😊出会いの泉😊

ω^3=1を、成分にもつ、行列かな？

私も真似させてもらって

4行4列の単位行列を Ｅとします。
V,W,X,Y,Zを、成分が複素数であるところの
4行4列の行列とします。
ａ、ｂ、ｃ、ｄ、e を実数（スカラー）とします。

任意の ａ、ｂ、ｃ、d、 e について
(ａ^2 )*Ｅ = (ａ*V )^2
(ａ^2 +ｂ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)^k*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^(2*k) (k=2,3,4,･････)
が成り立つように
V,W,X,Y,Zを一組見つけて下さい。

掲示板における行列の表記法がよくわかりませんでしたので、OEISの真似をします。

２行２列の単位正方行列Ｅを
[1,0; 0,1]
と書きます。行ごとの delimiter として ; で表すつもりです。

Ｘ = [0, 1 ;1, 0]
Ｙ = [0,-i ;i, 0]
Ｚ = [1, 0 ;0,-1]

としておくと、任意の実数 a,b,c について

(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2)*Ｅ = (ａ*Ｘ +ｂ*Ｙ +ｃ*Ｚ)^2

となります。

パウリ行列として知られているようです。

四元数のi,j,kを用いると
a^2+b^2+c^2= - (a*i + b*j + c*k)^2
としていいのかな？

GAIさんによる次のお題につきまして。

(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)*Ｅ = (ａ*Ｖ +ｂ*Ｗ +ｃ*Ｘ +ｄ*Ｙ)^2

Ｖ = [0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
Ｗ = [0,0,0,-i; 0,0,i,0; 0,-i,0,0; i,0,0,0]
Ｘ = [0,0,1,0; 0,0,0,-1; 1,0,0,0; 0,-1,0,0]
Ｙ = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,-1]
とするとよいようですね。

上は、物理学者ディラックが示したものを、GAIさんの表現にあわせたものです。
ディラックは先述のパウリ行列を拡張しました。

Z=[0,0,i,0;0,0,0,i;-i,0,0,0;0,-i,0,0]
で行けると思います。
パウリとディラックはこんな型で繋がっているんですね。

偶数丸めのデメリットについて改めて整理しながら補足すると…

今まで取り扱ってきた「真に取るべき値が決まっているのに，丸めによって発生した誤差によって真の値との誤差が生まれる，それが一方向に累積した結果として不公平を生じる」という問題点に対抗できるのが偶数丸めですね．一方で「真に取るべき値」が不明な（あるいはそれを計算するには計算コストの面で合理的ではない）計算をする場合，手元の結果に上ブレ下ブレどっちが起きているのか分からない（偶数+0.5と奇数+0.5の比率を事前に知る必要があり，丸めの方法だけでは対処できない誤差が生じうる）という問題が残りますね．

ここまで書いて，四捨五入と五捨六入を交互にすれば良いんじゃないかと思いましたが，それは各丸め操作の誤差の重みが毎回同じでないと不公平は解消されないな，とぬか喜びでした．（丸めるデータ列の奇数個目は大きく，偶数個目は小さく見積もられてしまうので）

１数のそれ自身を除く総和を、実際にやってみました。
素数の場合は、１になり、これ以上は連鎖が続きません。
３０→４２→５４→６６→７８→９０→１４４→２３５→４７
となり、９個つながりました。元の数になれば、社交数ですが、
こういった連鎖は、いったい、いくつまで続いているのでしょうか？
詳しい方、ご教授願います。

私は詳しくないですが
↓こちらに詳しく書かれています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A4%BE%E4%BA%A4%E6%95%B0
今のところ見つかっている最長は28個の組らしいです。

gp > S(n)=sigma(n)-n;の計算で起こる経過を見てみると

n=14316から始めて繰り返してみました。
gp > S(14316)
%53 = 19116
gp > S(19116)
%54 = 31704
gp > S(31704)
%55 = 47616
gp > S(47616)
%56 = 83328
gp > S(83328)
%57 = 177792
gp > S(177792)
%58 = 295488
gp > S(295488)
%59 = 629072
gp > S(629072)
%60 = 589786
gp > S(589786)
%61 = 294896
gp > S(294896)
%62 = 358336
gp > S(358336)
%63 = 418904
gp > S(418904)
%64 = 366556
gp > S(366556)
%65 = 274924
gp > S(274924)
%66 = 275444
gp > S(275444)
%68 = 243760
gp > S(243760)
%69 = 376736
gp > S(376736)
%70 = 381028
gp > S(381028)
%71 = 285778
gp > S(285778)
%72 = 152990
gp > S(152990)
%77 = 122410
gp > S(122410)
%78 = 97946
gp > S(97946)
%79 = 48976
gp > S(48976)
%80 = 45946
gp > S(45946)
%81 = 22976
gp > S(22976)
%82 = 22744
gp > S(22744)
%83 = 19916
gp > S(19916)
%84 = 17716
gp > S(17716)
%85 = 14316

以上28回で元に戻ってきました。
なお14316を起こす事前の数は
S(7524)=14316
の様です。

> ３０→４２→５４→６６→７８→９０→１４４→２３５→４７
> となり、９個つながりました。

144の次は259だと思います。

らすかるさん、ありがとうございます。
30→４２→５４→６６→７８→９０→１４４→２５９→45→
33→15→9→4→3→1

tanの加法定理で計算していくだけですが、かなり長いです。
x=-arctan(1/88942800178226109582168404411725)
+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
とおくと
tan(x)={tan(-arctan(1/88942800178226109582168404411725))
+tan(arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882))}
/{1-tan(-arctan(1/88942800178226109582168404411725))
*tan(arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882))}
=(-1/88942800178226109582168404411725
+1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
/(1+1/88942800178226109582168404411725
*1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
=-9489/843978230891187553825195990678004927
なので
-arctan(1/88942800178226109582168404411725)
+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
=-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)

x=-arctan(1/54838715017299308)-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)
とおくと
tan(x)={tan(-arctan(1/54838715017299308))
+tan(-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927))}
/{1-tan(-arctan(1/54838715017299308))
*tan(-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927))}
=(-1/54838715017299308-9489/843978230891187553825195990678004927)
/(1-1/54838715017299308*9489/843978230891187553825195990678004927)
=-377467/20699805241434905130131
なので
-arctan(1/54838715017299308)-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)
=-arctan(377467/20699805241434905130131)

x=-arctan(1/99368343)-arctan(377467/20699805241434905130131)
とおくと
tan(x)={tan(-arctan(1/99368343))+tan(-arctan(377467/20699805241434905130131))}
/{1-tan(-arctan(1/99368343))*tan(-arctan(377467/20699805241434905130131))}
=(-1/99368343-377467/20699805241434905130131)
/(1-1/99368343*377467/20699805241434905130131)
=-1519876048/151027564181484889
なので
-arctan(1/99368343)-arctan(377467/20699805241434905130131)
=-arctan(1519876048/151027564181484889)

x=arctan(1/142057)-arctan(1519876048/151027564181484889)
とおくと
tan(x)={tan(arctan(1/142057))+tan(-arctan(1519876048/151027564181484889))}
/{1-tan(arctan(1/142057))*tan(-arctan(1519876048/151027564181484889))}
=(1/142057-1519876048/151027564181484889)/(1+1/142057*1519876048/151027564181484889)
=1466625710157/208642724182192949
なので
arctan(1/142057)-arctan(1519876048/151027564181484889)
=arctan(1466625710157/208642724182192949)

x=arctan(1466625710157/208642724182192949)
とおくと
tan(2x)=2tan(arctan(1466625710157/208642724182192949))
/{1-(tan(arctan(1466625710157/208642724182192949)))^2}
=(2*1466625710157/208642724182192949)/{1-(1466625710157/208642724182192949)^2}
=306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976
なので
2arctan(1466625710157/208642724182192949)
=arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)

x=arctan(1/275807)
+arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
とおくと
tan(x)={tan(arctan(1/275807))
+tan(arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976))}/{1-tan(arctan(1/275807))
*tan(arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976))}
=(1/275807+306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
/(1-1/275807*306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)=1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239
なので
arctan(1/275807)
+arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
=arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)

x=arctan(1/28)
とおくと
2x=arctan(2(1/28)/(1-(1/28)^2))=arctan(56/783)
4x=arctan(2(56/783)/(1-(56/783)^2))=arctan(87696/609953)
5x=arctan((87696/609953+1/28)/(1-87696/609953*1/28))=arctan(3065441/16990988)
10x=arctan(2(3065441/16990988)/(1-(3065441/16990988)^2))
=arctan(104169742491416/279296744691663)
11x=arctan((104169742491416/279296744691663+1/28)/(1-104169742491416/279296744691663*1/28))
=arctan(3196049534451311/7716139108875148)
22x=arctan(2(3196049534451311/7716139108875148)/(1-(3196049534451311/7716139108875148)^2))
=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
よって
22arctan(1/28)=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)

そして
x=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
+arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
とおくと
tan(x)={tan(arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183))
+tan(arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239))}
/{1-tan(arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183))
*tan(arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239))}
=(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183
+1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
/(1-49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183
*1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
=1
なので
arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
+arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
=arctan(1)
=π/4

らすかるさん、大変ありがとうございました。

考えられる色々なパターンで
(12+13*√3)/15=2.3011106998930･･･
が最大かなと思いますが、絶対ですか？
と言われれば自信はありません。

残念ながらそれは最大ではありません。
例えば一つの頂点を(0,2)として残りの2頂点をx軸上に置くだけで
その値より大きくなりますね。

あら～
基本的な形状からこの値を軽く超えてしまうとは･･･

では次の記録として
3*√3/2(=2.5980762113533･･･)
は出来ましたが、最大値と言えるのか？

それより大きいものがあります。
その三角形はちょっとスライドさせれば大きくできますね。

再挑戦
(15+14*√3)/12(=3.270725942163690･･･)

手計算なので計算ミスが起こっているかも･･･

大丈夫です。計算にミスはありません。
私は最初、その値が最大だと思っていました。
しかしさらに計算していくと、それは最大ではないことがわかりました。
そこから先の計算が大変でした。
# 何かうまい方法があればひょっとすると簡単になるのかも知れませんが、
# 少なくとも単純に考えて計算していくと結構面倒です。

これ以上の三角形が存在できるのか！
信じられないですね～
大きさでは小数点以下の変化位なものですか？　それとも整数部のオーダーも変化してしまう位なのですか？

小数点以下です。最大は3.3ちょい。

3.30020486367181･･････
位ですか？

もう少し大きいです。3.309…

コンピュータの数値計算の繰り返しで最大値になるものを絞り出す方法なので、時間をかける割にはこの程度の精度ですが
3.30940107･･･
辺りでしょうか？

証明はしていませんが、3.3ちょいの値は出ました。
結果だけ見るとシンプルに書けますね。
この答えが正しければ、普通の電卓でキーを7回叩けば数値が出ます。
最大の証明はどうすればいいんだろう。

> 3.30940107･･･辺り
正解です。厳密値は(4√3+3)/3=3.3094010767585…です。

図で正三角形の内部の点を原点とすると
直線AB: y=(2+√3)x/3+1
直線BC: y=(3-2√3)(x-1)/3-1
直線CA: y=-(6+√3)(x-1)/3
点A: ((9+√3)/26,11(9+√3)/78)
点B: ((9-25√3)/26,(21-41√3)/78)
点C: ((35+√3)/26,-(19+5√3)/26)
一辺の長さ: (2/3)√(12+3√3)=2.764549…
面積: (4√3+3)/3=3.309401…
のようになります。
普通の図形問題のパターンだと三角形がもっと安定する向きで
最大になりそうな気がしますが、この問題ではなんとも中途半端な
向きで最大になりますので、珍しいですね。

この角度で最大になることの証明は、以下のようにできます。
まず原点だけを含むように正三角形を回転することを考えます。
対称性から、回す角度は15°だけで十分であることがわかります。
図で、直線ABがy=x+1である向きから直線BCがy=-1である向きまでの
15°を考えます。
（AB上に(0,1)、BC上に(1,-1)、CA上に(1,0)があるように回します）
確か直線ABがy=x+1のときの値がGAIさんがNo.411で書かれた値の
(15+14√3)/12=3.27…ですよね。
そして直線BCがy=-1である向きのときは (3+2√3)/2=3.23…で
上の中途半端な角度で3.30…ですから、少なくともこの15°の途中に
最大値があることがわかりますね。
次に上記の角度で最大値をとることの証明の肝の部分ですが、
まず(1,0)・A・(0,1)のなす角が60°であることから
Aは必ず点((3+√3)/6,(3+√3/6))を通り半径が√6/3である円上にあることが
わかります（この円は(1,0)と(0,1)を通ります）。
同様に、Cは必ず点((6+√3)/6,-1/2)を通り半径が√3/3である円上にあることが
わかります（この円は(1,0)と(1,-1)を通ります）。
（いずれの円も、図の9点の格子点を使って容易に作図できます。作図方法は※1※2）
そして(1,0)を通る直線と2円との(1,0)でない方の交点を結んだ線分の長さが
最大になる向きが答えになるわけですが、実はこれは2円の中心を結んだ直線と
平行になるときが最大であることがわかります(※3)。
それにより、上記の(4√3+3)/3が最大となります。

※1
点Aの軌跡となる円の作図
「(-1,0)を中心として(0,1)を通る円と(0,1)を中心として(-1,0)を通る円の
交点のうちyが大きい方(-(1+√3)/2,(1+√3)/2)と(0,1)を結んだ直線」と
「(0,-1)を中心として(1,0)を通る円と(1,0)を中心として(0,-1)を通る円の
交点のうちyが小さい方((1+√3)/2,-(1+√3)/2)と(1,0)を結んだ直線」との
交点を中心とし、(1,0)を通る円を描けばよい。

※2
点Cの軌跡となる円の作図
「(0,0)を中心として(1,0)を通る円と(1,0)を中心として(0,0)を通る円の
交点のうちyが大きい方(1/2,√3/2)と(1,0)を結んだ直線」と
「(0,-1)を中心として(1,-1)を通る円と(1,-1)を中心として(0,-1)を通る円の
交点のうちyが小さい方(1/2,-1-√3/2)と(1,-1)を結んだ直線」との
交点を中心とし、(1,0)を通る円を描けばよい。

※3
「円Pと円Qが2点A,Bで交わり、点Aを通る直線と円P,QとのA以外の交点を
B,Cとするとき、線分BCが最長になるのはBC//PQのときである」
という命題は、三角関数を使って強引に証明することはできましたが、
おそらく幾何学的な証明ができればそんなに長くはならない気がします。
どなたか証明できればお願いします。
（既知の定理の場合は名前だけでも結構です）

らすかるさん
> （AB上に(0,1)、BC上に(1,-1)、CA上に(1,0)があるように回します）

これらの点（あるいはその対称移動）を通らない正三角形が最大になることがないのはどのように言えばよいのでしょう。

わたしが証明していないといったのは、この配置以外の正三角形を検討していないからです。
図を眺めていれば感覚的にはわかるのですが、言葉にするのが難しいなと思って。

ではきちんと整理します。
前提は「原点のみを内部に含む正三角形」です。
・各辺上（端点を除く）に少なくとも1点ないと最大にならない
（格子点を通らない辺の方向に拡大できるから）
・各辺上にある格子点は原点のまわりの8点に限られる
（それより外側の点を通ると原点以外の格子点を内部に含んでしまう）
4点(±1,±1)について
・対角の2点を通ると原点以外の点を含んでしまうので不適
・隣接2点を通る場合の面積の最大値は(3+2√3)/2=3.23…なので最大ではない
（隣接2点が異なる辺上にあると原点以外を含んでしまうので同一辺上の必要がある）
・従って面積が最大となるとき、角の4点は通っても最大1つ
・角の4点を一つも通らず、残りの4点中3点を(1辺に1点として)通る場合は、
一応そのような正三角形は存在するが、面積が3(17889+10694√3)/34810=3.138…
未満になるので最大にはならない
（ABが(0,1)を通りBCが(0,-1)を通りCAが(1,0)を通るとして計算しました）
従って面積が最大となるとき、角の4点のうちちょうど1点を通る
これを(1,-1)としてよい。またBCがこの点を通るとしてよい。
このとき考えられるパターンは
(1)ABが(-1,0)を通りCAが(0,1)を通る
(2)ABが(-1,0)を通りCAが(1,0)を通る
(3)ABが(0,1)を通りCAが(1,0)を通りBがy=x+1より上
(4)ABが(0,1)を通りCAが(1,0)を通りBがy=x+1より下
の4通り

(1)の場合
直線BCがy=-1に一致しABが(-1,0)を通りCAが(0,1)を通る形（このとき面積は
(3+2√3)/2=3.23…）から(-1,0)と(0,1)と(1,-1)を通ることを変えずに
三角形を右回転していく（Cが(1,-1)に一致するまで）と、Bと(1,-1)の距離と
Cと(1,-1)の距離はどちらも短くなっていくので、面積は最大にならない。
（BCが短くなっていくのは、BとCの軌跡の円を描けば自明です）

(2)の場合
ABが(-1,0)と(0,1)を通り、CAが(1,0)を通り、BCが(1,-1)を通る形
（このとき面積は(15+14√3)/12=3.27…）から
(-1,0)と(1,0)と(1,-1)を通ることを変えずに三角形を右回転していく
（Cが(1,-1)に一致するまで）と、Aと(1,0)の距離及びCと(1,0)の距離はどちらも
短くなっていくので、面積は最大にならない。
（CAが短くなっていくのは、AとCの軌跡の円を描けば自明です）

(3)の場合
BCが(-1,0)と(1,-1)を通り、CAが(1,0)を通り、ABが(0,1)を通る形
（このとき面積は上に書いた3(17889+10694√3)/34810=3.138…）から
(0,1)と(1,0)と(1,-1)を通ることを変えずに三角形を右回転していく
（Cが(1,-1)に一致するまで）と、上と同様にCAは短くなっていくので、
面積は最大にならない。

(4)の場合
前レスに書いたとおりで、この場合に最大値をとります。
従って(4√3+3)/3が最大値です。

手探りで最大面積を微妙に数値を変化させながら、とても探していくのに
時間が掛かっていたので何とか一発で辿り着けないものかと挑戦してみました。

正三角形の内部に唯一含まれる格子点の周りの8個の格子点の
どこを通らせる３つの直線が有効であるかを決定するまでの
前段階が長い道のりがかかるが、もし内部の格子点を(1,0)
と指定しておけば（らすかるさんは(0,0)とされていた。）
囲む３つの直線を格子点
P(0,0),Q(0,-1),R(1,1)で指定してやれば良く、それぞれの
点を通る直線の傾きをm1,m2,m3で表せば
Pを通る直線はy=m1*x･････････････①
Qを通る直線はy=m2*x-1･･･････････②
Rを通る直線はy=m3*x+1-m3･･･････⓷

①,②の交点をA
②,③の交点をB
③,①の交点をC
で表すと
A(1/(m2-m1),m1/(m2-m1))
B((2-m3)/(m2-m3),(m2+m3-m2*m3)/(m2-m3))
C((1-m3)/(m1-m3),m1*(1-m3)/(m1-m3))
となり、(1,0)を取り囲む三角形の各頂点に相当する。

ここに△ABCが正三角形をなすことから
m1,m2には
(m1-m2)/(1+m1*m2)=tan(Pi/3)=√3
よって
m2=(m1-√3)/(√3*m1+1)
同じく
m1,m3には
(m3-m1)/(1+m3*m1)=√3
よって
m3=(√3+m1)/(1-√3*m1)
の関係式が成立する。

これを使えば、点A,Cの座標は
A(-(√3*m1+1)/(√3*(m1^2+1)),-m1*(√3*m1+1)/(√3*(m1^2+1)))
C((√3-1+(√3+1)*m1)/(√3*(m1^2+1)),m1*(√3-1+(√3+1)*m1)/(√3*(m1^2+1)))
とm1のパラメータのみで表せ,
２点A,Cの距離Lは
L^2=AC^2=((2*√3+1)*m1+√3)^2/(3*(m1^2+1))
そこでm1の部分を変数xにして

f(x)=((2*√3+1)*x+√3)^2/(3*(x^2+1))

なる分数関数の増減を調べる。

例により微分すると(計算が結構大変）
f'(x)=-2*(6+√3)*(x^2-2/33*(24+7*√3)*x-1)/(3*(x^2+1)^2)
=-2*(6+√3)*(x-(6+√3)/3)*(x+(6-√3)/11)/(3*(x^2+1)^2)
f'(x)=0　から
x=(6+√3)/3,-(6-√3)/11
増減を調べてx=(6+√3)/3でf(x)は極大で最大値を与える。
したがって求める最大の三角形の面識Sは

S=1/2*L^2*sin(Pi/3)=1/2*f((6+√3)/3)*√3/2=(3+4*√3)/3(=3.309401076758503･･･････)

と求められました。
ちなみにA,B,Cの各交点を複素平面上で、Z1,Z2,Z3
Z1 = 1/(m2 - m1) + m1/(m2 - m1)*I
Z2 = ((-m3 + 2)/(m2 - m3)) + (((-m3 + 1)*m2 + m3)/(m2 - m3))*I
Z3 = ((-m3 + 1)/(m1 - m3)) + (-m3 + 1)*m1/(m1 - m3)*I
に置き換え
正三角形をなすであろう
m1=(6+sqrt(3))/3
%946 = 2.5773502691896257645091487805019574557
m2=(m1-sqrt(3))/(sqrt(3)*m1+1)
%947 = 0.15470053837925152901829756100391491130
m3=(sqrt(3)+m1)/(1-sqrt(3)*m1)
%948 = -1.2440169358562924311758154471686241223
の数値を
FR(m1,m2,m3)=real(Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1*Z2-Z2*Z3-Z3*Z1)
FI(m1,m2,m3)=imag(Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1*Z2-Z2*Z3-Z3*Z1)
へ代入すると

gp > FR(m1,m2,m3)
%949 = 6.281303159995074080 E-38
gp > FI(m1,m2,m3)
%950 = -3.589316091425756617 E-38

つまり管理人さんが今整理されてある複素数の底力にある記事

ガウス平面上の異なる３点 α、β、γ について、△αβγ が正三角形であるための
必要十分条件は、
　　　　　　　　α^2＋β^2＋γ^2－αβ－βγ－γα＝０
に合致しました。

実はこのことを利用して数値的に最大値の面積を探りにいっていました。

らすかるさん、詳しい説明をありがとうございます。
まだざっと読んだだけなので、後でしっかり読み込もうと思います。
思った通り、というよりも思った以上に大変そうです。



No.421 の ※3 の証明

二つの円の中心P,Qから直線BCに下ろした垂線の足をそれぞれD,Eとすると、BC=AB+AC=2*AD+2*AE=2*DE。
点Pから直線QEに下ろした垂線の足をFとすると四角形PDEFは長方形なので、DE=PF。
直角三角形PQFで三平方の定理より、PF=√(PQ^2-QF^2)。
以上から、BCが最大となるのはQとFが一致するときで、このときBC//PQ。

思いついてみれば単純でした。

> No.421 の ※3 の証明

おぉ！こんなに単純だったんですね。
ありがとうございます。とてもすっきりしました。
最長のときBC=2PQというのも知れてよかったです。

> 思った通り、というよりも思った以上に大変そうです。

そうですね。あれでも細部は説明が大変で省略してしまっていますので、
すべての詳細を書いたらさらに数倍大きくなりそうです。
もっとも、私の証明が下手でもっと簡潔に示す方法がある気もしますが。

せっかくなので、私が
「AB上に(0,1)、BC上に(1,-1)、CA上に(1,0)」
と等価な配置における最大面積を求めた時の計算過程を載せておきます。
といっても、座標で一辺の長さを出して微分で停留点を求めるという面白みのない方法ですが。
それでも運よく(?)二重根号が外れたり約分ができたりして楽しかったので。

図のように正三角形の一辺ABをx軸上にとり、格子点を回転させる。
AB上の格子点を(0,0)とする。
x軸正の向きから測った正三角形内部の格子点方向の角度をθとする。
θの範囲は 30°≦θ≦45°になる。
辺BC上の格子点の座標は (√5*cos(θ+α),√5*sin(θ+α)) 、
辺CA上の格子点の座標は (√2*cos(θ+β),√2*sin(θ+β)) となる。
ここで、cosα=2/√5、sinα=1/√5、cosβ=1/√2、sinβ=1/√2 である。
辺BCの傾きは-√3なので、直線BCは y-√5*sin(θ+α)=-√3*(x-√5*cos(θ+α)) 、
辺CAの傾きは√3なので、直線CAは y-√2*sin(θ+β)=√3*(x-√2*cos(θ+β)) となる。
点B,Aはそれぞれの直線のx切片なので、y=0を代入すれば、
B(√5*cos(θ+α)+√5/√3*sin(θ+α),0)、A(√2*cos(θ+β)-√2/√3*sin(θ+β),0) となる。
よって正三角形の一辺の長さf(θ)は、
f(θ)
=(点Bのx座標)-(点Aのx座標)
=√5*cos(θ+α)+√5/√3*sin(θ+α)-√2*cos(θ+β)+√2/√3*sin(θ+β)
=√5*(cosθ*cosα-sinθ*sinα)+√5/√3*(sinθ*cosα+cosθ*sinα)-√2*(cosθ*cosβ-sinθ*sinβ)+√2/√3*(sinθ*cosβ+cosθ*sinβ)
=√5*(cosθ*2/√5-sinθ*1/√5)+√5/√3*(sinθ*2/√5+cosθ*1/√5)-√2*(cosθ*1/√2-sinθ*1/√2)+√2/√3*(sinθ*1/√2+cosθ*1/√2)
=(2*cosθ-sinθ)+1/√3*(2*sinθ+cosθ)-(cosθ-sinθ)+1/√3*(sinθ+cosθ)
=(1+2/√3)*cosθ+√3*sinθ
微分 f'(θ)=-(1+2/√3)*sinθ+√3*cosθ が0になるのは、
tanθ=√3/(1+2/√3)=3*(2-√3) のときであり、これは 30°≦θ≦45°の範囲にある。
f'(30°)=1-1/√3>0 、f'(45°)=-1/√2*(1-1/√3)<0 なので、その間は上に凸で極大点となる。
※ f''(arctan(3*(2-√3))=-f(arctan(3*(2-√3))<0 (∵fは長さで正だから) なので極大とした方がかっこよかったかも。
θm=arctan(3*(2-√3)) とすると、
cos(θm)^2=1/(1+tan(θm)^2)=(16+9*√3)/52
sin(θm)^2=1-cos(θm)^2=(36-9*√3)/52=9*(4-√3)/52
cos(θm)>0, sin(θm)>0 より、
cos(θm)*sin(θm)=3/52*√((16+9*√3)*(4-√3))=3/52*√(37+20*√3)=3*(5+2*√3)/52
よって、このタイプの面積最大の正三角形の面積は、
√3/4*f(θm)^2
=√3/4*((1+2/√3)*cos(θm)+√3*sin(θm))^2
=√3/4*((1+2/√3)^2*cos(θm)^2+2*(1+2/√3)*√3*cos(θm)*sin(θm)+(√3)^2*sin(θm)^2)
=√3/4*((7+4*√3)/3*(16+9*√3)/52+(4+2*√3)*3*(5+2*√3)/52+3*9*(4-√3)/52)
=√3/(4*52*3)*((7+4*√3)*(16+9*√3)+9*(4+2*√3)*(5+2*√3)+81*(4-√3))
=√3/(4*52*3)*(832+208*√3)
=√3*/3*(4+√3)
=(3+4*√3)/3

まつたくの当てずっぽうです。
フィボナッチ数列と関係ありますか？
ヒントをいただきたく存じます。

お詫びと訂正
昔やっていた記憶で手順を記述していましたが、調べ直してみたら記憶に間違いがあり
改めて修正したものを、載せております。
申し訳ありませんでした。

フィボナッチ数列とは全く関係しません。
ただ赤、黒をどの様な配列にしておけば良いかを考えて下さい。
ヒントは
一見バラバラである状態
の言葉にあります。

y=x/(1-x) の全体で「直角双曲線」です。
0≦x＜1の範囲に限定した時の名前はおそらくないと思いますので、
あえて言うとしたら「直角双曲線の一部」ぐらいでしょう。

広義には、代数曲線の二次曲線。
または、円錐曲線（楕円や放物線の仲間）
ｙ＝x/(1-x)=-x/(x-1)=-x/(x-1)+1-1=-x/(x-1)+(x-1)/(x-1)-1
=-1/(x=1)-1 より
漸近線が、y=-1、ｘ＝１で、直角

これとは直線関係ありませんが、似ていて
Aを実数定数とし各A∈[0,4]に対して
区間[0,1]はF(X)=A*X*(1-X)によって[0,1]自身の中に写像される。
Aというパラメータをもつこれらの関数の族はその値の変化がカオス的性質を持ち
Aの値により、とても数学的に面白い性質が発生することで、いろいろ詳しく調べられている様です。
このときこの写像をロジスティック写像と呼んでいるみたいです。

質問を3つほど
１;通常ジョーカーは外すことが多いのですが、この場合は５３枚にしておく必要がありますか？

２;５３枚のデックのほぼ半分を取りだして表と裏とを全部反転し、 残りの半分と併せてシャッフルします。
リフルシャッフルが便利ですし、ヒンズーシャッフルでも可です。
何回かこのシャッフルを繰り返し、････
とありますが、２回目も半分全部をひっくり返してリフルシャッフルしてもいいんですか？

3；リボンスプレッドしたままの状態で、手品師は当てるのですか？
　　当然当てるカードは裏向き状態ですよね。

書き方が曖昧で申し訳ございませんでした。

その１
＞１;通常ジョーカーは外すことが多いのですが、この場合は５３枚にしておく必要がありますか？

⇒私の浅白な理解では５３枚にする必要はないことかと存じます。
（手元では客がより少ない枚数の中から２枚を抜き、スプレッドしたのちに第一のカードを客が裏向きに
伏せて再度挿入したのちに、助手が第二のカードを更に挿入した場合で、手品師が当てるケースを検討し
たものがあります。可能でした。）

　後日にはＷＥＢ上にある元ネタのページのＵＲＬをご案内する所存ですが、元ネタでは５３枚となって
います。実は、上で書いた、枚数少ないバージョンのものは、私がほぼ力業でやり方を作成したものです
が、実際の演技は（変換表を覚えるなどの負荷があり）かなり大変です。ところが元ネタでは、ちょっと
した暗算能力があればできるようになる【コツ】も併せて書いてありました。練習すればできるかもと思
わせてくれました。

その２
＞２回目も半分全部をひっくり返してリフルシャッフルしてもいいんですか？

はい。ひっくりかえしてもらいます。好きなだけ繰り返して表と裏とがどんどんと混ざっていくことを
観客たちが体感することを目的とします。

その３
＞リボンスプレッドしたままの状態で、手品師は当てるのですか？当然当てるカードは裏向き状態ですよね。

おっしゃる通りです。


他にもご質問がございましたら、お願いいたします。

カードが５３枚のケースにいきなり取り組むのは難しいかもしれませんので、今回の投稿では、カード５枚のミニチュアバージョンで、
なんとか辛うじて可能な種明かしをいたします。ただしこのままでは５３枚の場合には使えませんので、あらかじめお詫びいたします。

ジョーカーおよびにスペード、ハート、ダイヤ、クラブの各エース、計５枚に変更してでの手品のやり方です。

まずは別表をごらん頂きます。

――――――
◆別表◆

スペードのＡ
10000
00110
01001
11010
10111

ハートのＡ
01000
00101
10110
11001
01111

ダイヤのＡ
00010
10100
01101
10011
11110

クラブのＡ
00001
01100
10010
01011
11101

ジョーカー
00100
00011
11000
01110
10101
11111
――――――

5ビットの列を26列ぶん、上の別表のように用意します。
手品師およびに助手はこの別表を丸暗記します。

カードが表なら0、裏なら1と約束しておきます。客が第一のカードをリボンスプレッドに挿入した段階では、
まだ4ビットの列です。

助手は第２のカード、すなわち（適宜0/1を選択した）もう1ビットを、リボンスプレッドのなかの適切な位置に
挿入することで、手品師に、どのカードが第一のカードであったかを伝えます。

たとえば、客の第一のカードがダイヤのＡであったとしましょう。
また、第一のカードが挿入された後のリボンスプレッドの様子が次のようであったとしましょう。
0101
助手は別表のなかから
01101を選択します。
0101 のあいだの
01X01
Xであらわした位置に、
1 を挿入すれば
01101
となるからです。助手がロッカーにはいり、手品師が目隠しをはずした段階で、手品師は 01101をみて、
ダイヤのＡであったとわかるのです。

任意の第一のカードと、任意の4ビットのリボンスプレッドについて、助手が第二のカード、すなわち
適切に選んだ0または1の1ビットを適切な位置に挿入すれば、 別表に従って助手は手品師に第一の
カードの内容を伝えることができるようになっています。（そのように別表をつくってあります。）

さて、別表暗記方式はカード５枚ではかろうじて出来るかもしれませんけれども、ジョーカーこみの
５３枚の場合では事実上不可能です。
膨大な大きさの別表を暗記することなどはとても出来そうにありません。

さて、どうしたらよいのでしょうか……

今回の別表に内在している仕掛けに気がつければ、５３枚でもできそうなトリックになるかもしれません。

次回の投稿では、このカードマジックの出典ＵＲＬをご案内いたします。

時間があれば、タネ探しを試みているのですが
カードの情報としては表向き(0)か裏向き(1)なのでこれでカードを当てるためには
マーク（４タイプ）で2ビット、数字(1～13）で4ビット計6ビットの識別が必要なんだが、客が行うランダムシャッフル
のために並ぶカードは千差万別なる配列となり、しかも助手が挿入したカードがどれになるのか分からなくなりそうで、
通常ではとても不可能に近い条件に見えます。
これでカードを当てるためには、表向きのカードは対象から外せるのだから、通常約半数の裏向きカードの中に隠れた
（極端な話シャッフルの結果全部のカードが表向きや裏向きになる事って起こり得ませんかね？、それでも当てられる？）
客のカードのマークと数字を、助手が差し込んがカードの位置と、表か裏かの情報から得るしか手は無いと思われる。
当てる人は助手がどこにカードを差し込んでいるのかをどのようにして判断できるのか全くわかりません。
表裏が連続する部分は一括して一枚と解釈しておけば、上から5つ分は例として示してある配列のどれかに当てはまりそうですが
5枚に対してはその解決方法がありそうなので（まだ詳しくは確認してませんが・・・）、その手を使って助手がカードを差し込めば
何とかなるんではと思っています。でも数字の値はどうするのだろう？
なにか排他的論理和と関係あるような気もしますがいまいち構造がわかりません。

そろそろ解説のほどお願いします。

https://mathlog.info/articles/1342

こちらに詳細な解説があります。

全49枚で3回ほど試しましたがいずれも成功しました。そろばん4級なわたしでも、4枚減らせばジユウブンニ実行可能でした。

Dengan kesaktian Indukmu さん、掲示板に書き込みができるようになったんですね!
おめでとうございます。今後ともよろしくお願いいたします。

管理人さん、ありがとうございます。
新掲示板になつてからこれまで、代理で投稿をしていただきましたこと、本当にありがとうございました。

いまだネット環境の再構築中です。
ブルートゥースのキーボードがうまくつながらず、入力もままなりません。
全角半角の切り替えもできずしんでいます。

ブックマークが全部とんだので、残念です。

これからも、お邪魔いたします、宜しくお願いいたします。

VT符号の定義が
数の分割法を与えるもの
自然数nを負でない整数(x1,x2,x3,･･･,xn)で
ｘ1+2*x2+3*x3+･･･+n*xn==ｎ
の方法が何個あるかを対応させるものに似ていて
また異なった構造が発生してくるのが面白いです。

紹介されたリンクで完全には理解していないと思いますが
例えば11枚の表裏が入り混じったカードの配列がどうあれ(2048通りもある)
これにもう一枚のカードを表にするか、裏にするかは自由に選択でき
始めの配列に対して適切な場所にカードを差し込めば(計12枚)、示し合わせた
第三者に必ずカードの配列で1から13の数字のどれかを伝えることができる。
但し何処にカードを表向きか裏向きかを即座に判断し差し込むのは手早い計算と経験を
必要としそうです。

したがって元々の52枚の正規のトランプで表裏が入れ混じったランダムなカードの場合、
客が選んだカードの数字は助手Aがジョーカーをもう一枚追加させ、特にリボンスプレッド
された始めの11枚の表裏の構造をみて、適切な位置に差し込めば助手Bに伝えるはできますが
そのマークまでは伝えられないのではないかと思われます。
マークまで当てるためには正に52枚の配列状況を全部使わないといけなくなり、とても暗算に
頼ることは困難になりそうですが･･･(解決の方向性が違っているかも知れませんが)


マークまで当てられる方法を
１～６までの数字を持つ
マークがD,C,H,S(ダイヤ,クラブ,ハート,スペード)を持つ計24枚の場合について
次の場面での解説をお願いします。

①24枚のカードが表裏ばらばらで配列されている。
②客はこの中の任意のカードを選んで、再びカードを裏向きで返す。
(客にここでシャッフルさせても構わない。もしこれが可能なら入れて下さい。）
③リボンスプレッドされた24枚にもう一枚のジョーカー(ジョーカーには拘らなくても
　通常のカードでもよいと思う。）を助手Aがもち、
　適切な位置に入れる。カードの順番が狂わぬように揃える。
④助手B(②,③の時はその場にいない。)が現れ、25枚のカードの束を
テーブルにリボンスプレッドする。
その配列状況を見て客が選んだカードのマークと数字を当てる。

（追伸）
あれこれ実験してみてやっと理解できました。
この例を行うには24枚のカードを裏表を取り混ぜてまず勝手にシャッフルさせて
リボンスプレッドしてみる。
客にカードを一枚選ばせる。
それをどこでもいいので裏向きで戻させるとそれを更に勝手にシャッフルさせて構わない。
（本人もどこにあるのかわからなくなる。しかし助手Aはカードの名前は知っている。）
再びカードをリボンスプレッドした時、裏向きカードは1、表向きのカードは0で読み
24個の0,1で作られる配列ができる。
例としてこれを
gp > M=vector(24,i,random(2))
%231 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
でランダムに構成して置く。
Mの先頭に1を挿入して
gp > Ma=concat([1],M)
%232 = [1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
gp > sum(i=1,25,i*Ma[i])%26
%233 = １４
と
Mの最後尾に0を挿入して
gp > Mb=concat(M,[0])
%234 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
gp > sum(i=1,25,i*Mb[i])%26
%235 = ２
を計算して置く。

そして2人の助手A,Bは数字とカードの名前を
D;1,2,3,4,5,6を１，２，３，４，５，６
C;1,2,3,4,5,6を７，８，９，１０，１１，１２
H:1,2,3,4,5,6を１３，１４，１５，１６，１７，１８
S:1,2,3,4,5,6を１９，２０，２１，２２，２３，２４
と対応させておく。
もし客のカードがD6ならこのカードのコードは６なので上の２つの数１４と２では２がより近いので
はじめの配列Mに対し0の数字を右端から入れて行くとき、異なる配列ができるものを考えると
M＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1] に対し
M2＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
M3＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1]
M4=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1]
M5＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M6=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
と作られていき、このM6が
gp > sum(i=1,25,i*M6[i])%26
%237 = 6
と確かにコード値６を作れる。
即ち助手Aはもう一枚のカードを表向きにMの配列の後ろから9と10番目の間に挿入する作業をすればよい。

次に客のカードがH5ならコード数は１７であるので１４に近くなる。
そこで1の数字をMの配列で左端から右側へ入れて行くことをやっていくと数字が一つずつ増加する。
M=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M14=[1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M15=[1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M16=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M17=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
これでsum(i=1,25,i*M17[i])%26
%239 = １７
が復元される。

注意点で0や1の数字をずらしながら構成していくときそれから構成するVT(23)の符号がトランプのコード値
を越えてしまうこともある。（２５，２６≡0 (mod 26))
この値が当てはまる配列は飛ばすことになるので、カード挿入時それを考慮しておくこと。

この原理はトランプ数が正規の52枚でも通用するので、表裏混在のカードで、客のカードを1～52の数字に対応させておき
この配列に対し助手Aはジョーカーを使い適切な位置に表向き(0)か裏向き(1)の状態でカードを挿入すれば
このカードの配列Maから
sum(i=1,53,i*Ma[i])%54で1～52の数字を必ず作り出すことが、どんな初期配列からでも可能となる。
暗算でこれらの仕組みを処理するには練習、練習ですね。

https://mathlog.info/articles/1342
上の参考資料とはほんの少々味付けが違いますが。

重みベクトルとの内積をここではＬ値と呼ぶこととします。

助手と手品師はともに１回だけ内積の計算をすることとなります。

ミニマムな５枚のトイモデルで例示します。

助手がみた符号が
1010
だとしましょう。

L値は 4 です。

味付けが異なりますが。
カウントアップ系とカウントダウン系とを
私なら用意します。mod 6 で。

◆カウントアップ系
1010
の右端に 0 をつける。
L値は変わらず 4 のまま。

記法を変えます。
所与の4枚については、0または1の代りに、oとiとを使います。５枚目のカードについては
0と1とを使います。挿入位置の変化とL値の変化が視認しやすいようにです。

またL値とビット列とを並べて書くことにします。

4:ioio の右端に0を追加。
4:ioio0

この0を右から左にスライドしていき、
iをまたぎこす都度に、L値をカウントアップします。L値の定義がうまいことになっていますのでこれが可能です。

4:ioio
------
4:ioio0
5:io0io
0:0ioio
これ以上またぎこせません。

◆カウントダウン系
oioiの右端に 1 を追加すると、L値はひとつ減ります。以後 1 を左にスライドしていきoをまたぎこす都度に、L値をカウントダウンします。

4:ioio
------
3:ioio1
2:io1io
1:1ioio
これ以上またぎこせません。

参考資料ではカウントアップのみを使っていますが。

トランプ一式でのマジックをコンピュータ上で再現してみました。
コードはPARI/GPです。

M=vector(52,i,random(2));表裏混在のシャッフル後の設定です。
VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
top=(end+vecsum(M)+1)%54
onemax=vecsum(M)
zeromax=52-vecsum(M)
L=List(M)

（実行部）
M=vector(52,i,random(2))
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]

gp > VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
%425 = 3
gp > end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
%426 = 3 ----------->Mの配列の最後尾に0を追加した符号長53のVT符号は剰余3を構成する。
gp > top=(end+vecsum(M)+1)%54
%427 = 28 ------------>Mの配列の最前列に1を追加した符号長53のVT符号は剰余28を構成する。
gp > onemax=vecsum(M)
%428 = 24　 ------------>Mに含まれる1の個数。
gp > zeromax=52-vecsum(M)
%429 = 28 ------------>Mに含まれる0の個数。
gp > L=List(M);　1,0数字の挿入や削除がやり易いのでリスト形式にしました。

Search0(k)={t=0;}for(i=1,#L,if(L[i]==0,t++;\
if(t==k && t<=52-vecsum(M),print((top+t)%54";"i+1))));リスト中の0の存在位置の調査です。(裏向きカードの挿入位置も)
＊-->右の数字:Mの配列の何処にジョーカーカードを裏向きに挿入したらよいか。
左の数字:差し込んだ後の符号長53のVT符号での剰余の値（=客の選んだトランプのコード値）
gp > for(k=0,zeromax,Search0(k)
29;2
30;3
31;4
32;6
33;9
34;10
35;12
36;13
37;14
38;15
39;16
40;18
41;21
42;23
43;24
44;25
45;28
46;31
47;34 *
48;36
49;37
50;39
51;40
52;42
53;46
0;49
1;51
2;53 *

*印の確認
gp > listinsert(L,1,34);Vec(L)　-->1の数字をLの34の位置に挿入します。
%487 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%488 = 47
＊必ず初期状態に戻しておくこと。！！
listpop(L,34);　-->34の位置にある要素を削除します。

その後次の作業
gp > listinsert(L,1,53);Vec(L)
%509 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%510 = 2
listpop(L,53);

-------------------------------------------------------------------------

Search1(k)={t=0;}forstep(i=52,1,-1,if(L[i]==1,t++;\
if(t==k && t<=onemax,print((end+t)%54";"i))))　;リスト中の1の位置を調査します。(表向きカードの挿入位置も）
＊-->右の数字:Mの配列の何処にジョーカーカードを表向きに挿入したらよいか。
左の数字:差し込んだ後の符号長53のVT符号での剰余の値
gp > for(k=0,onemax,Search1(k))
4;51
5;49
6;47
7;46
8;44
9;43
10;42
11;40
12;37
13;34
14;32
15;31
16;29
17;28
18;26
19;25
20;21 *
21;19
22;18
23;16
24;10
25;7
26;6 *
27;4

*印部分の確認
gp > listinsert(L,0,21);Vec(L)
%493 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%494 = 20
listpop(L,21);L

gp > listinsert(L,0,6);Vec(L)
%519 =
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%520 = 26
listpop(L,6);L

計算上トランプにない数字53,54(≡0 ;mod (54))が出てくる時が起こるので、それを除外しながら考えなければ
ならないところが面倒でした。
これでたぶん、あらゆる初期条件でも何処にカードを表か裏かを判断して挿入するかが分かってくると思います。

#考えられないような現象を起こせるもんですね！　感激しました。

GeoGebraなどでシュタイナーの内接楕円とシュタイナー楕円を描く方法を載せておきます。


★三角形ABCのシュタイナーの内接楕円
① 辺BC,CA,ABの中点をそれぞれD,E,Fとする。
② 点Fを通り直線ADに平行な直線と直線BEが交わる点をG、
　 点Eを通り直線ADに平行な直線と直線CFが交わる点をHとする。
③ 5点D,E,F,G,Hを通る二次曲線を描く。


★三角形ABCのシュタイナー楕円
① 辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。
② 直線BEとCDの交点をFとする。
③ 頂点Aを通り辺BCに平行な直線と点Fを通り辺ABに平行な直線が交わる点をG、
　 頂点Aを通り辺BCに平行な直線と点Fを通り辺ACに平行な直線が交わる点をHとする。
③ 点Gを通り辺ACに平行な直線と直線BEが交わる点をI、
　 点Hを通り辺ABに平行な直線と直線CDが交わる点をJとする。
④ 5点A,B,C,I,Jを通る二次曲線を描く。


頂点をドラッグして図形が変形するのを見るだけでも楽しいです。
補助点や補助線は非表示にすれば見た目シンプルにできます。