😊出会いの泉😊

面白い問題ですね。

(1) 216 = 3^3 * 2^3, 162 = 3^4 * 2
(2) 592 = 2^4 * 37, 925 = 5^2 * 37
(3) 901 = 17 * 53, 910 = 2 * 5 * 7 * 13
(4)
(5) 180 = 2^2 * 3^2 * 5, 1080 = 2^3 * 3^3 *5
(6) 175 = 5^2 * 7, 1575 = 5^2 * 7 * 3^2
(7) 125 = 5^3, 512 = 2^9
(8) 625 = 5^4, 256 = 2^8
(9) 2401 = 7^4, 1024 = 2^10

(4) だけは理詰めでも当てずっぽうでも厳しそう……。


これも綺麗ですかね。
知らなきゃ難問だと思いますが。

ABC = p^2 * q^2 (p<q)
ACB = r^2
BCA = s^2

管理人様、DD++様
　ご回答ありがとうございます。正解です！

DD++様
　ＡＣ＝p^4　　ですね。
　数字の並びを知っていたら分かりますが、理詰めで解くならば素数の平方が3桁になるものを書き出して絞りそうです。

　(4) については、
　　　ＡＢＣとそのアナグラムが互いに素であれば素因数3を含まないこと、
　　　7*11*13＝1001＞999より、pは2または5であること
　　などを用いれば多少絞り込めますが、最後はしらみつぶしかなと思います。

（追記）
最終的には、
　ＡＢＣ＝p*q*r，　（ＡＢＣのアナグラム）＝s*t*u
のようなものを作りたかったのですが、私が手計算した限りでは存在しませんでした。

(4) 874 = 2 * 19 * 23, 847 = 11^2 * 7

s が　2 桁になるのは想定してなかった……。

(4)の解はもう一つありますね。

DD++様
　ありがとうございます。私の想定解でした。

らすかる様
　ありがとうございます。
　唯一解と思っていましたが、確かに s が２桁の解がもう１つありましたね。

管理人さんの解答である 174 と 147 は、素因数の 3 が重複してるので
「p、q、r、…… は、相異なる
素数とする。」
に反していますね。

DD++さん、ご指摘ありがとうございます。確かに、条件に反していましたね！

ひょっとして、以下の式でしょうか。

1^k+19^k+20^k+51^k+57^k+80^k+82^k ＝ 2^k+12^k+31^k+40^k+69^k+71^k+85^k
( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

※上の式は本日、Google徘徊をしていて偶さかにみつけました。

⇒ Chen Shuwen's Equal Sums of Like Powers Page http://euler.free.fr/eslp/

またもやオイラープロジェクトです。

このドキュメントには「12個の累乗和」も例示されていました……

以前出会った等式の中にa,b,cを任意の自然数とし

(6*a-3*b-8*c)^k+(5*a-9*c)^k+(4*a-4*b-3*c)^k+(2*a+2*b-5*c)^k+(a-2*b+c)^k+b^k
=(6*a-2*b-9*c)^k+(5*a-4*b-5*c)^k+(4*a+b-8*c)^k+(2*a-3*b)^k+(a+2*b-3*c)^k+c^k

(但しk=0,1,2,3,4,5)

というものがありました。
こんなにも自由度がありながら成立できるなんてと思っていろいろa,b,cのパラメータを変化させてみて確かめたんですが
確かに等号が成立していきます。
中にはa,b,cの取り方によってはk=6,7,8,9,10,･･･でも等号OKというものもでてきます。

こんな式をよく思いつきますよね～

貴重な、スペシャルな解を、見つけてくださって、ありがとうございます。
私の、探索の中では、二けた以内の自然数解はありませんでした。
見つけたのは、二組。
（1，19，28，59，65，90，102）
≡（2，14，39，45，76，85，103）
（1，16，26，62，75，105，107）
≡（5，7、37，50，86，96，111）

最初の式が、間違えてました。
ABCD＋ADBC＞＝ACBD　でした
トレミーの不等式でした。
等式の部分が不足してます。

等号が成り立つ⇔（α－β）（γーδ）＝ｋ（αーδ）（βーγ）
⇔（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ）=ーk（実数）
⇔偏角を取ると、０ではなく、１８０°の場合になる
⇔ＡＲＧ（（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ））＝π
⇔ＡＲＧ（α－β/αーδ）＋ＡＲＧ（γーδ/γーβ）＝π
⇔∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝π　対角の和がπ
⇔Ａ、Ｂ、C、Dは同一円周上の点

もし「存在できないことが証明されている」としたら
↓こちらの第5項に「0」が入れられるはずなので、
https://oeis.org/A264764
少なくとも非存在の証明はされていないと思います。

7項の6乗数の総和が6乗数となる式は
GAIさんから御提示頂いた式の他にも、たとえば
1645^6 = 1560^6 + 1299^6 + 864^6 + 702^6 + 618^6 + 430^6 + 150^6
など、幾つかが見つけられているようですね。

こうした式をデータベース化しているサイトがありまして、上記はそこから引きました。
一方
・6項の6乗数の総和が6乗数となる式
・5項の6乗数の総和が6乗数となる式
は、このデータベースには登録されていないようです。

■御参考データベース
Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
http://euler.free.fr/database.txt

このサイトでの情報は物凄いですね。
色々な人が世界各地で膨大な時間を費やして、ふとした疑問に真剣に取り組んでいる有様は佐渡金山や石見銀山に見るような地下に張り巡らされている
鉱脈を掘って突き進む鉱山師の姿を彷彿と思い起こされます。
現代においては個人で掘り進むというより、どれだけ他人が掘った特色や系統を総合的に観察、分類していけるかが重要なんじゃないかと感じてしまう。こんな情報を集めれるリテラシーを鍛えねばと思います。

なおこのデータをソートして観察していたら
taxi cab 的造りで(6,3,3)のパターンが1934年Subba Rao氏が見つけたという
3^6+19^6+22^6=10^6+15^6+23^6
だけしか登録されていなかったので、少し範囲を広げて検索してみたら
36^6+37^6+67^6=15^6+52^6+65^6
33^6+47^6+74^6=23^6+54^6+73^6
32^6+43^6+81^6=3^6+55^6+80^6
37^6+50^6+81^6=11^6+65^6+78^6
などが比較的簡単に探すことができました。

そういえば
Degan さんのペンネームは「モスラの歌」からきているのですか？

六個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6=g^6
となるgは存在しない。

また、五個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6=f^6
となるfは存在しない。

というのは、どうでしょう？

7個でも、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6=h^6
となるhは存在しない。

となってしまうな。

だめでした。

a^3+b^3+y^3=x^3
a^3+b^3=x^3-y^3
a^3+b^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に、
a^3+b^3=C^3
となるcは存在しない。

という具合に、フェルマーの最終定理もできてしまうなあ？

そうか、x^6-y^6となる必要はないんだ。x^3-y^3もおなじ。

7個の場合、合計数の素因数分解がu^6 v^6 z^6・・・であれば良く、 6個でも、5個でも、おなじ。

フェルマーの最終定理もおなじで、a^3+b^3+y^3=x^3でなくて、a^3+b~3=c^3であればいいんだな。

うっかりでした。

GAIさん、御明察です。ペンネームは「モスラの歌」からです。
この曲のカバーはいくつも出ていますが、やはり御初代様によるものが一番の好みです。

さて。話題を戻しますけれども。

GAI さんが探しておられた (6,1,5)の他、 (6,2,4)も、《探索すべし》というニーズがあった模様でして、
そこで一挙両得の探索として(6,2,5)を組織的に試みるプロジェクトがあったようです。
（変数のひとつが 0 であればという）

そして(6, 2, 5)は多量にみつかりましたが、(6,1,5)も (6,2,4)も見つからなかったようです。
今回は以下を見て投稿しております。

arXiv:1108.0462v1[math.NT]2Aug2011

All solutions of the Diophantine equation
a^6 + b^6 = c^6 + d^6 + e^6 + f^6 + g^6　for a, b, c, d, e, f, g < 250000
found with a distributed Boinc project
Robert Gerbicz
Jean-Charles Meyrignac
Uwe Beckert
August, 2011

※未来から見たら小さいレンジでの探索なのでしょうけれども…
(6,1,5)や (6,2,4)がひとつやふたつ見つかったしても〔仮定法過去〕私には不思議とは思えません。

以上です。

最小値っぽい数値は確かにすぐに出ますが、本当に最小値かと言われると証明は難しいですね。
まずその値を取る曲線の書き方が無数に存在しますし……。

もしもその「最小値っぽい数値」が6でしたら、それは最小値ではありません。
6ならば無数に存在しますけどね。

なんと。
ハニカム構造が最強だろうと思ったらもっと効率いい引き方があるんですか。
それは意外。

私もしばらく6の壁を越えられなかったのですが、2~3日考えてようやく思いつくことができました。
ちなみにその値は約5.885です。
案を思いついても、正確な長さの計算はかなり面倒でした。約5.885という値は三重根号を含んでいます。

2√3+6√2-6 ≒ 5.949
という解はできたのですが、ここもらすかるさんが通った道でしょうか。
だとすれば、もうちょっと短くなる可能性があって、かつ三乗根がでてきてもおかしくない図形のアイデアが浮かぶのですが、ちょっとこれを計算する気力を絞り出すのは大変……。

私はその解は通過していないですね。
なので、どんな図形なのかわからないので知りたいです。
私は6からいきなり5.885に行きました。
とはいっても、6より小さくする案を思いついてから最小にするためにはどうこう・・・と
よく考えて図形を決めてから計算しましたが。
「計算する気力を絞り出すのは大変」の案が5.885かも知れませんね。

O(0,0), A((√3-√2+1)/2,0), B(√3/2,(√6-√3)/2), C(√3/2,-(√6-√3)/2)
として、OA, AB, AC をそれぞれ線分で結びます。
そうしてできた Y 字型を、O を中心に 90 度ずつ回して複製した図形です。

外側の隙間で長さ 1 が確保できないように 45 度ずつ 8 点取る発想で作りましたが、7 点だと cos(2π/7) とか登場して 3 乗根になるよなー、と。

なるほど、面白い方法ですね。私の案とは方針が違いました。
ではそろそろ私が思いついた案を書きます。
O(0,0),A(1,0)として円周上を6等分するようにB,C,D,E,Fをとります。
B(1/2,√3/2),C(-1/2,√3/2),D(-1,0),E(-1/2,-√3/2),F(1/2,-√3/2)です。
Eを中心とする半径1の劣弧FOに接し直線OFと平行な直線と、
Cを中心とする半径1の劣弧OBの交点をIとします。
また劣弧FOと直線の接点をGとします。FG=GOとなります。
座標は
G((√3-1)/2,-(√3-1)/2),
I((√(4√3-3)+2√3-5)/4,(2+√3-√(12√3-9))/4)
となります。
y軸に関してIと対称な点をJ、Gと対称な点をHとします。
H(-(√3-1)/2,-(√3-1)/2),
J(-(√(4√3-3)+2√3-5)/4,(2+√3-√(12√3-9))/4)
です。
そして
OI,IA,IB,OJ,JC,JD,OH,HE,OG,GFの各線分を描きます。
すると長さの合計は
√(30-16√3+2√(120√3-207))+√(22-4√3-6√(4√3-3))+2(√6-√2)≒5.885
となります。

半直線IG（劣弧FOの接線）と単位円の交点をKとすると、
四角形OFKIは平行四辺形なのでIK=1となります。
この線分IKを、Gを通りながらI側の端を線分IOに沿ってO方向に、
K側の端を弧FAにそってA方向に移動すると、I側の端がOに到達した時に
長さが1となりますが、その移動途中では1よりわずかに短くなります。

三重根号を三乗根と読み間違えていた……。

なるほど、上側で六方向への放射線を一部共有すれば、下方向に皺寄せが来てもお釣りが出る、ということですね。
私の案での中心部分の 90 度クロスに同じアイデア使ったらもっと短くなるかな？

多分もっとよい解があると思いますが、とりあえず
11=(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)
（分子は13重階乗）

(追記)ガウス記号を使うとたくさん
11=[4!!*log4]
11=4-[tan(4!!)]
11=[4+exp(√4)]
11=[-exp(√4)/cos(4)]
11=[(4!)^(-sin(4))]

(4!)!!!!!!!!!!!!!=24*11なので、(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)=11ですか！これは確かに痺れますね．．．。

２つの４で１１を作るというネタのもとは、「４つの４」の記事に含まれる下記の式から導いたものです。
１２３＝Γ（Γ（４））＋Γ（√４）＋Γ（√４）＋Γ（√４）
この式をみて下記を導いた次第です。

１１ = √(１+５！)= √(Γ(√(４))+Γ(Γ(４)))

※１３重階乗を用いたらすかるさんによる解にはビックリしました…… 以上です。

らすかるさんが「２つの４」で１１を作ったテクニックを利用すると、「２つの３」で、任意の有理数が
作れるような気がいたします。 一例をあげます。 22/7 を「２つの３」で作ってみました。

(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48*22)/(48*7)
=22/7

らすかるさんによる手法はとても強力であると思います。

> f(x):=x*(sqrtn(x,2)*(sqrtn(x,3)*(sqrtn(x,4)*(sqrtn(x,5)*(sqrtn(x,6)*(････････))))))

これは入れ子になっているわけではないので
f(x)=x*sqrtn(x,2)*sqrtn(x,3)*…
=x^(1+1/2+1/3+…)
=0 (0≦x＜1), 1 (x=1), +∞ (x＞1)
と同じでは？
（勘違いがあったらごめんなさい）

2行目の意味がよくわからないのですが、どこかに「再投稿」されたのですか？
その下の式は変更されていませんよね？

最初投稿した形が
x*sqrtn(x,2)*sqrtn(x,3)*sqrtn(x,4)*sqrtn(x,5)*sqrtn(x,6)*･･･
だったので、これは入れ子になっていないと思い返し直ぐに訂正して
x*(sqrtn(x,2)*(sqrtn(x,3)*(sqrtn(x,4)*(sqrtn(x,5)*(sqrtn(x,6)*･･････))))))
の様にタイプし直しておりました。
これは入れ子になっていないですかね？
入れ子をどうタイプで表現したらいいのかわからないまま、ついこの表現となっていました。

一見すると入れ子っぽいですが、「*」の計算順序は変えられますので実際は入れ子とは言えないですね。
sqrtn(sqrtn(x,4),3)
のようになっていれば入れ子ですが。

t=(1+sqrt(5))/2
f(n)=floor(n*t^2)
g(n)=floor(t*floor(n*t)
h(n)=floor(t*floor(n*t^2))
で
n=1～50でf(n),g(n),h(n)を計算させると
gp > for(n=1,50,print(n";"f(n) " VS "g(n) " VS " h(n)))
1;2 VS 1 VS 3
2;5 VS 4 VS 8
3;7 VS 6 VS 11
4;10 VS 9 VS 16
5;13 VS 12 VS 21
6;15 VS 14 VS 24
7;18 VS 17 VS 29
8;20 VS 19 VS 32
9;23 VS 22 VS 37
10;26 VS 25 VS 42
11;28 VS 27 VS 45
12;31 VS 30 VS 50
13;34 VS 33 VS 55
14;36 VS 35 VS 58
15;39 VS 38 VS 63
16;41 VS 40 VS 66
17;44 VS 43 VS 71
18;47 VS 46 VS 76
19;49 VS 48 VS 79
20;52 VS 51 VS 84
21;54 VS 53 VS 87
22;57 VS 56 VS 92
23;60 VS 59 VS 97
24;62 VS 61 VS 100
25;65 VS 64 VS 105
26;68 VS 67 VS 110
27;70 VS 69 VS 113
28;73 VS 72 VS 118
29;75 VS 74 VS 121
30;78 VS 77 VS 126
31;81 VS 80 VS 131
32;83 VS 82 VS 134
33;86 VS 85 VS 139
34;89 VS 88 VS 144
35;91 VS 90 VS 147
36;94 VS 93 VS 152
37;96 VS 95 VS 155
38;99 VS 98 VS 160
39;102 VS 101 VS 165
40;104 VS 103 VS 168
41;107 VS 106 VS 173
42;109 VS 108 VS 176
43;112 VS 111 VS 181
44;115 VS 114 VS 186
45;117 VS 116 VS 189
46;120 VS 119 VS 194
47;123 VS 122 VS 199
48;125 VS 124 VS 202
49;128 VS 127 VS 207
50;130 VS 129 VS 210
の値が
それぞれが決まるので
全ての自然数は
この３グループに完全に振り分けられていきます。

GAI様へ ^^

早速にありがとうございます。
問題文
＞いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数から
を
「いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数の和から」

のつもりでした... ^^;

その場合ではどうなのでしょう？

> 思いついたのは...
> (2進法で1が偶数桁だけ),(2進法で1が奇数桁だけの奇数),(それ以外の数)
>
> ですが...合ってますかしらん？

これは例えば
2進法で1が偶数桁だけ: 10100010(2)
2進法で1が奇数桁だけの奇数: 1000001(2)
それ以外の数: 2進法で1が奇数桁だけの偶数と偶数桁奇数桁の両方に1がある数
という意味でしょうか？
もしそうだとしたら
1001(2)=9(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1000(2)+1(2)=1001(2)
第1グループと第3グループの和: 10(2)+111(2)=1001(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。
解釈が違っていたらごめんなさい。

らすかる様へ

考えてくださってありがとうございます Orz
偶数桁だけが1の数：10, 1010,101010,...
奇数桁だけが1の数：1,101,10101,1010101,...
のつもりでした ^^;...

ちなみに、
ある方から、{1,n,その他の数}
の3グループに分けても可能と教えていただきました...

なるほど。
そうだとしても
1111(2)=15(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1010(2)+101(2)=1111(2)
第2グループと第3グループの和: 1(2)+1110(2)=1111(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。

らすかる様へ

そっか...!!
浅はかでした ^^;
ありがとうございました Orz〜☆

1,2,3をどのグループに入れるかを場合分けして細かく調べることにより、
条件を満たす分け方は
「mod3で分ける」
「1とnとその他に分ける」
の2通りしかないことが証明できました。
証明は長くなりますのでとりあえず省略します。

らすかる様へ
面白いですね ^^

どのように証明できるのか分かりませんが ^^;

一般に、mod (m: 3以上の奇数) でグループ分け(mグループ)すれば、すべてのグループからの和は mod mで0になるので、
mグループに分けて、m-1グループから取り出した和≡r (mod m) なら、取り出さなかったグループはm-rのグループとわかり、
mod(m: 4以上の偶数)でグループ分けすれば、全てのグループからの和は mod mで m/2 のなるので、取り出さなかったグループはm/2-rのグループとわかるので、一般化できますね。

また、1,n,その他も...
k,n,その他でも、全部の和がn(n+1)/2 なので、2グループの和を引いたものがk or n以外なら、その他とわかるので可能ですね。
同様に、mグループの時も...
例えば...
1,2,...,(m-2),n,その他
に分けていれば、全体の和が一定なので同じことが言えるので、一般化できますね。