😊出会いの泉😊

とりあえず瞬殺できるものから。

N1 = 11111111 = 1111*10001 = 11*101*10001
さて、GAI さんがこれで終わるだけの面白みのない問題を出すとは思えないので、10001 は合成数、それもそこそこ大きな素数の積だと信じることにします。

10001 を 2 つの自然数の積で書くと考えると、その相乗平均は √10001 で 100 よりわずかに大きい数です。
また、10001 は 4 で割ると 1 余る数なので、これが 2 つの数の積であるならばそれは 4 で割ると 1 余る数同士の積か、あるいは 4 で割ると 3 余る数同士の積。
つまり、その 2 つの数の和は 4 で割ると 2 余ります。
これら 2 つの情報に、どちらもそこそこ大きな素因数という情報を追加すると、2 数の相加平均は 100 より少し大きい奇数であるとわかります。
ということで、これを 101+2k と書くことにします。

すると 2 つの数を解に持つ二次方程式は
x^2 - 2(101+2k)x + 10001 = 0
となり、その判別式は
D/4 = (101+2k)^2 - 10001 = 4k^2 + 404k + 200 = 4(k^2+101k+50)
あとはこの括弧内が平方数になるような k の値を小さい順に試しながら探せばよく、
k=1 のとき 152 は平方数ではない
k=2 のとき 256 は平方数
とすぐにみつかります。

2 数の相加平均が 105 ということは和は 210 で、積が 10001 なのですから、差は
√(210^2-4*10001) = √4096 = 64
つまり 2 数は 105 + 32 = 137 と 105 - 32 = 73

以上より、N1 = 11111111 = 11*73*101*137

同じやり方でもう 1 つ。
N2 = 11112121 = 11111111+1010
と考えると、N1 の結果と合わせてこれが 101 の倍数であることは明らかで、
N2 = 11112121 = 101*110021

開平法を使って頑張れば √110021≒331.7 で、ということは 2 数の相加平均は 331 より少し大きい奇数なので 331+2k とおいて、同様に進めて、
D/4 = (331+2k)^2 - 110021 = 4(k^2+331k-115)
この括弧内が平方数になる k を探します。

k=1 のとき 217 は平方数ではない
k=2 のとき 551 は平方数ではない
k=3 のとき 887 は平方数ではない
k=4 のとき 1225 は平方数

2 数の相加平均が 339 で、和が 678、積が 110021 なので、差は
√(678^2-4*110021) = √19600 = 140
つまり 2 数は 339 + 70 = 409 と 339 - 70 = 269

以上より N2 = 11112121 = 101*269*409
一応 19 以下の素数で割ってみて、これが全部素数と確認して終了。

N7 もいけるかと思いましたが、170011 の処理がこの方法では無理そうですね。
2 つの数がおそらく倍以上差があるようで、この方法ではちょっと厳しい。
さあどうしようかな。

f(k)=(412+2k)^2-170011とすると
f(k)=4k^2+1648k-267
kが偶数のときf(k)≡5(mod8)となるが
mod8での平方剰余は0,1,4だけなので平方数にならない。
k=2m-1とするとf(k)=g(m)=16m^2+3280m-1911
m≡0,1,2,3,4,5,6,7,8に対してg(m)≡6,8,6,0,8,3,3,8,0(mod9)だが
mod9での平方剰余は0,1,4,7だけなので
平方数になる可能性があるのはm≡3,8(mod9)のときのみ。
m≡3(mod9)のときm=9t-6とおくと
g(m)=h(t)=1296t^2+27792t-21015
h(1)=8073, h(2)=39753は一の位が3なので平方数ではない。
h(3)=74025が平方数ならば27^2=729,28^2=784からh(3)=275^2でなければ
ならないが、275^2=75625なのでh(3)は平方数ではない。
h(4)=110889が平方数ならば33^2=1089,34^2=1156から
h(4)=333^2または337^2でなければならないが、333^2=110889なので
h(4)は平方数。
（たまたま見つかったのでm≡8(mod9)は考える必要がなくなった）
t=4→m=30→k=59→412+2k=530なので
170011=530^2-333^2とわかる。以下略。

> この列がA075821に載る。(内容的には他の視点で集まった数列）
コメントを読む限り、まさしく 21 乗の下 2 桁として作られた列のようですが。

> 不思議なことにkは他のも
k=41,61,81,101,････
でも同じaが並んだ。

> またmod 1000
ではk=101,201,301,････

えっと、先日の問題の流れを受ければこの結果はごく自然なものに思えますが、どこを不思議と思っておられるのでしょうか？

a41=a21*a20≡a*a^20=a21≡a　（mod 100)
そうか不思議でもなんでもないですね。

A122987での説明がよくわからないのですが、これが
a^101≡a (mod 1000)
で集めるaと同じになるのはどうしてなのかな？
という意味で問いかけておりました。

なるほど確かに立方数の下 3 桁との一致は少し考えないといけませんね。
以下でどうでしょう。

以下、合同式は断りがない限り mod1000 とします。

101 乗の下 3 桁が元の数に戻る数は、必ずある立方数の下 3 桁に出現します。
なぜならば、a^101≡a であれば、b≡a^67 とすると、
b^3≡a^201≡a^101≡a だからです。

立方数の下3桁に出現する数は、その101乗の下3桁が元の数に一致します。
なぜなら、以下の 2 つから、立方数と下 3 桁が一致する a について a^101-a は 1000 の倍数だからです。

(1) 立方数は 5 と互いに素である、またはそれ自体 125 の倍数です。
よって a も同じく 5 と互いに素である、またはそれ自体 125 の倍数です。
つまり、a^φ(125)-1 すなわち a^100-1 または a のいずれかが 125 の倍数です。
したがって、a(a^100-1) は 125 の倍数です。

(2) 立方数は奇数である、またはそれ自体 8 の倍数です。
よって a も同じく奇数である、またはそれ自体 8 の倍数です。
つまり、a^2-1 または a のいずれかが 8 の倍数です。
したがって、a(a^100-1)=a(a^2-1)(a^98+a^96+……+a^2+1) は 8 の倍数です。

a^21≡a (mod 100)
が最もaの相当数が見つかるが、これを満たすaの集合は
Mod(a^3,100)での余りが取り得る数に対応し

a^101≡a(mod 1000)
が最もaの相当数が見つかるが、これを満たすaの集合は
Mod(a^3,1000)での余りが取り得る数に対応している。

＜プログラムでの確認＞
gp > {S=[];}for(a=1,99,r=lift(Mod(a^3,10^2));S=concat(S,[r]));S=vecsort(Set(S))
%41 = [0, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99]
gp > {T=[];}for(a=0,99,if(lift(Mod(a^21,10^2))==a,T=concat(T,[a])));T
%42 = [0, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99]

結果は長くなるので省略していますが、結果は同じになりました。
gp > {S=[];}for(a=1,999,r=lift(Mod(a^3,10^3));S=concat(S,[r]));S=vecsort(Set(S))
gp > {T=[];}for(a=0,999,if(lift(Mod(a^101,10^3))==a,T=concat(T,[a])));T

そこで
mod 10000
を調べてみたら
a^501≡a (mod 10000)
が最もaの相当数が見つかり、4509個ある。（ダントツの多さ）
({T=[];}for(a=0,9999,if(lift(Mod(a^501,10^4))==a,T=concat(T,[a])));T
で求まる集合Tの要素数#Tが#T=4509)

ところが
a^3を10000で割ったときの余りが取り得る総数は5050個となり
({S=[];}for(a=1,9999,r=lift(Mod(a^3,10^4));S=concat(S,[r]));S=vecsort(Set(S))
で求まる集合Sでの#S=5050)
上２つの広がりは起こりませんでした。

おそらくですが、
mod100 の場合は a^n の n として「2 以上かつ 20 と互いに素」であることが要求されるので n=3 が最小
mod1000 の場合は a^n の n として「3 以上かつ 100 と互いに素」であることが要求されるので n=3 が最小
mod10000 の場合は a^n の n として「4 以上かつ 500 と互いに素」であることが要求されるので n=7 が最小
となるのではないでしょうかね？

{S=[];}for(n=1,9999,r=lift(Mod(n^7,10^4));S=concat(S,[r]));S=vecsort(Set(S))
{T=[];}for(n=0,9999,if(lift(Mod(n^501,10^4))==n,T=concat(T,[n])));T

に対して#S=#T=4509
しかも
gp > S==T
% = 1 (S、T の２つの集合内容が全く同一を示す。）
の結果となり、DD++さんの推測は見事に実証できました。

ちなみに
mod 100000では
{S=[];}for(n=1,99999,r=lift(Mod(n^7,10^5));S=concat(S,[r]));S=vecsort(Set(S))
{T=[];}for(n=0,99999,if(lift(Mod(n^5001,10^5))==n,T=concat(T,[n])));T
の対応で２つの集合は同一を見ました。(#S=#T=42517)

少し考えてみましたが、そもそもの問題は「有理数のみとる変数で極限を考えてよいかどうか」なのではないでしょうか。
そして、それが NO であるため、「極限が定義できない→連続性の判定ができない→連続関数でないのだから当然微分不可能」という理屈になっているのではないかと思います。

というのも、仮に有理数のみとる変数の極限を考えてよいことにすると、中間値の定理やら最大値最小値の定理やらその他諸々の定理がゴッソリ不成立になってしまうんですよね。
きちんと断った上で有理数変数の極限を導入すれば何かそういう理論体系もできそうですが、失うものの大きさのわりにメリットはほとんどなさそう。

回答ありがとうございます。なるほど、確かにいろいろ問題がありそうですね。
すると、もしやるとしたら別の名前で異なる理論として体系を作らなければならなそうですが、そういうものを見たことがないことから、体系を作っても使いようがない、ということなのでしょうね。

以下合同式はすべてmod10
2^4=16≡6
3^4=81≡1
4^2=16≡6
5^n≡5
6^n≡6
7^4=2401≡1
8^4=4096≡6
9^2=81≡1
から
N≡1^100+2^100+3^100+4^100+5^100+6^100+7^100+8^100+9^100
=1+(2^4)^25+(3^4)^25+(4^2)^50+5^100+6^100+(7^4)^25+(8^4)^25+(9^2)^50
≡1+6+1+6+5+6+1+6+1=33≡3
なので、3。

与式≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡1 (mod2)

また、p=5 についてフェルマーの小定理を用いると、
与式≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡3 (mod5)

よって
与式≡3 (mod10)

お二人とも性質を熟知されていることがビンビン伝わってきます。
ひょんなことから5乗においては,a=1,2,3,･･･,9で
a^5≡a (mod 10)
が成立していることに気付いて、これを活用できる問題として作成しておりました。

特にDD++さんの最も簡潔な近道に感激しました。
なおこれがmod 100
となった場合はどの様に対処できるのですか？

> なおこれがmod 100となった場合はどの様に対処できるのですか？

以下合同式はすべてmod100
n^2≡nの解は0,1,25,76
(つまりこの4つは何乗してもmod100で不変)
2^20=1048576≡76
3^20=3486784401≡1
4^10=1048576≡76
5^2=25≡25
6^5=7776≡76
7^4=2401≡1
8^20=1152921504606846976≡76
9^10=3486784401≡1
11^10=25937424601≡1
なので
N=11^100+22^100+33^100+44^100+55^100+66^100+77^100+88^100+99^100
=11^100(1^100+2^100+3^100+4^100+5^100+6^100+7^100+8^100+9^100)
={(11^10)^10}{1+(2^20)^5+(3^20)^5+(4^10)^10+(5^2)^50+(6^5)^20+(7^4)^25+(8^20)^5+(9^10)^10}
≡1・(1+76+1+76+25+76+1+76+1)
=333≡33
となり、100で割った余りは33。

オイラーのトーシェント関数を使います。

オイラーの定理より、a が 5 の倍数でないとき
a^φ(25)=a^20≡1 (mod25)
なので、
与式≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡8 (mod25)

また、
与式≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡1 (mod4)

よって
与式≡33 (mod100)

ついでに 1000 で割る場合も。

オイラーの定理より、a が 5 の倍数でないとき
a^φ(125)=a^100≡1 (mod125)
なので、
与式≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡8 (mod125)

また、
与式≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡5 (mod8)

よって
与式≡133 (mod1000)


10000 で割るとなると手を変えないといけませんね。

303/320=3030/3200　という見方は、邪道ですかね？

問題文の表現が「分子から引く」「分母に足す」なわけですので、

問題：303/320 の分子は何か
解答：3030

を正解とするべきかどうかという話になりますね。
私は不正解とすべきだと思いますがどうでしょう？

また、その論を認める場合、303/320 を 6060/6400 とみなすことで 1966 など別の解も認められてしまいますね。
極端には 303/320 を (
303/98.3)/(320/98.3) と見做せば 1 も解になり、この問題の答えは「任意の整数」になるかと思います。

図での
AD=a,BC=b,CD=c,AB=xとおいて,この4つが整数となれる組合せ調べたら
(a,b,c)=(1,4,7)->x=9
=(2,5,7)->x=10
=(3,6,7)->x=11
=(4,7,7)->x=12
=(5,8,7)->x=13
=(6,9,7)->x=14
=(7,10,7)->x=15
　　　　･････････････
一般に(a,b,c)=(n,n+3,7)->x=n+8 (n=1,2,3,･･･)

または
(a,b,c)=(1,6,7)->x=9
=(2,7,7)->x=10
=(3,8,7)->x=11
=(4,9,7)->x=12
=(5,10,7)->x=13
=(6,11,7)->x=14
=(7,12,7)->x=15
　　　　･････････････
一般に(a,b,c)=(n,n+5,7)->x=n+8 (n=1,2,3,･･･)

c=7と設定しておくことがポイントになりそうです。

c=13 や c=19 でも可能なのでは。
おそらく 6n+1 型素因数を少なくとも 1 つ持っていることが条件じゃないでしょうか。

確かに6*n+1型の数は

7^2=3^2+8^2-3*8
=5^2+8^2-5*8

13^2=7^2+15^2-7*15 =>(a,b,c)=(n,n+8,13)->x=n+15 (n=1,2,3,･･)
=8^2+15^2-8*15 =>(a,b,c)=(n,n+7,13)->x=n+15 (n,1,2,3,･･)が構成できる。

19^2= 5^2+21^2- 5*21 =>(a,b,c)=(n,n+16,19)->x=n+21 (n=1,2,3,･･)
=16^2+21^2-16*21 =>(a,b,c)=(n,n+5,19)->x=n+21 (n=1,2,3,･･)

25^2=25^2+25^2-25*25(これは例外）

31^2=11^2+35^2-11*35=>(a,b,c)=(n,n+24,31)->x=n+35 (n=1,2,3,･･)
=24^2+35^2-24*35=>(a,b,c)=(n,n+11,31)->x=n+35 (n=1,2,3,･･)
以下同様
37^2= 7^2+40^2-7*40
=33^2+40^2-24*40

43^2=13^2+48^2-13*48
=35^2+48^2-35*48

49^2=16^2+55^2-16*55
=39^2+55^2-39*55

･･････････

と60°の角度を有する三角形の三辺を与えていく２組を
与えてくれますね。

理論的に計算する方法はわかりませんでしたので、
プログラムを作って調べました。その結果は
人数100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000人に対して
(s,w)=(24, 97),(142, 997),(1015, 9997),(7986, 99997),
(66164, 999991),(565513, 9999985),(4944199, 99999967)
となりました。

管理人さんからのコメントで
単純にくじ引きで、２４人の当選者を決めてもらった方が、並ぶ人の感情としては納
得できると思うのだが．．．。

とありましたが、せっかく早く並んでいた1,2,3あたりの人が籤で当たらなかったら、それこそ不満が溜まりそうです。
これだと比較的早く並んだ方の人が選ばれやすい傾向を持てる気がしたので、このストーリーで表現していました。

20桁だと条件を満たすものが44個もあります。
桁数の最大は25桁で、値は
3608528850368400786036725
です。

44個の中に偶数の数だけのdigitsで構成されたものはありますか？

1つだけありました。
48000688208466084040です。

ちなみに、桁数別の個数は以下のようになります。
1桁: 9個
2桁: 45個
3桁: 150個
4桁: 375個
5桁: 750個
6桁: 1200個
7桁: 1713個
8桁: 2227個
9桁: 2492個
10桁: 2492個
11桁: 2225個
12桁: 2041個
13桁: 1575個
14桁: 1132個
15桁: 770個
16桁: 571個
17桁: 335個
18桁: 180個
19桁: 90個
20桁: 44個
21桁: 18個
22桁: 12個
23桁: 6個
24桁: 3個
25桁: 1個

この数列は↓こちらにありましたが、
http://oeis.org/A143671
こちらでは1桁の「0」も入れているようで、1桁が10個になっています。

もともとこの疑問に突き当たったのが
1～９の数字を一個ずつ含む9桁の数があり
「上k桁がkの倍数」(k=1～9)
を満たすものを探すと381654729である。

という記事でした。
何とかこれをプログラムを使って探し出そうと試みて
苦心惨憺の末5分ほどの運用時間で結果が手に入った。
実行させる前に9!の全順列を準備したり、上からk桁で
切り取る作業をやらせたりと、言ってみれば全検索を
掛けた上での作業でした。

これらについて更に調べてみると、別にプログラムに頼らずとも
論理的に導けている記事もありました。

そしてそこに話題が広がり
例の偶数{0,2,4,6,8}だけを使った20桁の整数（48000688208466084040)
が紹介されていました。

はて9桁でもあんだけ候補がありながら、これが20桁ともなると
5^20 = 95367431640625
ととても全検索を掛けようにも時間がいくらあっても無理だ！

そこで例の出題になったという経緯でした。


それに対し、らすかるさんのこの結果です。
これが如何に天文学的膨大な対象を処理されているか、想像しただけでも
腰が抜けそうです。
しかも半日もかからない時間で処理済みとなっている。

コンピュータさえあれば計算はあっという間に出来るだろうと思われるかも
知れませんが、そのオーダーが25桁などの桁になれば、とてもとても時間が
かかります。

以前コンピュータが高性能なのだろうと思っていたら、らすかるさんから
普通の使用のものを使っていますとの返事を頂いているので、これは正しく
プログラム力の成せる技でしかありません。（しかし神業としか思えません。）

もしかして、論理的に出せる数値なんですか？

論理的に出すのは候補が多すぎておそらく大変だと思います。
上から1桁ずつ増やして条件に当てはまるものだけその下の桁を
処理するようにすれば、時間は大してかかりません。
1桁目は1～9の9通り
2桁目は1桁目の9通りに対して各5通りなので2桁目までで45通り
3桁目はその45通りに対して3の倍数になるものなので150通り
（最初の2桁で合計が3の倍数である
　12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96
　の15個は3桁目が0,3,6,9の4通り、残りの30個は3通りずつなので
　15×4+30×3=150通り）
4桁目は3桁目が偶数なら0,4,8の3通り、奇数なら2,6の2通り→375通り
5桁目は0か5なので4桁までの2倍の750通り
・・・
ちなみに私が作ったプログラムの実行時間は
全桁数全通りで約0.13秒です。

らすかるさんの全桁数全通りで約0.13秒です。
のコメントを見て、改めてプログラムを見直してみたら
全体から選ぶんじゃなく、その条件を満たす数を小さい順に構成していけばいいんだ！
という決定的にお門違いの攻め方をしていたことに気付きました。
改めてプログラムを組んでみたら（３行程度）まさに1秒もかからない時間で
各桁の個数と具体的整数をすべて計算してくれますね。
25桁までは存在し、その後は構成できないとは初めて認識できました。