😊出会いの泉😊

固有ベクトル b は正規化されていると思っていいんですよね？
好きなものを採用していいとなると、虚数倍したものを持ってこれちゃいますし。

多分これでできてると思いますが、大丈夫かな？


(1) A が対角行列で a[3,3] = 0 の場合

A = diag( λ[1], λ[2], 0 ) とします。
A はランク2で正定値なので、λ[1] と λ[2] は正の数です。

このとき仮定は λ[1]*p[1,1] + λ[2]*p[2,2] = 0 となり、変形すると、
2*λ[1]*λ[2]*p[1,1]*p[2,2] = - (λ[1]*p[1,1])^2 - (λ[2]*p[2,2])^2 ≦ 0
2*λ[1]*λ[2] は正なので、p[1,1]*p[2,2] ≦ 0 となります。

また、b = t( 0, 0, ±1 ) より、t(b)*adj(P)*b は単純に adj(P) の [3,3] 成分を意味するので、
t(b)*adj(P)*b = p[1,1]*p[2,2] - p[1,2]^2 ≦ 0
となります。
等号成立は p[1,1] = p[2,2] = p[1,2] = 0 のときに限ります。
b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること、と言え変えられますね。


(2) A がそれ以外の場合

A は実対称行列なので直交行列 M で対角化でき、
D = t(M)*A*M となります。
ただし、D は対角行列であり、d[3,3] = 0 となるように対角化することします。
A が 3 次の半正定値ランク 2 なので D も 3 次の半正定値ランク 2 で、また D は対角行列ですから明らかに対称行列です。
またこのとき、t(M)*b は D の固有値 0 に対応する固有ベクトルです。

ここで、Q = t(M)*P*M とおくと、これは 3 次実対称行列です。
変形すると、P = M*Q*t(M) です。

このとき、
tr(t(D)*Q) = tr(D*Q) = tr(t(M)*A*P*M) = tr(A*P) = tr(t(A)*P)
また
t(b)*adj(P)*b
= t(b)*adj(M*Q*t(M))*b
= t(b)*adj(t(M))*adj(Q)*adj(M)*b
= t(b)*M*adj(Q)*t(M)*b
= t(t(M)*b)*adj(Q)*t(M)*b
となるので、D を A と、Q を P と、t(M)*b を b と読み替えることで (1) に帰着します。

等号成立条件は、t(M)*b と垂直な平面が Q = t(M)*P*M によって t(M)*b と平行な直線または点に変換されること、
つまり、結局、b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること、です。


もとの幾何の問題が何かはわかりませんけど、何か意味のありそうな条件に見えますね。

DD++さん、ありがとうございます。
とても参考になりました。

前回投稿した後に再考している中で
「対角化したら１パターンのみ考えるだけでいいのでは？」
と思っていたところだったので、実際その通りに証明できることがわかってよかったです。
私が行った証明は場合分けしたうえでの成分計算ごり押しみたいな感じなので、
もっと本質を突いた証明がありそうだと思って書き込んだのでした。



> 固有ベクトル b は正規化されていると思っていいんですよね？
> 好きなものを採用していいとなると、虚数倍したものを持ってこれちゃいますし。

もともと私はすべて実数範囲で計算していたので、「固有ベクトルbは実ベクトル」とする条件を明示し忘れました。
申し訳ありません。
実数で正規化されている場合が示されれば b を実数倍しても成り立つことは明らかなので、これで大丈夫です。



> tr(t(D)*Q) = tr(D*Q) = tr(t(M)*A*P*M) = tr(A*P) = tr(t(A)*P)

Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[i,j] が tr(t(A)P) と書けることには気づきませんでした。
じつは前回書き込んだ後で、Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[i,j] よりも Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[j,i] の方が
(座標計算上)本質に近い計算だと感じていたのですが、この式を見てその感覚が正しかったとはっきりとわかりました。



> もとの幾何の問題が何かはわかりませんけど、何か意味のありそうな条件に見えますね。

もともとこの命題が幾何の問題だったというわけではないです。

詳細はこのスレッドの本題から外れるので省きます。（以下、削除しました。2023/10/8 りらひい）

斉次座標系には明るくないので頓珍漢なことを言ってたらすみませんが、

> 直線 t(l)x=0 と直線 t(m)x=0 が直交する ⇔ t(l)Am=0

これって、座標系を空間的に捉えれば、まさに
「b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること」
この例の文字割り当てで言えば
「m と垂直な平面が A によって m と平行な直線または点に変換されること」
という話ではないんですか？

若干の訂正。
「b は正規化されていると思って」という前振りを入れましたが、
冷静に考えると正規化されていても実数とは限りませんね。
「実数で正規化されている」だったことにしてください。

実数限定で話をしたいという同じ内容を偶然にもお互い記述し忘れた形なので、あまり問題はないはずですが、記事の正確性のために訂正しておきます。

No.1461でDD++さんが言いたいことがどんなことなのかをずっと考えているのですが、
どうしても意味がつかめません。すみません。

もともとの命題の等号成立条件
「b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること」
に関しては理解できます。
等号成立条件は任意の実ベクトルcを用いて
P = (b*t(c)+c*t(b))/2
と表されることといえるため、bと垂直なベクトルをnとすると
P*n = (b*t(c)*n+c*t(b)*n)/2 = {(t(c)*n)/2}*b
となることからわかります。

残りの内容がどんな意味合いなのかわかりませんでした。



そもそも私が余計な内容を書き込んだことがよくなかったと反省しています。
No.1460の後半、「もともとこの命題が……」以降はこのスレッドでの本題から大きく外れすぎているので削除したいと思います。
申し訳ございません。

DD++さんの証明を参考にすることで、真偽がわからず保留となっていた次の命題も対角化を利用して証明できました。
ありがとうございます。

Aをランク2の半正定値3次実対称行列とする。
Pは3次実対称行列とする。
このとき、Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[j,i]=0 ならば
Pは不定値行列(半正定値でも半負定値でもない行列)またはランクが1以下の行列である。

私も書いていてなんか違和感あったんですが、間違いにやっと気付きました。

「b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること」
は、私は式としては
「b と垂直な任意のベクトル l, m に対して t(l)*P*m=0 」
をイメージしていました。

ならば、この例の文字割り当てで言うならば、m ではなく、l とも m とも垂直な第三のベクトル n に対して成り立つと記述するべきでした。
すみません。

まあ、記述を修正したとしても元々ただの無根拠な思いつきで書いたものでしかなく、変に掘ってみても何の価値もない可能性が高いです。


> DD++さんの証明を参考にすることで、真偽がわからず保留となっていた次の命題も対角化を利用して証明できました。

思わぬ副産物があったようで、お役に立てて嬉しく思います。

カルピス様、こんにちは。
すみませんが、ここに、つなぎます。お許しください。

x=4,5で7あるからax^2+bx+c=dとおく。
x=4を代入して、
16a+4b+c=7----(1)
x=5を代入して、
25a+5b+c=7----(2)
x=6を代入して、
36a+6b+c=9----(3)
よって、(1),(2),(3)より、
a=1,b=-9,c=27
ゆえに、
x^2-9x+27
これにx=7を代入して、
x^2-9x+27=13

うんざりはちべえ様

流石、数学の出来る人はちがう！！

こちらこそ、良い「テレビ放送の情報」が
トップに表示されなくなり目立たなくなってしまって
申し訳ありません。
（少し気にはしていたのですが・・・）ｍ（＿）ｍ

カルピス様、おはようございます。

いえいえ、発想力には、カルピス様には及びません。

同じく出来の悪い数学で無理やり6番目をやってみると、カルピス様と一致しませんでした。

問題より、＋〇記号は関数としてf(x,y)=cとおく。
したがって、f(5,3)=8,f(8,5)=1の時f(9,6)を求めよとなる。
与えられている式は2つしかないので、
f(x,y)=ax+by=cとおく。
f(5,3)=5a+3b=8----(1)
f(8,5)=8a+5b=1----(2)
(1),(2)より、a=37,B=-59
よって、
37x-59b=c
ゆえにf(9,6)=-21

(1) a=40 (3が483個)
(2) b=95 (7が2904個)
(3) c=97 (9が90個)

(2)はちょっと時間がかかりました。

明らかにA112394やA113076でのデータは不足していますね。
(2)bがいくつまで7を並べるといいのかは、自分のプログラムとスペックでは手に入れることはできませんでした。
(862*10^2904-7)/9での素数判定だけでも一夜の時間が必要でした。
可能な限りらすかるさんに補充してもらえると有難いです。

それでは、
1234567890123456789012345678901・・・8901
1234567890123456789012345678901・・・567
はどうなんでしょう？素数にはならないのでしょうか？ただし、
1234567890123456789012345678901・・・890123は3の倍数
1234567890123456789012345678901・・・012345は5の倍数
1234567890123456789012345678901・・・456789は3の倍数
です。
(%i32) factor(12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);
(%o32) 7　8447　15511　 13460916961858847299449477233189774374173209263392110114539531835993
と結構大きな素数が見つかりました。

πは、何億桁も求められていると思います。その一部分を切り出したら、長大な素数になるのではないでしょうか？
また、√2、√3も同じくその一部を切り出したら、長大な素数になるのではないでしょうか？

小数点を頭とし、頭から、いくつか行ったところから始めてそこから、何千桁の素数になるとかという発見も可能ではないでしょうか？

そういう話は、ないのでしょうか？

あります。https://oeis.org/A005042
3,31,314159,31415926535897932384626433832795028841,
これ以上はhttps://oeis.org/A060421を参照のこと
なお
√2==>A115377
√3==>A119344
何でも調査済みです。

GAI様、おはようございます。

ありがとうございます、調査中ですか。

そこで、こんなくだらないことを考えました。
πの何億桁を暗号文として見れば、何語かしれませんが、ある文章が発見されるかもしれませんね。
また、πの何億桁をさがすと、小数点を除いた何桁かのπとか、小数点を除いた何桁かの√２とか√３が見つかるかもしれませんね。
あるいは、πの何億桁をさがすと、ほとんどの素数が含まれているかもしれませんね。すると、あなた方は、素数を発生する式を見つけようと奮闘されていると思いますが、それは、πの何桁目にあるという関数なのかもしれませんね。あるいは√３かもしれません。

> 可能な限りらすかるさんに補充してもらえると有難いです。
「7」だけですが、「可能な限り」調べましたので、長期間かかってしまいました。
（実際はずいぶん前にアップしていたのですが、なかなか登録されませんでした。）
A113076はb-file(LINKSにある、数を羅列したファイル)の桁数制限(最大1000桁)でa(94)までしか追加できませんでしたが、A090464(追加桁数≧0)のb-fileはa(4443)まで拡充し、またA363922(追加桁数＞0)のページを新規追加しました。a(4444)が300000を超えることが判明してこれ以上はあまりにも時間がかかりますので、4443までで終了としました。実際は未解決の9個を除き10000まで調査済みです。
判明している最大桁数はa(2174)の94146桁（2174を合わせて94150桁）です。
この後、「1」「3」「9」を順次調査して更新・追加する予定ですが、数ヶ月かかる(かける)と思います。

2038の後に76206個の
2174の後に94146個の
7が連続して続いている整数が素数だなんて「おったまげ～」です。
こんな判定ができるのは世界広しといえども、らすかるさんの根性と技術力が無ければ誰も見つけられません。
これらを見つける(最初が4443までと,4444なら300000以上が判明する。)のに、どれほどの時間が費やされたのか
想像するだけで恐れ入ります。
何気なくお願いしていたことに、ここまでの結果を出されていることに驚きと感謝しかありません。
お疲れ様でした。

これを計算するにあたって
・多倍長整数演算ライブラリを新規に作成（今までは多倍長浮動小数点ライブラリしかなかったので整数専用を作り高速化）
・今までの多倍長乗算では面倒で導入していなかったFFT（高速フーリエ変換）を組み込み（1万桁程度までなら不要）
・1千万以下の素数で割り切れるものは予め除外して多倍長演算そのものを極力削減（mod値を順次更新していくだけなので、実際に素数で割る必要はありません）
のように高速化しましたが、それだけでは限界がありますので、さらに
・今回これの計算のために新規に計算専用のPCを3台購入（計算のためだけにPCを買ったのは初めてです）
・各PCでプログラムを10個ずつ走らせて並列処理（計30個; 最近のCPUはマルチコアなので10個程度までは速度を落とさずに実行できます。ただし結構個体差あり）
ここまでやって、a(4444)＞300000が判明するまでの時間は約40日でした（もちろん4444だけで）。100000ぐらいまでなら確か1日程度なので、1～4443ではそこまで長くはかかっていません。
現在は603111111…111について探索していますが、もし300000までに見つからなければ来月中旬頃には「1」関連のページが更新できると思います。（もし見つかった場合は次に不明な1244111111…111の計算になりますので、もっと長くかかります。）「3」と「9」は今のところ手つかずです。

ちょっと話が違いますが、
＞1234567890123456789012345678901・・・567
でやってみました。
(%i4) factor(12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o4) 7 22229 58451 91323843166753 1990289443773271 7468005800688525073486113025183942276805679123737127564644625926404936359354114288935222591868553
結構大きな素数が見つかりました。
(%i5) factor(123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o5) 631 5413 133213 19937882851 22511505301 604529370799796892383085706399069630409601290548904107518265435457728186392127157076941192587811013089187039118303
結構大きな素数が見つかりました。
(%i6) factor(1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o6) 24668354456687 50046625213332582312185428362841227475057792866410709644283257782383939219990720166646582114446721658977604048443630200444602932959332314779241
結構大きな素数が見つかりました。
(%i7) factor(12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o7) 7^2 787 39791 244340699 910633689019 36159280989337321377309448741186358341776718452915799331494698971926272005467216114866777090024304770574299681869120301678721329071609179
結構大きな素数が見つかりました。
factor(1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o1) 138780728882459 116440997068804427 76397632003200217489806493381147875115209465514196615784322229565099172143805359444696611232924888005328711450866017803901010900944384286261280751361319919
結構大きな素数が見つかりました。
(%i1) factor(123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o1) 269 63781 7195672238591621160281593683527750936596082568488234488256727202195489709570131695100951573046965543650538789023858761245771750033606847810909797570562433801503993228624111850669430196275662634009703
結構大きな素数が見つかりました。
(%i2) factor(1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o2) 89 127 487 4540348633 566543368152613 322336577746565069 270495681483446667140074768876393257376360696738928608979826433633902212692284874597775695906434267559218977052438054523604201442887500336882812654336340885938636435247
結構大きな素数が見つかりました。
(%i1) factor(123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o1) 8009 29867 341717377749311 979093487643182053 1542601874113179841341127819855964827942526924719304208787550225284300651193155354184766603738308053817122387392606512334721372012409813687783393202126991759536107515603379271597006409742228112983
結構大きな素数が見つかりました。
(%i2) factor(1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567);を素因数分解せよ。
(%o2) 43 28710881165661785790984783230261269020700545506721217341369796152741630778064860752225090726385299770312948581682457648865920183491243181139821992532586850416049382716023542922765144989950933103646256101062300028710881165661785790984783230261269
結構大きな素数が見つかりました。

追加編集済み。