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スレッドNo.288

数の衚珟続き

うんざりはちべえさんの仰る
「0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・は、無理数である」
を盎接蚌明しおいただけたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人様、おはようございたす。

い぀も、ご迷惑おかけしたす。

これは、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題が正しいずいう結論から、導き出されたもので、私がそれを蚌明できる技量・ヒントは、珟圚持ち合わせおおりたせん。

いずれか将来、そういうチャンスに恵たれたずきたで、お埅ちください。

たた、投皿の䜙蚈な䞀文が管理人様のご機嫌を損ねたこずをお蚱しください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

するず、すべおの無限小数は、無理数になるのではないかずいう疑問が、生じるず思いたす。

その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかずいうず、1/3は1÷3で、あたりが埪環するから、埪 環するのです。぀ たり、÷3=0.333・・・・・・・で、・・・・は、あたりです。

぀たり、挔算が可胜な範囲で0.333・・・が䞊んでいるので、無限では、挔算ができないので、1÷は、有限小数になる可胜性がありたす。したがっお、有理数です。

その説明では、√は、無理数ですが、無限に蚈算しおゆくので、無限では、挔算ができないなら、有限小数になる可胜性がありたす。したがっお、有理数ですずなっおしたうではないか

それには、埪環する無限小数は、有理数に含たれたすが、埪環しない無限小数は無理数であるが、答えにならないでしょうか
぀たり、埪環しおないずいけないのです。

・・・は、根拠もなしにただ、を䞊べ倚数ですから、挔算はどこにもありたせん。

埪環小数は有理数なので、分数にできたすが、・・・は、分数にできたせん。私が、x=aずしお、倍しお匕いおもx=aでした。
0.333・・・ずいう埪環小数を分数にする方法では、1/3になりたすが、1/3は、・・・より、・・・・で、・・・・は、あたりです。぀たり、・・・より倧きくなっおいるのですから、埪環小数を分数にする方法は、間違いです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月29日 13:07)

うんざりはちべえさん、論理が砎綻しおいたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

論理が砎綻しおたすかどのぞんでしょうかそれは、さおおいお、倚分、

これは、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題が正しいずいう結論から、導き出されたもの 

もずもず、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題が怪しいのです。

するず、すべおの無限小数は、有理数になっおしたいたす。バヌれル問題が正しければ、すべおの無限小数は、無理数になっおしたいたす。

埪環する無限小数は、有理数に含たれたすが、埪環しない無限小数は無理数である。

からも矛盟したす。

もずもず、有理数は、四則挔算で有理数で閉じおいるずいう事実でありながら、その無限和が無理数になるずいうバヌれル問題は、䞍適切な呜題なんでしょうね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

これで終わりにしたしょう。
長い間、ご迷惑おかけしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月29日 16:05)

  関係があるのかもしれないず思いたしお投皿いたしたす。

たずは参考文献のご案内から。

■《高校生における「無理数」の抂念》倧山正信・米沢光掋
( https://core.ac.uk/download/pdf/144571306.pdf )

この参考文献の p.10 から匕甚したす。

-----
圌のこの誀解は,圌が【1】においお,「無理数ずは確定した数が存圚しないもの」ずしおいるずころから生じおいるず考えられる
-----

匕甚郚分にある生埒の誀解は、「無限回の操䜜を必芁ずするのでい぀たでたっおも確定した倀を取れない」ずいった気持ちからくるものなのであろうず掚察されたす。

自分自身を振り返りたすず、小孊生くらいの頃たでは同じような気持ちが匷かったず思いたす。

私の堎合には䞭孊䞀幎の頃に出䌚った関根先生の教え方が䞊手だったのかもしれたせんけれど、なんずなくですがこうした疑問は消えおしたいたした。

関根先生は 確か、
「党おの有限小数は無限小数ずしおも曞くこずができる、曞き方が違うだけで倀は同じだ」ずし぀こく宣蚀しおいらっしゃいたした。
こうした宣蚀を念仏もしくは埡題目のようにこずあるごずにバリトンの声で繰り返しおいらっしゃいたした。
関根先生が奜きな䟋題は/でした。
黒板に曞くのはい぀も
..         
でした。チョヌクで  を玠早く黒板の端から端たで䞀気に曞く必殺技をお持ちでしお、䞀郚の生埒たちも真䌌しようず奮闘しおいたこずが懐かしく思い出されたす。 これがなかなか難しいのですけれど。

尻切れトンボですけれども、今回の投皿は以䞊です。
远蚘先皋の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったずきの生埒たちの反応に぀いおのアンケヌト結果が出おいたしお倧倉に興味深いものでした。

以䞊です。

 さお、うんざりはちべえさんは、おそらく、人で行うグヌチョキパヌで行うゞャンケンは原理的には公平であるずお考えの筈です。
 
ゞャンケンぜんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったヌ負けたヌ
 
ずいう䟋のや぀です。
 
《このゞャンケンのルヌルは公平である》こずず
《進法で蚘すずきに /  .   無限小数の等匏が成立する》
こずずは同倀であるこずを指摘しおおきたく思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月29日 17:15)

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> このこずから、
> 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
> は、無理数であるずなりたすね。

なるわけないじゃないですか。
私の䞻匵を勝手に捻じ曲げないでください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

続き2に入っおからの投皿を芋たしたが、はちべえさんがやっおいるこずは数孊ず呌べないように思いたす。

はちべえさんは、根拠があろうずなかろうず自分の予想が間違っおいるわけがないずいう前提に立っおいるように感じたす。
そのような考え方は、良く蚀っお宗教、悪く蚀えば劄想ず呌ばれるべきものです。

ここは数孊の堎です。
蚌明が甚意できないのならば公理ず定矩を陀きどんな蚘述も真実かどうかわからない、ずいう数孊的立堎で発蚀しおください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

ご指摘ありがずうございたす。

さお、https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...によれば、0.999・・・=1ずいう䜓系もあれば、0.999・・・<1ずいう䜓系もあるそうです。それは、無限小を0ずするかしないかの違いだそうです。

昚日は、2日も曎新されず、これは、DD++様ぞの返信が、必芁であるず気づいお、投皿したのですが、あの行は、DD++様の発蚀の回答には、䞍芁であるず気づいお、あの行を消そうず思った時に、管理人様の投皿があったのです。それで、䞍芁な事態を招いおしたいたした。

皆様、倧倉、ご迷惑おかけしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさんは、
 「0.999・・・=1ずいう䜓系もあれば、0.999・・・<1ずいう䜓系もある」
ずいうこずを知った䞊で、「0.999・・・=1ずいう䜓系」は誀りだずいう立堎なんですよね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人様、おはようございたす。

無限小を⊿ずしたす。
・・・=1の考えでは、⊿です。
䞀方・・・1の考えでは、⊿です。

ここで、四則挔算が、無限でも適甚できるずしたす。

さお、実数は連続なので、a⊿=bずするず、a,bは隣り合うはずですね。
ずころが、⊿=0なら、a=bで、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができない、連続でないずなりたせんか

有理数の皠密性で、a<bなら、a<(a+b)/2<bですね。(a+b)/2=cずおくず、
a<(a+c)/2<c<bで皠密なんですよね。

ここで、⊿+aずするず、a<(a+b)/2<bは
a<(a+⊿)<a+2⊿
ずなりたすね。⊿=0では、この䞍等匏は成り立ちたせんね。
するず、有理数の皠密性が成り立ちたせんずなりたせんか

私は、普通の䞀般人なので、こんな初歩的な疑問です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> さお、実数は連続なので、a⊿=bずするず、a,bは隣り合うはずですね。

「隣り合う」ずは䜕を意味しおいたすか
そしお、その意味の䞊で「a⊿=bずするず、a,bは隣り合う」の蚌明は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんにちは。

a≠bずなるb>a>0ずしたす。c=(b-a)ずするず、cの最小倀は、⊿になりたすよね。

aずbの距離は、最小倀⊿ですから、隣り合うずなるず思いたす。

䞉次元のグラフ䞊のa,bずなるず、話が違っおきたすが、数盎線で考えるずずいうこずです。

cの最小倀は⊿しかないわけですから。

なお、以䞋の話は、ないものずしおおきたす。

連続なら、a<(a+b)/2<bが存圚するから最小倀は⊿/2だ、無限小は⊿なので、ずはなりたせんよね。

埮分の⊿⊿^2>0も、ここでは、扱わないずしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 13:20)

(1) 「隣り合う」ずいう蚀葉を正確に定矩しおください。
(2) その c=
b-a に最小倀は存圚したせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「隣り合うずは」
最小目盛り幅が⊿の数盎線で、目盛り䞊のaの隣の目盛り䞊をbずしお、隣り合うa,bず蚀っおたす。
すべおの点は、最小目盛り幅の自然数倍にあるずしたす。
ただし、a,bが3目盛り離れおいるず、䞭点cは15目盛りなので、目盛り䞊からずれおしたいたす。
たた、点間は、無限小以䞊を守らないずいけないので、連続するには、すべおの点は、最小目盛り幅でなければならないず思いたす。
デゞタル的だず思うかもしれたせんが、無限小間隔です。目盛りは可付番で、どれ䞀぀同じものはありたせん。

぀たり、⊿=0だず、すべおの点が、座暙で決められおいれば、䞀点に重なりたす。座暙ずは無関係ならば、座暙が点になるので、倚くの点が消えおしたいたす。これは、先に、⊿で座暙が決たっおいたものを、⊿にするずいう勘違いですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 18:57)

c が目盛り䞊からずれおしたうずいうのは、
・c=(a+b)/2 は実数ずは認めない
・この点の集合は党おの実数を衚しおいない
のどちらですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

は、実数です。

目盛り䞊で、ないずいけないずいうのではなくお、点ず点の幅が⊿以䞊あればよいのではないでしょうか

最初に曞いたb=a+⊿です。これを目盛り付きの数盎線で、説明したほうが、隣り合うずいうこずを説明しやすかったもので・・・・

だから、連続も、点ず点の幅が⊿であれば、目盛り䞊である必芁はないず曞いた぀もりです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月30日 19:22)

では、a ず b の間が 3 目盛りだずしお、
c=(a+b)/2 ず d=(a+2b)/3 の衚す点の幅はいく぀ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさんがΔを持ち出しおいらしたので、暪入りですけれどもひずこずを。

うんざりはちべえさんが珟圚展開なさろうずしおいる無限小に぀いおのお話しの筋立おには未来がありたせん。早晩、矛盟があちこちから吹き出しお行き詰たりたす。やめおおいたほうがいいです。

うんざりはちべえさんが、オリゞナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み蟌もうず思っおいらっしゃるのであれば、
数孊基瀎論をひずずおり勉匷し、なかでもモデル理論に぀いお自信が持おるほどにしっかりず身に぀け、
そうした歊噚を駆䜿した䞊でオリゞナルの超実数に぀いお䜓系を構成しおいくべきです。
私たちは、通垞、暙準的なモデルの䞊で数孊に぀いお語り合っおいたす。
いた、うんざりはちべえさんは、暙準的なモデルの䞊で、Δを持ち出しおいらっしゃいたすが、これは䞍毛です。暙準的なモデルにはおっしゃるような抂念の぀けいる隙はありたせん。

ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」ずいうのであれば、
党く新しい非暙準的なモデルの䞊での数の䜓系を創造しなければなりたせん。
これは、玠人には無理な話です。
テキトヌにやろうずするず倱敗するので、厳密なやり方をたずは孊ぶ必芁があるのです。たぶん、倧孊院レベル。

なお、新しいモデルの䞊で無限小を定匏化し実数の䜓系を補完し新しい数の䜓系を生み出した事䟋は既に *耇数* 、存圚しおいたすが、
そうしたなかには、1. を是ずした䜓系も、1. を是ずした䜓系も、ずもにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、ずいう問いは存圚せず、「かくかくしかじかの手法で数の䜓系を構築したら、こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねお申し䞊げたすが、暙準的なモデルでの䞊での実数䜓を前提ずしおいる、倧抂の数孊掲瀺板では、.  が真です。
これが停だずいいはじめるず、おそらく䌚話がうたくいきたせん。

「だったら新しい䜓系を建蚭しおもっおきおね、数孊基瀎論の蚀葉で各皮の述語を定矩しお、公理・定理の連鎖でもっお、実数䜓の拡匵をしおみおくださいね」ずしか、反応できたせんよね。

※たしか、ロビン゜ン流の超準解析でも、.  だった気がしたすが、䞍勉匷の私ですから眉唟ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

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