😊出会いの泉😊

２）α^n=nB+αの導出
(4)式より、
　　(1+1)^n=1^n +nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
　　(2+1)^n=2^n +nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
　　(3+1)^n=3^n +nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
　　(4+1)^n=4^n +nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
　　(5+1)^n=5^n +nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　(r+1)^n=r^n +nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
+)　(a+1)^n=a^n +nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
は、
　　(1+1)^n-1^n= nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
　　(2+1)^n-2^n= nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
　　(3+1)^n-3^n= nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
　　(4+1)^n-4^n= nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
　　(5+1)^n-5^n= nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　(r+1)^n-r^n= nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
+)　(a+1)^n-a^n= nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
---------------------------------------------------------------------------------
　　(a+1)^n-1^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a
　　(a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
ところで、nが奇素数ならばnCsはnの倍数であるから
(a+1)^n=nB+a+1---(6)
ただし、nB=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}

さて、(6)式で、α=a+1とおくと、
α^n=nB+α----(7)
α^n-α=nB
α{α^(n-1)-1}=nB
より、nBは、n,αの倍数でもある。
したがって、
α{α^(n-1)-1}=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
なお、
①=1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+・・・・・+(a-1)^(n-1)+a^(n-1)
②=1^(n-2)+2^(n-2)+3^(n-2)+・・・・・+(a-1)^(n-2)+a^(n-2)
③=1^(n-3)+2^(n-3)+3^(n-3)+・・・・・+(a-1)^(n-3)+a^(n-3)
④=1^(n-4)+2^(n-4)+3^(n-4)+・・・・・+(a-1)^(n-4)+a^(n-4)
　　　　　　　　　　　　　・
n-2番目=1^2+2^2+3^2+・・・・・+(a-1)^2+a^2
n-1番目=1+2+3+・・・・・+(a-1)+a

３）フェルマーの最終定理

a,b,cが互いに素な自然数であり、nが奇素数であるならば、
a^n+b^n=c^nとすると、(7)式より、
nX+a+nY+b=nZ+c
n(X+Y-Z)=c-a-b
X+Y-Z=c/n-a/n-b/n
ここで、a,b,cが互いに素な自然数であるから、a,b,cは同時にnの倍数でない。
したがって、左辺は自然数なのに、右辺は自然数でない。
しかし、c=kn+j、a=ln+j、b=mnとすると、c/n=k+j/n,a/n=l+j/n,b/n=mで右辺は自然数になるかもしれない。
そこで、a,b,cが互いに素な自然数であり、nは奇素数から、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
よりありえない。
ゆえに、フェルマーの最終定理が証明された。

以前とは打って変わってちゃんと論理を書いてくださるようになり、ちゃんと数学的議論をするに値する記述になっていますね。

> nは奇素数から、
> c (mod n)≠b (mod n)
> c (mod n)≠a (mod n)
> a (mod n)≠b (mod n)
> よりありえない。

これは「右辺が自然数になることが」ありえないの意味だと解釈しましたが、ここに 2 つツッコミどころがありますね。

まず 1 つ、4≡11 (mod7) のように、互いに素でも奇素数を法として合同になる場合はあり得ます。
もう 1 つ、そもそも別に a, b, c が合同でなくても 10/7 - 2/7 - 1/7 = 1 のように 3 つの分数の和や差が整数になることはあり得ます。

DD++様、こんにちは。

３）フェルマーの最終定理
は、
２）α^n=nB+αの導出
の応用例として、作ったものですが、詰めが甘かったようですね。

互いに素な自然数a,b,c
というのをやめて、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
とするとしたら、良かったかな？

でも、
a=jn+gとしてa (mod n)≡g
b=kn+hとしてb(mod n)≡h
c=ln+iとして c(mod n)≡i
としてもc/n-a/n-b/nで、i-g-h=0はありえますね。

フェルマーの最終定理は「どんな a, b, c でも」その等式が成立しないというものです。
自分で勝手に条件を足した a, b, c で議論を始めてしまったらそれはもう最終定理とは別の話になってしまいます。

＞ところで、nが奇素数ならばnCsはnの倍数であるから
＞α^n=nB+α----(7)

α^n－α＝nB　この右辺がｎで割り切れるので左辺もｎで割り切れる。
∴α^n－α≡０（mod ｎ）ここで、αとｎを互いに素とすると、両辺をαで割れる。
∴α^(n-1)－１≡０（mod ｎ）
∴α^(n-1)≡１（mod ｎ）ただし、ｎは素数でαとｎは互いに素
https://manabitimes.jp/math/680

KY様、こんばんは。

なるほど、フェルマーの小定理ですね。気づきませんでした。

フェルマーの小定理といえば、ソフィー・ジェルマンのフェルマーの最終定理への業績ですよね。違ったかな？

私と壊れた扉さんも同じような手法でフェルマーの最終定理を証明しています。
フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が 素数である）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

さらにすすめて、
フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が n の倍数でない）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-2.pdf

とやりました。

＞フェルマーの小定理といえば、ソフィー・ジェルマンのフェルマーの最終定理への業績ですよね。違ったかな？

天才フェルマー
「フェルマーはいくつかの実験的な観察から一般的に成り立つ命題を見つける天才で、大小様々な命題を残しました。例えば、自然数の２乗から１を引きます。すると、
２^2－１＝３＝３×１，(３^2－１＝８），４^2－１＝１５＝３×５，
５^2－１＝２４＝３×８，（６^2－１＝３５），７^2－１＝４８＝３×１６，
８^2－１＝６３＝３×２１，（９^2－１＝８０）
などとなります。元の定数ａが３の倍数ならば、その２乗から１を引けば３の倍数でなくなるのは当たり前ですので、（　）内に入れました。そうでないときには、ａ^2－１は３の倍数になっているようですね。自然数を４乗して１を引くとどうなるでしょう。
２^4－１＝１５＝５×３，３^4－１＝８０＝５×１６，
４^4－１＝２５５＝５×５１，（５^4－１＝６２４），
６^4－１＝１２９５＝５×２５９，７^4－１＝２４００＝５×４８０，
８^4－１＝４０９５＝５×８１９，９^4－１＝６５６０＝５×１３１２
となって、元の数ａが５の倍数でなければ、ａ^4－１は５の倍数になっているようです。フェルマーにとっては、これは次のように一般化するのはたやすい仕事でした：

　ａが素数ｐと互いに素ならば、ａ^(p-1)－１はｐで割り切れる

これが数論における最も基本的な定理、フェルマーの小定理です。記号ではａ^(p-1)≡１（mod ｐ）と書きます。とても美しい定理ですね。」
「数学の花束」中村滋著より

因みに、証明をしたのはライプニッツだそうです。ウィキペディアには３通りの証明法が載っていますが、作り出したのは初めて見ました。是非、ＰＤＦファイルにでもして残して下さい。

KY様、おはようございます。

ありがとうございます。

早速、PDFにしました。

フェルマーの小定理の証明
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf

以前もそうだったのですが、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf　で検索しても辿り着きませんでした。（多分、私のパソコンがおかしいと思うのですが。）

因みに、グーグル検索では、

https://www.google.com/search?q=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&hl=ja&ei=phkyZP7OAdu02roPrfCbsAg&ved=0ahUKEwj-ufa-15v-AhVbmlYBHS34BoYQ4dUDCA8&oq=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQDEoECEEYAFAAWABgAGgAcAB4AIABAIgBAJIBAJgBAA&sclient=gws-wiz-serp

ヤフー検索では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

という画面です。私には見られませんが、大切に保管して下さい。

KY さんはなぜ URL を検索しようと思ったんだろう……。

URL が何なのかわかってないのかとも思いましたが、その割には Google 検索の結果画面を自分で URL 書いてますし。
うーん？？

で、PDF 読ませていただきました。
きちんと証明できていると思います。
Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

細かい点ですが、改善点を 1 つ。
2 ページ目後半から 3 ページ目前半にかけて a = 6 での例示をしているあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + …… + 5^(n-1)
みたいになっていますが、4 の次が 5 なので、この「……」は不要かなと思います。

DD++さん、こんにちは。私は以前「通りすがり」というハンドルネームを使っていたものですが。

＞KY さんはなぜ URL を検索しようと思ったんだろう……。

もしかして、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf　をクリック出来るようになっているのでしょうか。

私のパソコンではクリック出来ないので、コピペして検索したのですが、辿り着きませんでした。

＞Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

言われて見直してみましたら、確かに理論的には同じですね。

ああ、なるほど、何で詰まってるかわかりました。

そもそも web ブラウザって「URL を指定して web サイトを閲覧するツール」です。
リンクをクリックしたりブックマークで移動したりするのは、 単に URL を指定する手間を省いてくれるだけで、「本来通り自分で直接 URL を指定してもサイトを閲覧できる」んですよ。
手入力が面倒なら最初や最後の文字が欠落したり余計な文字が入ったりしないように注意しながらコピーペーストで大丈夫です。

…… ってことで当たってますか？

メッセージ中の URL を自動でリンクにする機能が無効になっているのは、おそらくスパムとかの対策ですかね。
普通のユーザーが自動でリンクしてほしいと思ったときは、メッセージ欄じゃなく URL 欄にその URL を書けばいいわけですし。
（はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりませんが）

KY様、こんにちは。

＞ヤフー検索では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

となりますが、このhttps://・・・・・と表示されているところに、
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf
を張り付けるのです。つまり、コピーペーストするのです。

今この画面を見ているときは、
(http://)shochandas.xsrv.jp(/）　(　)で囲まれている部分は表示されません。
と表示されている行です。ここに、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをコピーペーストします。

その画面から戻ってくるには、「←（左矢印）」をクリックするとこの画面に戻れます。

パソコン素人な者ですみません。

＞手入力が面倒なら最初や最後の文字が欠落したり余計な文字が入ったりしないように注意しながらコピーペーストで大丈夫です。

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをそのままコピーペーストしてグーグル検索してもヤフー検索してもこのURLに行けないんです。普通は、いつも一番上に出るのですが、うんざりはちべえさんの例えば、

フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が 素数である）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

で（グーグル）検索すると一番上に「奇数の完全数はない」が出ます。これです。http://y-daisan.private.coocan.jp/html/kanzensu.pdf

＞メッセージ中の URL を自動でリンクにする機能が無効になっているのは、おそらくスパムとかの対策ですかね。
普通のユーザーが自動でリンクしてほしいと思ったときは、メッセージ欄じゃなく URL 欄にその URL を書けばいいわけですし。
（はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりませんが）

これをして頂ければ辿り着けると思いますが。

URLを記入しました。これでどうでしょう？

緑色の「うんざりはちべえ」をクリックしてください。

そういう機能を使ってなかったもんで。てっきり、自分のホームページを貼るもんだと思っていました。

ただ、気になることがあります。TexでPDFをつくると、フォントが埋め込まれないので、Windowsでは、日本語の文字が変な文字に割り振られることがあります。

アクロバットリーダーをインストールしておけば、問題ないのですが。

もちろん、アクロバットリーダーは、無料です。

うんざりはちべえさん、ありがとうございます。無事、辿り着きました。

DD++さんの指摘の、

＞細かい点ですが、改善点を 1 つ。
2 ページ目後半から 3 ページ目前半にかけて a = 6 での例示をしているあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + …… + 5^(n-1)
みたいになっていますが、4 の次が 5 なので、この「……」は不要かなと思います。

これは直されたのでしょうか。大丈夫みたいですが。

＞Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

ａ^p＝[１＋(ａ－１)]^p
　　≡１^p＋[１＋(ａ－２)]^p
　　≡１＋１^p＋[１＋(ａ－３)]^p
　　≡ａ（mod ｐ）

こちらの方こそ・・・を入れた方が良いと思います。

因みに、これを見てうんざりはちべえさんの解法を作れる人はいませんね。

いや、だからなぜ検索欄に打ち込むのか……。
検索欄は「これに関係する情報がある場所を教えてください」です。
「この場所に連れて行ってください」ではありませんし、そんな機能は Google にも Yahoo にもありません。

ようやく意味が分かりました。直接上の鍵印の所にコピペすれば良かったのですね。

お騒がせしました。