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スレッドNo.824

二項定理の䞍思議

二項定理は、
(a+b)^n=nC0 a^n b^0+nC1 a^(n-1) b^1+nC2 a^(n-2) b^2+nC3 a^(n-3) b^3+・・・・+nC(n-1) a^(n-(n-1)) b^(n-1)+nCn a^(n-n) b^n---(1)
で、
    n
(a+b)^n=Σ{nCi a^(n-i) b^i}----(2)
    i=0
ずも曞けたす。
では、
(1+1)^n=nC0 1^n 1^0+nC1 1^(n-1) 1^1+nC2 1^(n-2) 1^2+nC3 1^(n-3) 1^3+・・・・+nC(n-1) 1^(n-(n-1)) 1^(n-1)+nCn 1^(n-n) 1^n
2^n=nC0+nC1+nC2+nC3+・・・+nC(n-1)+nCn----(3)
ずいう有名な公匏にもたどり着けたす。
たた、
(a+b)^n=nC0 a^n b^0+nC1 a^(n-1) b^1+nC2 a^(n-2) b^2+nC3 a^(n-3) b^3+・・・・+nC(n-1) a^(n-(n-1)) b^(n-1)+nCn a^(n-n) b^n
(a+b)^n=a^n +nC1 a^(n-1) b^1+nC2 a^(n-2) b^2+nC3 a^(n-3) b^3+・・・・+nC(n-1) a b^(n-1)+b^n----(4)
(a+b)^n=a{a^(n-1)n +nC1 a^(n-2) b^1+nC2 a^(n-3) b^2+nC3 a^(n-4) b^3+・・・・+nCn-1) b^(n-1)}+b^n
(a+b)^n=aA+b^n ----(5)
ただし、A=a^(n-1)n +nC1 a^(n-2) b^1+nC2 a^(n-3) b^2+nC3 a^(n-4) b^3+・・・・+nCn-1) b^(n-1)
(a+b)^nは、(5)匏ずも曞けたす。

二進小数の10進小数化の問題

そこで、二進小数の10進小数化を考えおみたしょう。1/2=0.5、1/2^2=1/4=0.25、1/8=0.125、1/16=0.0625・・・1/256=0.00390625
ず末尟が、必ず5になるのです。蚌明しおみたしょう。
1/(2^n)=1/(2^n) 10^n/10^n=1/(2^n) (2^n・5^n)/10^n=5^n/10^n=5(4+1)^(n-1)/10^n
ここで、二項定理の(5)匏より、(4+1)^(n-1)=4A+1
5(4+1)^(n-1)/10^n=5(4A+1)/10^n=(20A+5)/10^n=20A/10^n+5/10^n=2A/10^(n-1)+5/10^n
ここで、2Aは自然数なので、5/10^nより、䞊䜍の小数です。
したがっお、末尟は5になりたす。[蚌明終わり]

䞀般に2進小数は
n
Σ{ai(1/2^i)} ただし、aiは0か1
i=0
なので、すべおの2進小数の10進小数化は末尟は5になりたす。

これより、二進小数では10進小数の1/5=0.2は衚せないこずになりたすね。0.24も0.23も0.22も0.21も衚せたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

α^n=nB+αの導出
(4)匏より、
  (1+1)^n=1^n +nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
  (2+1)^n=2^n +nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
  (3+1)^n=3^n +nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
  (4+1)^n=4^n +nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
  (5+1)^n=5^n +nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
                    ・
  (r+1)^n=r^n +nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
                    ・
+) (a+1)^n=a^n +nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
は、
  (1+1)^n-1^n= nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
  (2+1)^n-2^n= nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
  (3+1)^n-3^n= nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
  (4+1)^n-4^n= nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
  (5+1)^n-5^n= nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
                    ・
  (r+1)^n-r^n= nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
                    ・
+) (a+1)^n-a^n= nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
---------------------------------------------------------------------------------
  (a+1)^n-1^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a
  (a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
ずころで、nが奇玠数ならばnCsはnの倍数であるから
(a+1)^n=nB+a+1---(6)
ただし、nB=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}

さお、(6)匏で、α=a+1ずおくず、
α^n=nB+α----(7)
α^n-α=nB
α{α^(n-1)-1}=nB
より、nBは、n,αの倍数でもある。
したがっお、
α{α^(n-1)-1}=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
なお、
①=1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+・・・・・+(a-1)^(n-1)+a^(n-1)
②=1^(n-2)+2^(n-2)+3^(n-2)+・・・・・+(a-1)^(n-2)+a^(n-2)
③=1^(n-3)+2^(n-3)+3^(n-3)+・・・・・+(a-1)^(n-3)+a^(n-3)
④=1^(n-4)+2^(n-4)+3^(n-4)+・・・・・+(a-1)^(n-4)+a^(n-4)
             ・
n-2番目=1^2+2^2+3^2+・・・・・+(a-1)^2+a^2
n-1番目=1+2+3+・・・・・+(a-1)+a

フェルマヌの最終定理

a,b,cが互いに玠な自然数であり、nが奇玠数であるならば、
a^n+b^n=c^nずするず、(7)匏より、
nX+a+nY+b=nZ+c
n(X+Y-Z)=c-a-b
X+Y-Z=c/n-a/n-b/n
ここで、a,b,cが互いに玠な自然数であるから、a,b,cは同時にnの倍数でない。
したがっお、巊蟺は自然数なのに、右蟺は自然数でない。
しかし、c=kn+j、a=ln+j、b=mnずするず、c/n=k+j/n,a/n=l+j/n,b/n=mで右蟺は自然数になるかもしれない。
そこで、a,b,cが互いに玠な自然数であり、nは奇玠数から、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
よりありえない。
ゆえに、フェルマヌの最終定理が蚌明された。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前ずは打っお倉わっおちゃんず論理を曞いおくださるようになり、ちゃんず数孊的議論をするに倀する蚘述になっおいたすね。

> nは奇玠数から、
> c (mod n)≠b (mod n)
> c (mod n)≠a (mod n)
> a (mod n)≠b (mod n)
> よりありえない。

これは「右蟺が自然数になるこずが」ありえないの意味だず解釈したしたが、ここに 2 ぀ツッコミどころがありたすね。

たず 1 ぀、4≡11 (mod7) のように、互いに玠でも奇玠数を法ずしお合同になる堎合はあり埗たす。
もう 1 ぀、そもそも別に a, b, c が合同でなくおも 10/7 - 2/7 - 1/7 = 1 のように 3 ぀の分数の和や差が敎数になるこずはあり埗たす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんにちは。

フェルマヌの最終定理
は、
α^n=nB+αの導出
の応甚䟋ずしお、䜜ったものですが、詰めが甘かったようですね。

互いに玠な自然数a,b,c
ずいうのをやめお、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
ずするずしたら、良かったかな

でも、
a=jn+gずしおa (mod n)≡g
b=kn+hずしおb(mod n)≡h
c=ln+iずしお c(mod n)≡i
ずしおもc/n-a/n-b/nで、i-g-h=0はありえたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月08日 16:12)

フェルマヌの最終定理は「どんな a, b, c でも」その等匏が成立しないずいうものです。
自分で勝手に条件を足した a, b, c で議論を始めおしたったらそれはもう最終定理ずは別の話になっおしたいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ずころで、nが奇玠数ならばnCsはnの倍数であるから
α^n=nB+α----(7)

α^nαnB この右蟺がで割り切れるので巊蟺もで割り切れる。
∎α^nα≡mod ここで、αずを互いに玠ずするず、䞡蟺をαで割れる。
∎α^(n-1)≡mod 
∎α^(n-1)≡mod ただし、は玠数でαずは互いに玠
https://manabitimes.jp/math/680

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、こんばんは。

なるほど、フェルマヌの小定理ですね。気づきたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌの小定理ずいえば、゜フィヌ・ゞェルマンのフェルマヌの最終定理ぞの業瞟ですよね。違ったかな

私ず壊れた扉さんも同じような手法でフェルマヌの最終定理を蚌明しおいたす。
フェルマヌの最終定理の制限 a + b  c が 玠数である付きの䞀般の n の堎合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

さらにすすめお、
フェルマヌの最終定理の制限 a + b  c が n の倍数でない付きの䞀般の n の堎合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-2.pdf

ずやりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌの小定理ずいえば、゜フィヌ・ゞェルマンのフェルマヌの最終定理ぞの業瞟ですよね。違ったかな

倩才フェルマヌ
「フェルマヌはいく぀かの実隓的な芳察から䞀般的に成り立぀呜題を芋぀ける倩才で、倧小様々な呜題を残したした。䟋えば、自然数の乗からを匕きたす。するず、
^2×(^2^2×
^2×^2^2×
^2×^2
などずなりたす。元の定数がの倍数ならば、その乗からを匕けばの倍数でなくなるのは圓たり前ですので、 内に入れたした。そうでないずきには、^2はの倍数になっおいるようですね。自然数を乗しおを匕くずどうなるでしょう。
^4×^4×
^4×^4
^4×^4×
^4×^4×
ずなっお、元の数がの倍数でなければ、^4はの倍数になっおいるようです。フェルマヌにずっおは、これは次のように䞀般化するのはたやすい仕事でした

 が玠数ず互いに玠ならば、^(p-1)はで割り切れる

これが数論における最も基本的な定理、フェルマヌの小定理です。蚘号では^(p-1)≡mod ず曞きたす。ずおも矎しい定理ですね。」
「数孊の花束」䞭村滋著より

因みに、蚌明をしたのはラむプニッツだそうです。りィキペディアには通りの蚌明法が茉っおいたすが、䜜り出したのは初めお芋たした。是非、ファむルにでもしお残しお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、おはようございたす。

ありがずうございたす。

早速、PDFにしたした。

フェルマヌの小定理の蚌明
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前もそうだったのですが、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf で怜玢しおも蟿り着きたせんでした。倚分、私のパ゜コンがおかしいず思うのですが。

因みに、グヌグル怜玢では、

https://www.google.com/search?q=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&hl=ja&ei=phkyZP7OAdu02roPrfCbsAg&ved=0ahUKEwj-ufa-15v-AhVbmlYBHS34BoYQ4dUDCA8&oq=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQDEoECEEYAFAAWABgAGgAcAB4AIABAIgBAJIBAJgBAA&sclient=gws-wiz-serp

ダフヌ怜玢では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

ずいう画面です。私には芋られたせんが、倧切に保管しお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY さんはなぜ URL を怜玢しようず思ったんだろう  。

URL が䜕なのかわかっおないのかずも思いたしたが、その割には Google 怜玢の結果画面を自分で URL 曞いおたすし。
うヌん

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

で、PDF 読たせおいただきたした。
きちんず蚌明できおいるず思いたす。
Wikipedia の蚌明 (2) ず同様のものですが、あちらはかなり省略した曞き方をしおいるのに察しお、はちべえさんはかなり䞁寧に進めおいらっしゃいたすね。

现かい点ですが、改善点を 1 ぀。
2 ペヌゞ目埌半から 3 ペヌゞ目前半にかけお a = 6 での䟋瀺をしおいるあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + 

 + 5^(n-1)
みたいになっおいたすが、4 の次が 5 なので、この「  」は䞍芁かなず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さん、こんにちは。私は以前「通りすがり」ずいうハンドルネヌムを䜿っおいたものですが。

KY さんはなぜ URL を怜玢しようず思ったんだろう  。

もしかしお、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf をクリック出来るようになっおいるのでしょうか。

私のパ゜コンではクリック出来ないので、コピペしお怜玢したのですが、蟿り着きたせんでした。

Wikipedia の蚌明 (2) ず同様のものですが、あちらはかなり省略した曞き方をしおいるのに察しお、はちべえさんはかなり䞁寧に進めおいらっしゃいたすね。

蚀われお芋盎しおみたしたら、確かに理論的には同じですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ああ、なるほど、䜕で詰たっおるかわかりたした。

そもそも web ブラりザっお「URL を指定しお web サむトを閲芧するツヌル」です。
リンクをクリックしたりブックマヌクで移動したりするのは、 単に URL を指定する手間を省いおくれるだけで、「本来通り自分で盎接 URL を指定しおもサむトを閲芧できる」んですよ。
手入力が面倒なら最初や最埌の文字が欠萜したり䜙蚈な文字が入ったりしないように泚意しながらコピヌペヌストで倧䞈倫です。



 っおこずで圓たっおたすか

メッセヌゞ䞭の URL を自動でリンクにする機胜が無効になっおいるのは、おそらくスパムずかの察策ですかね。
普通のナヌザヌが自動でリンクしおほしいず思ったずきは、メッセヌゞ欄じゃなく URL 欄にその URL を曞けばいいわけですし。
はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりたせんが

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、こんにちは。

ダフヌ怜玢では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

ずなりたすが、このhttps://・・・・・ず衚瀺されおいるずころに、
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf
を匵り付けるのです。぀たり、コピヌペヌストするのです。

今この画面を芋おいるずきは、
(http://)shochandas.xsrv.jp(/ ( )で囲たれおいる郚分は衚瀺されたせん。
ず衚瀺されおいる行です。ここに、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをコピヌペヌストしたす。

その画面から戻っおくるには、「←巊矢印」をクリックするずこの画面に戻れたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月09日 13:47)

パ゜コン玠人な者ですみたせん。

手入力が面倒なら最初や最埌の文字が欠萜したり䜙蚈な文字が入ったりしないように泚意しながらコピヌペヌストで倧䞈倫です。

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをそのたたコピヌペヌストしおグヌグル怜玢しおもダフヌ怜玢しおもこのURLに行けないんです。普通は、い぀も䞀番䞊に出るのですが、うんざりはちべえさんの䟋えば、

フェルマヌの最終定理の制限 a + b  c が 玠数である付きの䞀般の n の堎合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

でグヌグル怜玢するず䞀番䞊に「奇数の完党数はない」が出たす。これです。http://y-daisan.private.coocan.jp/html/kanzensu.pdf

メッセヌゞ䞭の URL を自動でリンクにする機胜が無効になっおいるのは、おそらくスパムずかの察策ですかね。
普通のナヌザヌが自動でリンクしおほしいず思ったずきは、メッセヌゞ欄じゃなく URL 欄にその URL を曞けばいいわけですし。
はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりたせんが

これをしお頂ければ蟿り着けるず思いたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

URLを蚘入したした。これでどうでしょう

緑色の「うんざりはちべえ」をクリックしおください。

そういう機胜を䜿っおなかったもんで。おっきり、自分のホヌムペヌゞを貌るもんだず思っおいたした。

ただ、気になるこずがありたす。TexでPDFを぀くるず、フォントが埋め蟌たれないので、Windowsでは、日本語の文字が倉な文字に割り振られるこずがありたす。

アクロバットリヌダヌをむンストヌルしおおけば、問題ないのですが。

もちろん、アクロバットリヌダヌは、無料です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月09日 15:19)

うんざりはちべえさん、ありがずうございたす。無事、蟿り着きたした。

DD++さんの指摘の、

现かい点ですが、改善点を 1 ぀。
2 ペヌゞ目埌半から 3 ペヌゞ目前半にかけお a = 6 での䟋瀺をしおいるあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + 

 + 5^(n-1)
みたいになっおいたすが、4 の次が 5 なので、この「  」は䞍芁かなず思いたす。

これは盎されたのでしょうか。倧䞈倫みたいですが。

Wikipedia の蚌明 (2) ず同様のものですが、あちらはかなり省略した曞き方をしおいるのに察しお、はちべえさんはかなり䞁寧に進めおいらっしゃいたすね。

^p[()]^p
  ≡^p[()]^p
  ≡^p[()]^p
  ≡mod 

こちらの方こそ・・・を入れた方が良いず思いたす。

因みに、これを芋おうんざりはちべえさんの解法を䜜れる人はいたせんね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いや、だからなぜ怜玢欄に打ち蟌むのか  。
怜玢欄は「これに関係する情報がある堎所を教えおください」です。
「この堎所に連れお行っおください」ではありたせんし、そんな機胜は Google にも Yahoo にもありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ようやく意味が分かりたした。盎接䞊の鍵印の所にコピペすれば良かったのですね。

お隒がせしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

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