続なら、a<(a+b)/2<bが存在するから最小値は⊿/2だ、（無限小は⊿なので、）とはなりませんよね。

２）微分の⊿＞⊿^2>0も、ここでは、扱わないとします。

(1) 「隣り合う」という言葉を正確に定義してください。
(2) その c=
b-a に最小値は存在しません。

「隣り合うとは」
最小目盛り幅が⊿の数直線で、目盛り上のaの隣の目盛り上をbとして、隣り合うa,bと言ってます。
すべての点は、最小目盛り幅の自然数倍にあるとします。
ただし、a,bが3目盛り離れていると、中点cは1．5目盛りなので、目盛り上からずれてしまいます。
また、点間は、無限小以上を守らないといけないので、連続するには、すべての点は、最小目盛り幅でなければならないと思います。
デジタル的だと思うかもしれませんが、無限小間隔です。目盛りは可付番で、どれ一つ同じものはありません。

つまり、⊿=0だと、すべての点が、座標で決められていれば、一点に重なります。座標とは無関係ならば、座標が１点になるので、多くの点が消えてしまいます。これは、先に、⊿＞０で座標が決まっていたものを、⊿＝０にするという勘違いですね。

c が目盛り上からずれてしまうというのは、
・c=(a+b)/2 は実数とは認めない
・この点の集合は全ての実数を表していない
のどちらですか？

ｃは、実数です。

目盛り上で、ないといけないというのではなくて、点と点の幅が⊿以上あればよいのではないでしょうか？

最初に書いたb=a+⊿です。これを目盛り付きの数直線で、説明したほうが、隣り合うということを説明しやすかったもので・・・・

だから、連続も、点と点の幅が⊿であれば、目盛り上である必要はないと書いたつもりです。

では、a と b の間が 3 目盛りだとして、
c=(a+b)/2 と d=(a+2b)/3 の表す点の幅はいくつですか？

うんざりはちべえさんがΔを持ち出していらしたので、横入りですけれどもひとことを。

うんざりはちべえさんが現在展開なさろうとしている無限小についてのお話しの筋立てには未来がありません。早晩、矛盾があちこちから吹き出して行き詰まります。やめておいたほうがいいです。

うんざりはちべえさんが、オリジナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み込もうと思っていらっしゃるのであれば、
数学基礎論をひととおり勉強し、なかでもモデル理論について自信が持てるほどにしっかりと身につけ、
そうした武器を駆使した上でオリジナルの超実数について体系を構成していくべきです。
私たちは、通常、標準的なモデルの上で数学について語り合っています。
いま、うんざりはちべえさんは、標準的なモデルの上で、Δを持ち出していらっしゃいますが、これは不毛です。標準的なモデルにはおっしゃるような概念のつけいる隙はありません。

ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」というのであれば、
全く新しい非標準的なモデルの上での数の体系を創造しなければなりません。
これは、素人には無理な話です。
テキトーにやろうとすると失敗するので、厳密なやり方をまずは学ぶ必要があるのです。たぶん、大学院レベル。

なお、新しいモデルの上で無限小を定式化し実数の体系を補完し新しい数の体系を生み出した事例は既に　*複数*　、存在していますが、
そうしたなかには、1＝０.９９９…を是とした体系も、1＞０.９９９…を是とした体系も、ともにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、という問いは存在せず、「かくかくしかじかの手法で数の体系を構築したら、こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねて申し上げますが、標準的なモデルでの上での実数体を前提としている、大概の数学掲示板では、１＝０.９９９……が真です。
これが偽だといいはじめると、おそらく会話がうまくいきません。

「だったら新しい体系を建設してもってきてね、数学基礎論の言葉で各種の述語を定義して、公理・定理の連鎖でもって、実数体の拡張をしてみてくださいね」としか、反応できませんよね。

※たしか、ロビンソン流の超準解析でも、１＝０.９９９……だった気がしますが、不勉強の私ですから眉唾ですね。