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スレッドNo.442

解の個数

x^3+y^3=z^3 整数解の個数 0個
x^2+y^2=z^2 整数解の個数 無限
n=1,2,3…有限個を持つなど
方程式を、教えてください。

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(x,y,z)=(0,0,0)
の解がありますので、1個ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

x^3+y^3=z^3には(0,t,t)という解がありますので無限個です。
他には
x^2+y^2=5^2, 0<x<y : 整数解1個
x^2+y^2=(5^2)^2, 0<x<y : 整数解2個
x^2+y^2=(5^3)^2, 0<x<y : 整数解3個
x^2+y^2=(5^4)^2, 0<x<y : 整数解4個
x^2+y^2=(5^5)^2, 0<x<y : 整数解5個
・・・
x^2+y^2=(5^n)^2, 0<x<y : 整数解n個
・・・

引用して返信編集・削除(未編集)

x^2+y^2=(5^n)^2, 0<x<y : 整数解n個
は
x^2+y^2=(5*n)^2, 0<x<y : 整数解n個
ではないでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

違います。
x^2+y^2=5^2, 0<x<y:整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=10^2, 0<x<y:整数解1個 (6,8)のみ
x^2+y^2=15^2, 0<x<y:整数解1個 (9,12)のみ
x^2+y^2=20^2, 0<x<y:整数解1個 (12,16)のみ
x^2+y^2=25^2, 0<x<y:整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=30^2, 0<x<y:整数解1個 (18,24)のみ
のようになりますので明らかに「(5*n)^2」では合いません。「(5^n)^2」ならば
x^2+y^2=5^2, 0<x<y:整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=25^2, 0<x<y:整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=125^2, 0<x<y:整数解3個 (35,120)と(44,117)と(75,100)
x^2+y^2=625^2, 0<x<y:整数解4個 (175,600)と(220,585)と(336,527)と(375,500)
のように確かに合います。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月07日 14:45)

あ~そうだ!
完全に勘違いしていた。
でもよくこんな例を思いつきますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

条件を入れると、より難しくなる印象でしたが、
一律に、求めて、すごいですね。
フェルマーの元来の問題は、自然数解は存在しないでした。
うっかりしてました。
整数解の条件だと、奇数の場合、(t、-t、0)もあり
無限個ありますね。
整数解のない式は、2*x^2+2*y=1 面白くない式ですが。
x^2+y^2=0 (0,0)一個のみ
y^3=x^2+2(5,3)(ー5,3)二個のみx、yの順
y^2=x^3 (8,4)(ー8,4)でしょうか?
y^3=x^2+1 は無し
y^2=x^3+1(2、3)(2,ー3)
一般に、解の個数は確定するのが、難しいそうなので、
知られている限りでどうでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

y^2=x^3 の解は (x,y)=(t^2,±t^3) で無限個
y^3=x^2+1 の解は (x,y)=(0,1)
y^2=x^3+1 の解は (x,y)=(-1,0),(0,±1),(2,±3)

引用して返信編集・削除(未編集)

ちなみに
x^2+y^2=(5^n)^2, 0<x<y : 整数解n個
の「5」は4n+1型の素数(5,13,17,29,37,…)なら何でもOKだと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
解4個の場合 x^2+y^2=1 (±1,0)(0,±1)
解8個の場合 x^2+y^2=25 (±3,±4)(±4、±3)

xの一文字だけで、
(x-1)(x-2)…(x-n)=0

引用して返信編集・削除(未編集)

整数解 3個 の場合
y^2=x^3-x (ー1,0)(0,0)(1,0)
整数解 6個 場合
y(y-1)=x^3ーx
(ー1,0)(0,0)(1,0)
(ー1,1)(0,1)(1,1)

引用して返信編集・削除(未編集)

y(y-1)=x^3-xの解は他にもありますので6個ではありません。
(x,y)=(2,3),(2,-2),(6,15),(6,-14)

引用して返信編集・削除(未編集)

右辺の値が、6になる場合、直ぐに気づかれたみたいですね。
これだと、10個の解ということになりますが?
6,7,9個に挑戦します。

引用して返信編集・削除(未編集)

> これだと、10個の解ということになりますが?
そうですね。でもその10個以外に解がないかどうかはわかりません。

引用して返信編集・削除(未編集)

6個の整数解を持つ方程式
(y(y-1))^2=x(x-1)(x+1)
(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)
(ー1,0)(ー1,1)

引用して返信編集・削除(未編集)

x^2+y^2=(5^n)^2,0<x<yの整数解はn個ですが、
変数の大小関係の条件がない2変数の方程式で
整数解が任意の個数になるものを考えると、
(4x+1)^2+y^2=25^n の整数解は 2n+1個(n≧0)
4x^2+y^2=5^n の整数解は 2n+2個(n≧0)
のような例があり、任意の自然数nに対して
整数解がn個である2変数方程式が存在することがわかります。

解の具体値
解1個: (4x+1)^2+y^2=25^0
(0,0)
解2個: 4x^2+y^2=5^0
(0,±1)
解3個: (4x+1)^2+y^2=25^1
(-1,±4),(1,0)
解4個: 4x^2+y^2=5^1
(±1,±1)
解5個: (4x+1)^2+y^2=25^2
(-4,±20),(-2,±24),(6,0)
解6個: 4x^2+y^2=5^2
(0,±5),(±2,±3)
解7個: (4x+1)^2+y^2=25^3
(-19,±100),(-9,±120),(29,±44),(31,0)
解8個: 4x^2+y^2=5^3
(±1,±11),(±5,±5)
解9個: (4x+1)^2+y^2=25^4
(-132,±336),(-94,±500),(-44,±600),(146,±220),(156,0)
解10個: 4x^2+y^2=5^4
(0,±25),(±10,±15),(±12,±7)
解11個: (4x+1)^2+y^2=25^5
(-659,±1680),(-469,±2500),(-219,±3000),(59,±3116),(731,±1100),(781,0)
解12個: 4x^2+y^2=5^5
(±5,±55),(±19,±41),(±25,±25)
解13個: (4x+1)^2+y^2=25^6
(-3294,±8400),(-2344,±12500),(-1094,±15000),(296,±15580),(2938,±10296),(3656,±5500),(3906,0)
解14個: 4x^2+y^2=5^6
(0,±125),(±22,±117),(±50,±75),(±60,±35)
解15個: (4x+1)^2+y^2=25^7
(-19111,±16124),(-16469,±42000),(-11719,±62500),(-5469,±75000),(1481,±77900),
(14691,±51480),(18281,±27500),(19531,0)
解16個: 4x^2+y^2=5^7
(±25,±275),(±95,±205),(±125,±125),(±139,±29)
解17個: (4x+1)^2+y^2=25^8
(-95554,±80620),(-82344,±210000),(-58594,±312500),(-27344,±375000),(7406,±389500),
(41208,±354144),(73456,±257400),(91406,±137500),(97656,0)
解18個: 4x^2+y^2=5^8
(0,±625),(±110,±585),(±168,±527),(±250,±375),(±300,±175)
解19個: (4x+1)^2+y^2=25^9
(-477769,±403100),(-411719,±1050000),(-292969,±1562500),(-136719,±1875000),(37031,±1947500),
(206041,±1770720),(230519,±1721764),(367281,±1287000),(457031,±687500),(488281,0)
解20個: 4x^2+y^2=5^9
(±125,±1375),(±359,±1199),(±475,±1025),(±625,±625),(±695,±145)

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月13日 12:03)

圧倒的な計算力ですね。
y^2=(x+1)(x+2)…(x+n)
(ー1,0)(ー2,0)…(ーn、0)
右辺に、一つでも、素数があれば、その最大値をPとし、
2P<N、ではない。なぜなら、P<2Pの間に、新たな素数が
必ず存在し、最大に反するからです。そうするとPについて、
平方でなくなり、右辺が平方数になるときは、0のときです。
素数がないとき、例えば
N!+2,…N!+N のときは、分かりません。
ので、他に、解があるかも知れませんが。

引用して返信編集・削除(未編集)

> N!+2,…N!+N のときは、分かりません。
> ので、他に、解があるかも知れませんが。

エルデシュ・セルフリッジの定理により
「連続する2つ以上の自然数の積は累乗数にならない」
とのことですので、0以外の解はないようです。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさんありがとうございます。
先人の肩に乗せて貰いました。難儀するところでした。
yは、平方、累乗でもいいんですね!

引用して返信編集・削除(未編集)

追伸、そういえば
自然数の連続数の和も、2の巾乗で表せないこと、
興味深い⁉️

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月15日 00:33)

逆に、2のべき乗でなければ、連続数の和で、表すことが可能。
一意的では、ないのが、残念ですが。素数は、一意的なのかな?

引用して返信編集・削除(未編集)

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