😊出会いの泉😊

りらひいさん、こんにちは。
簡単なやつ１つだけでもよろしいでしょうか。

（ⅰ）PD=DP' の証明
直線ｌと円との接点をＳ，直線ｌ'と円との接点をＴとすると、２点Ｅ，Ｆは線分ＳＴ上にあり、
△ＡＢＣでの中点連結定理よりＦＥ//ＢＣ　∴ＳＴ//ＢＣ
また、直線ｌとｌ'の交点をＧとすると、円と接線の関係よりＧＳ＝ＧＴ
よって、△ＧＳＴは二等辺三角形である。また、点Ｐ,Ｐ'はＢＣの延長上にあり、ＳＴ//ＢＣよりＳＴ//ＰＰ'である。
∴△ＧＳＴ∽△ＧＰＰ'　よって、△ＧＰＰ'も二等辺三角形である。
よって、ＧからＰＰ'に垂線を下ろしその足をＨとすると、ＰＨ＝ＨＰ'―――①
ところで、ＳＴ//ＢＣより四角形ＳＢＣＴは台形で円に内接する台形は等脚台形で、また、△ＧＳＴは二等辺三角形より、
点ＨはＢＣの中点である。∴Ｈ＝Ｄ―――②
②を①に代入すると、ＰＤ＝ＤＰ'
よって、示された。

補足
円に内接する台形は等脚台形である事を使わない場合は、ＢＴを結ぶと錯角より∠ＳＴＢ＝∠ＴＢＣ　∴弧ＳＢ＝弧ＴＣ
∴ＳＢ＝ＴＣ　また、ＳＴ//ＢＣより、四角形ＳＢＣＴは等脚台形である。

この命題には ∠B と ∠C が直角ではないという前提が必要な気がします。
あるいは、平行線は無限遠で交わっているとみなすと補足を入れるか。

それはそれとして、PD = DP’ については、辺 BC の垂直二等分線を引くと l と l’ がこの直線に関して対称になる、ということを考えればわりと自明な感じがしますね。

DD++さん

> この命題には ∠B と ∠C が直角ではないという前提が必要な気がします。
> あるいは、平行線は無限遠で交わっているとみなすと補足を入れるか。

確かにそうですね。失礼しました。
∠B と ∠C が直角ではないとするのがよさそうですね。

（平行線は無限遠で交わっているとみなすと補足を入れる場合は、
交点は定義されても長さが定義されないので、
問題文の最後を「PとP'がDに関して対称」のような形にするのがよいですかね？
対称の定義が無限遠点に及ぶかわからないから微妙かな？）


「三角形の内接二次曲線と共役点」スレッドに私が書き込んだ等角共役点と等距離共役点の説明も平行線となる場合が抜けていて不十分ですね。
ユークリッド平面に無限遠点の集合である無限遠直線を加えて射影平面の定義を満たすように拡張した平面で考えているとしてください。
この拡大ユークリッド平面では平行線は無限遠点で交わります。

もう一問作りました。
例のごとく、問題は作りましたが自分で解いてはいないので解答は用意していません。
（この問題の内容を含むより一般的な命題が成り立つことは確認しています。）

投稿No.1202の問題を問題その３としておきます。


問題その４
三角形ABCがあり、∠Aの二等分線と辺BCの交点をD、∠Bの二等分線と辺CAの交点をE、∠Cの二等分線と辺ABの交点をFとする。
三角形ABCの外接円と直線EFの2つの交点における外接円の接線をl,l'とする。
直線lと直線BC,CA,ABの交点をそれぞれP,Q,Rとし、
直線l'と直線BC,CA,ABの交点をそれぞれP',Q',R'とする。
このとき、 ∠PAD=∠DAP' 、 ∠QBE=∠EBQ' 、 ∠RCF=∠FCR' が成り立つことを示せ。


GeoGebraで作図してみると、どうやら ∠QBE(=∠EBQ') と ∠RCF(=∠FCR') も等しくなりそうです。
こちらは証明していないので正しいかどうかわかりません。

この問題の元ネタ（より一般的な命題）を載せておきます。
以下、ユークリッド平面に無限遠点の集合である無限遠直線を加えて射影平面の定義を満たすように拡張した平面で考えます。
この拡大ユークリッド平面では、任意の異なる2点を結ぶ直線がただ1つ存在し、任意の異なる2直線はただ1点で交わります。


前提知識その３　相反共役線
三角形ABCの各頂点を通らない直線lをとる。
直線lと直線BC,CA,ABの交点をそれぞれP,Q,Rとし、
線分BCの中点に関して点Pと対称な点をP'、
線分CAの中点に関して点Qと対称な点をQ'、
線分ABの中点に関して点Rと対称な点をR'とすると、
3点P',Q',R'は一直線上にある。
この直線を(三角形ABCに関する)直線lの相反共役線という。

前提知識その４　？？？ (角度の共役線)
三角形ABCの各頂点を通らない直線lをとる。
直線lと直線BC,CA,ABの交点をそれぞれP,Q,Rとし、
角Aの二等分線に関する直線APの鏡映が直線BCと交わる点をP'、
角Bの二等分線に関する直線BPの鏡映が直線CAと交わる点をQ'、
角Cの二等分線に関する直線CPの鏡映が直線ABと交わる点をR'とすると、
3点P',Q',R'は一直線上にある。
この直線を何というのかわたしは知りませんし、そもそも名称があるのかどうかもわかりませんので、
この投稿においてはこの直線を(三角形ABCに関する)直線lの角度の共役線と呼ぶことにします。


ことばの定義　外接二次曲線
3点A,B,Cを通る二次曲線を三角形ABCの外接二次曲線という。
※一部が三角形ABCの内部を通る双曲線も含める。

ことばの定義　antiorthic axis
三角形ABCに対して、点A,B,Cの外角の二等分線と対辺の延長線の交点をそれぞれD',E',F'とすると、この3点は一直線上にある。
この直線を三角形ABCの antiorthic axis という。
(日本語の名称はわかりません。)


問題その３の元ネタ
三角形ABCがあり、線分BCの中点をD、線分CAの中点をE、線分ABの中点をFとする。
無限遠直線と直線EF,FD,DEの中から三角形ABCの外接二次曲線Γと2点で交わる直線を選ぶ。
その直線とΓの2つの交点における接線は互いに三角形ABCに関する相反共役線である。

問題その４の元ネタ
三角形ABCがあり、点A,B,Cの内角の二等分線と対辺の交点をそれぞれD,E,Fとする。
三角形ABCの antiorthic axis と直線EF,FD,DEの中から三角形ABCの外接二次曲線Γと2点で交わる直線を選ぶ。
その直線とΓの2つの交点における接線は互いに三角形ABCに関する角度の共役線である。


元ネタの元ネタ（より一般的な命題）も載せておきます。
相反共役線や角度の共役線はさらに一般化された「直線の共役関係」のうちのひとつです。
一般化された直線に関する共役関係には、自己共役な直線を4つ持つものと1つも持たないものがあります。

元ネタの元ネタ
三角形ABCに関して、自己共役な直線を4つ持つ「直線に関する共役関係」をひとつ決める。
その4つの自己共役な直線の中から三角形ABCの外接二次曲線Γと2点で交わる直線を選ぶ。
その直線とΓの2つの交点における接線は互いに最初に定めた共役関係にある。


この元ネタの元ネタは射影幾何の範疇なので双対が成り立ちます。
その双対がもうひとつのスレッド「三角形の内接二次曲線と共役点」の元ネタの元ネタになります。


わたしがこれらのことを考えるきっかけになったのは次の定理を見かけたことによります。
問題その１からその４やそれらの元ネタの命題は次の定理からの連想で生まれました。
「三角形ABCの相反共役線となる2直線の組は、3点A,B,Cを通るある双曲線の2本の漸近線である。」

一般化された「直線に関する共役関係」(自己共役な直線を4つもつもの)について書き込んでおきます。

1直線上にある4点の複比を [P1,P2;P3,P4] のように書き、
1点を通る4直線の複比を [l1,l2;l3,l4] のように書く。

直線dは点A,B,Cを通らないとする。
また、直線dと直線BC,CA,ABの交点をそれぞれD1,D2,D3とする。
4つの自己共役な直線を持ちその中の1つが直線dであるような共役関係のことをd-共役と書くことにし、
ある直線に対してd-共役の関係にある直線のことをd-共役線と書くことにする。

d-共役線
点A,B,Cを通らない直線lと直線BC,CA,ABの交点をそれぞれL1,L2,L3とする。
点M1は直線BC上にあり [B,C;D1,M1]=1/[B,C;D1,L1] となる点とし、
点M2は直線CA上にあり [C,A;D2,M2]=1/[C,A;D2,L2] となる点とし、
点M3は直線AB上にあり [A,B;D3,M3]=1/[A,B;D3,L3] となる点とする。
このとき、3つの点M1,M2,M3は1直線上にある。
この直線が直線lのd-共役線である。


ちなみに、
d-共役の4つの自己共役な直線のうち直線d以外の3本の直線は、
直線BC,AD1に関する直線dの調和共役線,
直線CA,BD2に関する直線dの調和共役線,
直線AB,CD3に関する直線dの調和共役線である。
※調和共役線とは複比が-1となる直線のことをいう。

りらひいさん、こんにちは。ちょっと考えてみました。

問題その１
三角形の内接円に対してあるひとつの傍心から2本の接線を引いたときの2つの接点は互いに等角共役点であることを示せ。

回答
△ＡＢＣの内心をＩとし、∠Ｂ内の傍心をＩ'とすると、３点Ｂ，Ｉ，Ｉ'は一直線上にあり、Ｉ'から内接円に引いた接線の２つの接点をＩ'Ｉの関して点Ａ側をＳ，点Ｃ側をＴとすると、
ＡＩは∠Ａの二等分線でＡＩ'は∠Ａの外角の二等分線より∠ＩＡＩ'＝１８０°÷２＝９０°
また、Ｉ'Ｓ⊥ＩＳより∠ＩＳＩ'＝９０°
よって、∠ＩＡＩ'＝∠ＩＳＩ'より、円周角の定理の逆により４点Ｓ，Ｉ，Ｉ'，Ａは同一円周上にある。
ところで、△Ｉ'ＳＩ≡△Ｉ'ＴＩより∠ＳＩ'Ｉ＝∠ＴＩ'Ｉ＝●と置くと、円周角より∠ＳＡＩ＝∠ＳＩＩ'＝●
また、∠ＩＴＩ'＝９０°，∠ＩＡＩ'＝９０°より四角形ＡＩＴＩ'は円に内接する四角形である。
よって、円周角より∠ＩＡＴ＝∠ＩＩ'Ｔ＝●　∴∠ＳＡＩ＝∠ＩＡＴ
ところで、ＡＩは∠Ａの二等分線より、ＡＳとＡＴは∠Ａの二等分線に関して鏡映である。
また、△Ｉ'ＳＩ≡△Ｉ'ＴＩより∠Ｉ'ＩＳ＝∠Ｉ'ＩＴ　∴∠ＢＩＳ＝∠ＢＩＴ　また、半径よりＩＳ＝ＩＴ　ＢＩは共通より、
二辺挟角が等しいので、△ＢＩＳ≡△ＢＩＴ　∴∠ＩＢＳ＝∠ＩＢＴ
ところで、ＢＩは∠Ｂの二等分線より、ＢＳとＢＴは∠Ｂの二等分線に関して鏡映である。
よって、点Ｓと点Ｔは互いに等角共役点である。よって、示された。

補足
∠ＩＴＩ'＝∠ＩＣＩ'＝９０°から４点Ｉ，Ｔ，Ｃ，Ｉ'は同一円周上にあり、円周角より∠ＴＣＩ＝∠ＴＩ'Ｉ＝●
また、四角形ＳＩＣＩ'は円に内接する四角形より円周角で、∠ＩＣＳ＝∠ＩＩ'Ｓ＝●　∴∠ＴＣＩ＝∠ＩＣＳ
ところで、ＣＩは∠Ｃの二等分線より、ＣＴとＣＳは∠Ｃの二等分線に関して鏡映である。

壊れた扉さん

答えていただきありがとうございます。
6つの点 A, C, S, T, I, I' が同一円周上にあるんですね。
問題その１はそれほど難しくはないだろうなとなんとなく思っていましたが、かなりきれいな形でした。
ちなみに、
「三角形の傍接円に対して内心から2本の接線を引いたときの2つの接点は互いに等角共役点であること」
もほとんど同様に示せます。



管理人さん

投稿No.1194を修正しました。
修正前：「線分BCの中点に関する点Lの鏡映を点L'」他
修正後：「線分BCの中点に関して点Lと対称な点をL'」他
理由 … 平面において点対称のことを鏡映とは言わないため。

りらひいさん、こんばんは。

「三角形の傍接円に対して内心から2本の接線を引いたときの2つの接点は互いに等角共役点であること」
もほとんど同様に示せます。

先程やってみました。「ほとんど同様」の意味が分かりました。ある謎を解かないといけませんね。

この問題の元ネタ（より一般的な命題）を載せておきます。
以下、ユークリッド平面に無限遠点の集合である無限遠直線を加えて射影平面の定義を満たすように拡張した平面で考えます。
この拡大ユークリッド平面では、任意の異なる2点を結ぶ直線がただ1つ存在し、任意の異なる2直線はただ1点で交わります。


ことばの定義　内接二次曲線
3直線BC,CA,ABに接する二次曲線を三角形ABCの内接二次曲線という。
※三角形の内側にあり3辺に接する楕円だけではなく、三角形の外側にあり1辺と残り2辺の延長線に接する楕円・放物線・双曲線を含める。


問題その１の元ネタ
三角形ABCの内心と3つの傍心の中から三角形ABCの内接二次曲線Γに2本の接線が引ける点を選ぶ。
その点からΓに引いた2本の接線の接点は互いに三角形ABCに関する等角共役点である。

問題その２の元ネタ
三角形ABCに対して、四角形ABA'C,ABCB',AC'BCが平行四辺形となるように点A',B',C'を定める。
三角形ABCの重心Gと3点A',B',C'の中から三角形ABCの内接二次曲線Γに2本の接線が引ける点を選ぶ。
その点からΓに引いた2本の接線の接点は互いに三角形ABCに関する等距離共役点である。


元ネタの元ネタ（より一般的な命題）も載せておきます。
等角共役点や等距離共役点はさらに一般化された「点の共役関係」のうちのひとつです。
一般化された点に関する共役関係には、自己共役な点を4つ持つものと1つも持たないものがあります。

元ネタの元ネタ
三角形ABCに関して、自己共役な点を4つ持つ「点に関する共役関係」をひとつ決める。
その4つの自己共役な点の中から三角形ABCの内接二次曲線Γに2本の接線が引ける点を選ぶ。
その点からΓに引いた2本の接線の接点は互いに最初に定めた共役関係にある。


この元ネタの元ネタは射影幾何の範疇なので双対が成り立ちます。
その双対がもうひとつのスレッド「三角形の外接二次曲線と共役直線」の元ネタの元ネタになります。

一般化された「点に関する共役関係」(自己共役な点を4つもつもの)について書き込んでおきます。

1点を通る4直線の複比を [l1,l2;l3,l4] のように書き、
1直線上にある4点の複比を [P1,P2;P3,P4] のように書く。

点Dは直線BC,CA,AB上にないとする。
4つの自己共役な点を持ちその中の1つが点Dであるような共役関係のことをD-共役と書くことにし、
ある点に対してD-共役の関係にある点のことをD-共役点と書くことにする。

D-共役点
直線BC,CA,AB上にない点Pに対して、
直線m1は点Aを通り [AC,AB;AD,m1]=1/[AC,AB;AD,AP] となる直線とし、
直線m2は点Aを通り [BA,BC;BD,m2]=1/[BA,BC;BD,BP] となる直線とし、
直線m3は点Aを通り [CB,CA;CD,m3]=1/[CB,CA;CD,CP] となる直線とする。
このとき、3本の直線m1,m2,m3は1点で交わる。
この点が点PのD-共役点である。


ちなみに、
直線BCとADの交点をA',CAとBDの交点をB',ABとCDの交点をC'とすると、
D-共役の4つの自己共役な点のうち点D以外の3つの点は、
点A,A'に関する点Dの調和共役点,
点B,B'に関する点Dの調和共役点,
点C,C'に関する点Dの調和共役点である。
※調和共役点とは複比が-1となる点のことをいう。

DD++様、おはようございます。

ちょっと私が、誤解していたのかもしれません。
＞素数生成多項式は存在しないことが証明されているそうです。
オイラーの素数生成式のような
４１＋ｎ＋ｎ^2（その１）
h＝ttps://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu2/25000_k9.htm
が、直接素数を生成する式が存在しなくて、
＞しかし、マチャセビッチの多項式は、証明されているそうです。
は、マチャセビッチの多項式が成り立ち、結果が正であれば、素数であるというのであって、ちょっと直接素数を生成する式とは違うように思います。
だから、
h＝ttps://enpedia.rxy.jp/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
では、矛盾がないのでしょう。
なお、h＝ttpsはhttpsに書き換えてください。

そういうことです。
それぞれのものが何を主張しているのか正確に理解することは大切です。

DD++さん

https://patents.google.com/patent/JP3835896B2/ja
が当該特許です。

取り急ぎ。

2 7 61 211
周辺を調べていて お返事が遅れましました。
申し訳ありませんでした。

いえいえ、返事を急いでるわけではないのでお気になさらず。

なるほど、繰り返し暗号化攻撃に強い素数を選ぶというと少し語弊がある感じがしますね。
より正確には、「どんな素数を選んでも一部の特定の平文が繰り返し暗号化攻撃で簡単に突破されてしまうのは避けられないが、素数の選び方次第で運悪くそういう平文に当たってしまう確率を下げるくらいのことはできる」という感じのようです。
素数の選び方を公開することで逆に突破の手がかりを与えている可能性はないのか、という気掛かりはやはり拭いきれない気もしますが。

それよりも驚いたことが。
この特許、Pocklington の方法を用いて確実に素数を生み出せることを強みに上げてるんですが……。
まさか世の中の RSA 暗号って確率的素数で暗号化してたりするんですか？
え、本当に？

現BIPROGY、旧日本ユニシスが2000年頃に公的に出している『論文』では、確率的素数で運用しているフシがあります。同社は金融系市場で大手ですから心配ですね。

RSA 公開鍵暗号方式の実現
https://www.biprogy.com/pdf/tec_info/6403.pdf

この「論文」、誤りがありますね。

54 ページ
「つまり j 回の合成数テストによって合成数であると判定されなければ、その数は u^j の確率で合成数であると考えることができる」
とありますけど、そうはなりませんよね。

u^j は
「選んだ数が、合成数であったという条件のもとで、j 回全てで素数と判定される確率」
であって、
「選んだ数が、j 回全てで素数と判定されたという条件のもとで、合成数である確率」
ではないはず。

今日、NHKのEテレで午後9:30から「笑わない数学　ABC予想」が放送されます。

これは、わかりやすいと思います。
ABC予想の主張の解説
https://manabitimes.jp/math/2030
フェルマーの最終定理も簡単に証明されてますね。

今日、NHKのEテレで午後9:30から「笑わない数学　確率」が放送されます。

Wikipedia　モンティ・ホール問題より、
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊引用開始＊＊＊＊＊＊
＜投稿された相談＞
プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
＊＊＊＊＊＊＊引用終了＊＊＊＊＊＊＊

答えを巡って大騒動になったそうです。

単純に考えると変えなければ、3つから1つ選んだのだから確率1/3、変えると2つから１つ選んだのだから、確率1/2で、変えたほうが確率があがりますね。

はちべえさん。

>単純に考えると変えなければ、3つから1つ選んだのだから確率1/3、変えると2つから１つ選んだのだから、確率1/2で、変えたほうが確率があがりますね。

変えるときの確率と変えないときの確率とを加えると、1 になるはずです。
1/3+1/2 は 1 にはなっていませんから……

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

正解は、Wikipedia　モンティ・ホール問題を見てください。

変えたほうが有利となります。

司会者は、答えを知っているから、おれが正解だから、変えても良いというんだな！世の中は、意地悪なんだな。

あるいは、あなたは間違っているから、もう一度チャンスをくれたと思うかです。良い世の中であるかということです。

答えは、変えたほうが2/3で良いので、この世は良い世界であるということですね。

はちべえさん。

編集の結果として「数学者は非論理的」というあなたの御発言が消えたのはよかったです。

こちらも多量の考察を用意しましたが、無駄に終わったことが幸いです。

結論だけ申し上げれば、あなたがあげつらった「こんな問題も間違えた」「非論理的な」数学者の大部分は、問題を又聞きするなどして、問題の設定を誤って聞いたり誤って解釈したために誤答をしてしまっていたのです。
特にエルデシュなどが典型です。
オリジナルとは異なる問題に対して論理的に正答していたのですよ。
以上、数学者の名誉のために申し添えておきます。

この本をお勧めしておきます。

https://www.amazon.co.jp/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C-%E3%83%86%E3%83%AC%E3%83%93%E7%95%AA%E7%B5%84%E3%81%8B%E3%82%89%E7%94%9F%E3%81%BE%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%8F%B2%E4%B8%8A%E6%9C%80%E3%82%82%E8%AD%B0%E8%AB%96%E3%82%92%E5%91%BC%E3%82%93%E3%81%A0%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AE%E7%B4%B9%E4%BB%8B%E3%81%A8%E8%A7%A3%E8%AA%AC-%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9/dp/4791767527

Dengan kesaktian Indukmu様、ご紹介ありがとうございます。

＞結論だけ申し上げれば、あなたがあげつらった「こんな問題も間違えた」「非論理的な」数学者の大部分は、問題を又聞きするなどして、問題の設定を誤って聞いたり誤って解釈したために誤答をしてしまっていたのです。
特にエルデシュなどが典型です。

なるほど、そうでしたか・・・・・

今日、NHKのEテレで午後9:30から「笑わない数学　ガロア理論」が放送されます。
これで、第一シリーズは終わりです。
もう、「笑わない数学」は終わりなのかな・・・・？
それとも、第2シリーズが始まるのでしょうか？

https://natalie.mu/owarai/news/530022
によれば、10月から第2シリーズが始まるそうです。

真です。

四角形の外角の大きさは、残り 3 つの内角の和から 180° を引いた値になります。
それを用いると、P7 のところにできる三角形の 3 つの内角が
θ1+θ3+θ5-180°
θ2+θ4+θ6-180°
θ7
と表され、これらの和が 180° であることから示されます。

わ～！
なるほど
三角形の外角を拡張させて考えれば、スーと解けちゃうんですね。
頭の中には外角と言えばてっきり三角形しか結びつけられていないことに縛られていることに気付かされました。

GAIさん、こんにちは。
真ですね。
簡易的には、円周上にP1～P7まで適当に点を取ると、
θ1＝∠P1＝弧p3p4の円周角＋弧p4p5の円周角＋弧p5p6の円周角
θ2＝∠P2＝弧P4P5の円周角＋弧P5P6の円周角＋弧P6P7の円周角
・
・
・
θ6＝∠P6＝弧P1P2の円周角＋弧P2P3の円周角＋弧P3P4の円周角
θ7＝∠P7＝弧P2P3の円周角＋弧P3P4の円周角＋弧P4P5の円周角
∴∑[i=1,7]θi＝３(弧P1P2の円周角＋弧P2P3の円周角＋弧P3P4の円周角＋弧P4P5の円周角＋弧P5P6の円周角＋弧P6P7の円周角＋弧P7P1の円周角)＝３×全円の円周角＝３×１８０°＝５４０°

厳密にはDD++さんの解法を使えば良いですね。（以前に解説していたら出禁になった事があるので止めておきます。）
また、２つ飛ばしの方は、２つの三角形の内対角の和とブーメランの定理を使うと簡単に示せますね。

a,b,c,d＞0とします。
(x+y)/2=b/(2a)+d/(2c)=(ad+bc)/(2ac)
z-(x+y)/2＞0を整理すると
(ad-bc)(c-a)＞0
x＜yからad-bc＞0なので
z-(x+y)/2＞0 ⇔ c＞a
従ってaとcを比較して
aの方が大きければx寄り
cの方が大きければy寄り
となります。

らすかるさん、ありがとうございます。
どの位の位置にあるかを考えました。
b/a+(d/c -b/a)×ｃ/(a+c)=(b+d)/(a+c)
なので、ｘとｙを、ｃ：ａ　に内分する点
であることが、分かりました。
分子は影響しないのが面白いですね。

b/a< x/(a+c) <d/c (a<c)を満たすｘの必要条件を調べたら
２ｂ＜ｘ＜２ｄで、b+ｄは、ほぼ中間であることが分かりました。
例えば、3/7<x/18<6/11　のとき、
ｘ＝7，8，９，１0，１１でした。

例えば、分母が　N＝５以下の既約分数は、
1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5 で
分子の和＝１８，分母の和が＝３６という意味です。

a/bが条件を満たす既約分数なら(b-a)/bも条件を満たす既約分数であり、
この2つの分子分母それぞれの和は分子がb、分母が2bとなりますので、
1：2になると言えますね。

カタラン数C(n)の再帰的漸化式として(ただしC(0)=1 とする。)

C(n)=∑[k=0,n-1]C(k)*C(n-1-k)

C(n)=∑[k=0,n-1]binomial(n-1,2*k)*2^(n-1-2*k)*C(k)

C(n)=∑[k=1,floor((n+1)/2)](-1)^(k-1)*binomial(n+1-k,k)*C(n-k)

などがあるようです。

https://oeis.org/A000108
のサイトでの
FORMULA
の部分に掲載されています。

そこに掲載されているということは正しいということなんでしょうけど、OEIS には証明までは載っていませんね。
カタラン数が関係するなら組み合わせで証明したいところですが、(-1)^k が入った式でそれやるの、難しいんですよねえ。

式の意味を無視して式変形でやるなら、カタラン数も二項係数も階乗に直す方針になるんでしょうか？
まだやってみていませんけど。

Σ[k=0～floor((n+1)/2)]((-1)^(k-1))*C[n-k]*comb(n+1-k,k)=0
を示せばよいですね。
tの関数 f(t) をべき級数展開したときの t^n の係数を　
[t^n]f(t)と書くことにします。

Σ[k=0～floor((n+1)/2)]((-1)^(k-1))*C[n-k]*comb(n+1-k,k)
=Σ[p=floor((n-1)/2)～n]((-1)^(n-p-1))*C[p]*comb(p+1,n-p)
=Σ[p=0～∞]((-1)^(n-p-1))*C[p]*comb(p+1,n-p)
=Σ[p=0～∞]((-1)^(n-p-1))*C[p]*[t^n]( (1+t)*(t*(1+t))^p )
=((-1)^(n-1))*[t^n]( (1+t)*Σ[p=0～∞]C[p]*(-t*(1+t))^p )
=((-1)^(n-1))*[t^n]( (1+t)*(1-sqrt(1-4*(-t*(1+t))))/(2*(-t*(1+t))) )
=((-1)^(n-1))*[t^n]( (1-sqrt((1+2*t)^2))/(2*(-t)) )
=((-1)^(n-1))*[t^n](1)
=((-1)^(n-1))*0
=0.

なるほど、カタラン数は母関数で扱う方針がありましたか。

細かいですが、2行目の
> Σ[p=floor((n-1)/2)～n]
は
Σ[p=n-floor((n+1)/2)～n]
ですかね。
一般に a-floor(b) ≠ floor(a-b) ですので。
次の行以降には影響しないので、2行目だけ修正すれば3行目以降は再び正しくなります。

> Σ[p=floor((n-1)/2)～n]
>は
>Σ[p=n-floor((n+1)/2)～n]
>ですかね。

その通りですね。
ご指摘ありがとうございます。
Σ[p=ceil((n-1)/2)～n] と書かなければいけないところを、
間違って、Σ[p=floor((n-1)/2)～n]
と書いてしまっていますね。
失礼しました。

GAIさん。
2, 7, 61 の三組の底では
4759123141 までの数について
確定的に素数判定ができるとのことです。
このミツグミは優秀なんですね……

上は、
http://miller-rabin.appspot.com/
をみてたら気がついたことです。

ええそうなんですよ。
だからもう一つ追加して
[2,7,61,211]の４つの素数を底に指定して、全部の底でミラー・ラビン方式(もはや確率的ではないのでこの名は使えないか？）
がクリアーできれば、
莫大な奇数nでも合成数か素数かが正しく判定できるような気がしているんですが、その限界も
数値的確認もしてないので何とももどかしい所なんですが･･･

確か、有限個の底の組では
確率100%のミラーラビン判定ができないことが、既に証明されていると思います。
昔、調べたことがあるのですがそのことが書いてあるページがありました。
今、そのページのブクマでURLに飛んだら、
サイトが消失していました。
残念………
どこか探せばあるはずですが……

もちろん素数はそれこそ無限個あるので、全部の奇数に対して合成数か素数かを有限個の調査で調べ尽くすことは
不可能であろうことは想像できますが、ある有限の範囲以内においては、そのような判定できる組合わせはあっても
いいと思われますし、また確かにいろいろな調査で存在しています。
この組[2,7,61,211]がどこまでの範囲で大丈夫なのかは自分もわからないのですが、感じとしては相当莫大な有限の範囲を
保証できるのではないかという意味です。

GAIさん。了解いたしました。

以下のNは、ミラーラビン法により200未満の全ての素数を底にして検査した結果として
強擬素数と判定されたものです。変なところに改行がはいっていて申し訳ありませんが、
コピペミスを怖れた次第です。

N=
80383745745363949125707961434194210813883768828755
81458374889175222974273765333652186502336163960045
45791504202360320876656996676098728404396540823292
87387918508691668573282677617710293896977394701670
82304286871099974399765441448453411558724506334092
79022275296229414984230688168540432645753401832978
6111298960644845216191652872597534901

底を 211 で検査すると、ようやく合成数と判定できるようです。

Nはかなり大きな数ですね。

https://mathcrypto.wordpress.com/2014/11/23/large-examples-of-strong-pseudoprimes-to-several-bases/
を参考にいたしました。

上記のNが合成数であることを見るために、素因数分解を見つけようと試みているんですが
未だに発見できないでいます。
色々な方法の素因数分解でのアルゴリズムがあるようなんで、この方面に精通されている方で
上記を試みるとどんな因数を持っているか分かる方、お教え願います。

GAIさん。
次のふたつの素数の積なのだそうです。

2004791083197498027091532260422734265025940830205662543872531023690016085350598121358111595798609866791081582542679083484572616906958584643763990222898400226296015918301

4009582166394996054183064520845468530051881660411325087745062047380032170701196242716223191597219733582163165085358166969145233813917169287527980445796800452592031836601

（恥ずかしながら…汗…）検算はしておりません。いつもの知人に問い合わせたら、調べてくれて、結果を教わりました。

この2つの数は k と 2k-1 という関係にあるように見えます（目視確認）。
ミラーラビンテストって実は k(2k-1) という形の半素数と相性が悪かったりするんでしょうか？

GAI さんがおっしゃるに

> ええそうなんですよ。
> だからもう一つ追加して
> [2,7,61,211]の４つの素数を底に指定して、全部の底でミラー・ラビン方式(もはや確率的ではないのでこの名は使えないか？）
> がクリアーできれば、
> 莫大な奇数nでも合成数か素数かが正しく判定できるような気がしているんですが、その限界も
> 数値的確認もしてないので何とももどかしい所なんですが･･･

調べてみました。
15070413782971 = 1171*19891*647011
で合成数です。

[2,7,61,211]の４つの素数を底にミラー・ラビン判定してみたところ、
Can be prime
となるようです。強擬素数判定ですね。

■確認方法
https://planetcalc.com/8995/
で、Miller–Rabin primality test
が可能です。

integer number 欄に
15070413782971
を入力します。前後に不可視なスペースが入ると叱られます。コピペの際には気をつけましょう。

bases 欄は random ではなく list にしましょう。

list としては、スペースで区切って
底を入力します。既定値は
3 5 7 11
となっていますのでこれを、今回は
2 7 61 211
と入れ直します。３箇所の区切り以外にスペースをいれると叱られるようです。

Details はオンにしたほうが面白いです。

Calculate ボタンを押下で
判定結果が返ります。

上の操作は、スマホでのものです。
パソコンだと違う？かもしれません。
お許し下さい。

Miller–Rabin primality test
のさきほどのオンラインツールが正確なのか不安ですので、
どなたか confirm をお願いいたします。

base を211単独でやればN;337桁で初めて擬素数を返す。
(2～199までの素数すべてをbase,または197,199の2つだけでbaseとしても同様な結果が起きる。)
のに対し
2,7,61,211の組合せでは以外に小さい14桁でのN=15070413782971(=1171*19891*64701)を偽判定してしまうのですね。
確かに
1171=1170+1
19891=17*1170+1
64701=553*1170+1
と相性が悪いものの構造になっているものなんですね。

全部をチェックしていませんが、この数値の周辺を観察してみたら判定は正しくされていることは
確認できました。（但しRubyのプログラムを利用して調べています。）

GAI さん。

文脈を追えないのでお教えいただきたいのですが……

>base を211単独でやればN;337桁で初めて擬素数を返す。

336桁以下の数ならば
確定的に素数判定ができるとのおかんがえでしょうか？

勘違いしてました。
例のNは211をbaseにしてチェックすれば擬素数と返すが、それより小さいものでも擬素数の判定を出すものはあるわけですね。
あくまで[2,3,5,7,･･･,197,199]のすべての素数をbaseにチェックをかけて出てくる擬素数がこれだ。
ということでいいでしょうか？

> "GAI"さんが書かれました:
> あくまで[2,3,5,7,･･･,197,199]のすべての素数をbaseにチェックをかけて出てくる擬素数がこれだ。
> ということでいいでしょうか？

15070413782971 は底を 11 のみで判定すると合成数と判定されるようです。従いまして
[2,3,5,7,･･･,197,199]のすべての素数をbaseにチェックをかけても合成数と判定されると思います。何個か底を選んだときに、そのうちひとつでも合成数判定されると、底全体のテストで、合成数判定の結果を出すと思います。

また、底として、 197 または 199 のどちらかをひとつ指定しても、やはり合成数判定されます。

15070413782971 は
底として、2, 7, 61, 211 のどれかひとつを
指定すると、いずれにせよ
合成数判定されません。
2, 7, 61, 211 から何個か選んで判定しても
合成数判定されません。
今回は、2, 7, 61, 211 を底にしたときの強擬素数を探してみたのです。

とはいえ、依然として合成数である可能性は残されていますね。そこで、実際に因数分解してみたのでした。