😊出会いの泉😊

(x,y,z)=(0,0,0)
の解がありますので、1個ですね。

x^3+y^3=z^3には(0,t,t)という解がありますので無限個です。
他には
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y : 整数解1個
x^2+y^2=(5^2)^2, 0＜x＜y : 整数解2個
x^2+y^2=(5^3)^2, 0＜x＜y : 整数解3個
x^2+y^2=(5^4)^2, 0＜x＜y : 整数解4個
x^2+y^2=(5^5)^2, 0＜x＜y : 整数解5個
・・・
x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
・・・

x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
は
x^2+y^2=(5*n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
ではないでしょうか？

違います。
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y：整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=10^2, 0＜x＜y：整数解1個 (6,8)のみ
x^2+y^2=15^2, 0＜x＜y：整数解1個 (9,12)のみ
x^2+y^2=20^2, 0＜x＜y：整数解1個 (12,16)のみ
x^2+y^2=25^2, 0＜x＜y：整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=30^2, 0＜x＜y：整数解1個 (18,24)のみ
のようになりますので明らかに「(5*n)^2」では合いません。「(5^n)^2」ならば
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y：整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=25^2, 0＜x＜y：整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=125^2, 0＜x＜y：整数解3個 (35,120)と(44,117)と(75,100)
x^2+y^2=625^2, 0＜x＜y：整数解4個 (175,600)と(220,585)と(336,527)と(375,500)
のように確かに合います。

あ～そうだ！
完全に勘違いしていた。
でもよくこんな例を思いつきますね。

条件を入れると、より難しくなる印象でしたが、
一律に、求めて、すごいですね。
フェルマーの元来の問題は、自然数解は存在しないでした。
うっかりしてました。
整数解の条件だと、奇数の場合、（ｔ、－ｔ、０）もあり
無限個ありますね。
整数解のない式は、２＊ｘ＾２＋２＊ｙ＝１　面白くない式ですが。
ｘ＾２＋ｙ＾２＝０　（０，０）一個のみ
ｙ＾３＝ｘ＾２＋２（５，３）（ー５，３）二個のみｘ、ｙの順
ｙ＾２＝ｘ＾３　（８，４）（ー８，４）でしょうか？
ｙ＾３＝ｘ＾２＋１　は無し
ｙ＾２＝ｘ＾３＋１（2、３）（２，ー３）
一般に、解の個数は確定するのが、難しいそうなので、
知られている限りでどうでしょうか？

y^2=x^3 の解は (x,y)=(t^2,±t^3) で無限個
y^3=x^2+1 の解は (x,y)=(0,1)
y^2=x^3+1 の解は (x,y)=(-1,0),(0,±1),(2,±3)

ちなみに
x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
の「5」は4n+1型の素数(5,13,17,29,37,…)なら何でもOKだと思います。

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
解4個の場合　ｘ＾２＋ｙ＾2＝１　（±1，0）（0，±１）
解８個の場合　ｘ＾２＋ｙ＾２＝２５　（±３，±４）（±４、±３）

ｘの一文字だけで、
（ｘ－１）（ｘ－２）…（ｘ－ｎ）＝０

整数解　3個　の場合
ｙ＾2＝ｘ＾3－ｘ　（ー1，0）（0，0）（1，0）
整数解　６個　場合
ｙ（ｙ－1）＝ｘ＾３ーｘ
（ー1，0）（0，0）（1，0）
（ー1，1）（0，1）（1，1）

y(y-1)=x^3-xの解は他にもありますので6個ではありません。
(x,y)=(2,3),(2,-2),(6,15),(6,-14)

右辺の値が、６になる場合、直ぐに気づかれたみたいですね。
これだと、１０個の解ということになりますが？
６，７，９個に挑戦します。

> これだと、１０個の解ということになりますが？
そうですね。でもその10個以外に解がないかどうかはわかりません。

６個の整数解を持つ方程式
（ｙ（ｙ－１））＾２＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）
（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）
（ー1，0）（ー1，1）

x^2+y^2=(5^n)^2,0＜x＜yの整数解はn個ですが、
変数の大小関係の条件がない2変数の方程式で
整数解が任意の個数になるものを考えると、
(4x+1)^2+y^2=25^n の整数解は 2n+1個（n≧0）
4x^2+y^2=5^n の整数解は 2n+2個（n≧0）
のような例があり、任意の自然数nに対して
整数解がn個である2変数方程式が存在することがわかります。

解の具体値
解1個: (4x+1)^2+y^2=25^0
(0,0)
解2個: 4x^2+y^2=5^0
(0,±1)
解3個: (4x+1)^2+y^2=25^1
(-1,±4),(1,0)
解4個: 4x^2+y^2=5^1
(±1,±1)
解5個: (4x+1)^2+y^2=25^2
(-4,±20),(-2,±24),(6,0)
解6個: 4x^2+y^2=5^2
(0,±5),(±2,±3)
解7個: (4x+1)^2+y^2=25^3
(-19,±100),(-9,±120),(29,±44),(31,0)
解8個: 4x^2+y^2=5^3
(±1,±11),(±5,±5)
解9個: (4x+1)^2+y^2=25^4
(-132,±336),(-94,±500),(-44,±600),(146,±220),(156,0)
解10個: 4x^2+y^2=5^4
(0,±25),(±10,±15),(±12,±7)
解11個: (4x+1)^2+y^2=25^5
(-659,±1680),(-469,±2500),(-219,±3000),(59,±3116),(731,±1100),(781,0)
解12個: 4x^2+y^2=5^5
(±5,±55),(±19,±41),(±25,±25)
解13個: (4x+1)^2+y^2=25^6
(-3294,±8400),(-2344,±12500),(-1094,±15000),(296,±15580),(2938,±10296),(3656,±5500),(3906,0)
解14個: 4x^2+y^2=5^6
(0,±125),(±22,±117),(±50,±75),(±60,±35)
解15個: (4x+1)^2+y^2=25^7
(-19111,±16124),(-16469,±42000),(-11719,±62500),(-5469,±75000),(1481,±77900),
(14691,±51480),(18281,±27500),(19531,0)
解16個: 4x^2+y^2=5^7
(±25,±275),(±95,±205),(±125,±125),(±139,±29)
解17個: (4x+1)^2+y^2=25^8
(-95554,±80620),(-82344,±210000),(-58594,±312500),(-27344,±375000),(7406,±389500),
(41208,±354144),(73456,±257400),(91406,±137500),(97656,0)
解18個: 4x^2+y^2=5^8
(0,±625),(±110,±585),(±168,±527),(±250,±375),(±300,±175)
解19個: (4x+1)^2+y^2=25^9
(-477769,±403100),(-411719,±1050000),(-292969,±1562500),(-136719,±1875000),(37031,±1947500),
(206041,±1770720),(230519,±1721764),(367281,±1287000),(457031,±687500),(488281,0)
解20個: 4x^2+y^2=5^9
(±125,±1375),(±359,±1199),(±475,±1025),(±625,±625),(±695,±145)

圧倒的な計算力ですね。
ｙ＾２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋ｎ）
（ー1，0）（ー2，0）…（ーｎ、0）
右辺に、一つでも、素数があれば、その最大値をPとし、
２P＜N、ではない。なぜなら、P＜２Pの間に、新たな素数が
必ず存在し、最大に反するからです。そうするとPについて、
平方でなくなり、右辺が平方数になるときは、０のときです。
素数がないとき、例えば
N!＋２，…N!＋N　のときは、分かりません。
ので、他に、解があるかも知れませんが。

> N!＋２，…N!＋N　のときは、分かりません。
> ので、他に、解があるかも知れませんが。

エルデシュ・セルフリッジの定理により
「連続する2つ以上の自然数の積は累乗数にならない」
とのことですので、0以外の解はないようです。

らすかるさんありがとうございます。
先人の肩に乗せて貰いました。難儀するところでした。
ｙは、平方、累乗でもいいんですね！

追伸、そういえば
自然数の連続数の和も、２の巾乗で表せないこと、
興味深い⁉️

逆に、２のべき乗でなければ、連続数の和で、表すことが可能。
一意的では、ないのが、残念ですが。素数は、一意的なのかな？