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324 の代わりに 素数だとどうなりますか？

> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが書かれました:
> 324 の代わりに 素数だとどうなりますか？

1^3+2^3=(1+2)^2

ということですか……なるほど。

ksさんの定義によると、N=30の約数には、N自身も含まれているので、
30の約数は、1,2,3,5,6,10,15,30の8個であり、d(30)=8となり、
(Σ_{A|30}{d(A)})^2=(1+2+2+2+4+4+4+8)^2=27^2=927
Σ_{A|30}{d(A)^3}=1^3+2^3+2^3+2^3+4^3+4^3+4^3+8^3=927
よって、
(Σ_{A|30}{d(A)})^2=Σ_{A|30}{d(A)^3}
が成立する。

1<=N<=10^6の範囲で、(Σ_{A|N}{d(A)})^2=Σ_{A|N}{d(A)^3}が成立することを確認しました。
おそらく証明できるのでは？

管理人さんへ
(1)lcm
(2)OK!
(3)lcm
を再考してください。（∵ lcm*gcd≠Z1*Z2)

GAIさん、ご指摘ありがとうございます。修正しました。

５＋３i＝（１＋i）（４ーi）
さらに、ーiをプラスにしないといけないんですね。

一般にa-b*i=-i*(b+a*i)
と出来るので、単数U=-iを先頭に付けると単一の素因数分解型にできます。

書き込みテストです。

91 + 63i = (−i) (1 + i) (2 + i) (2 + i) (2 + i) (7)

91 + 63𝑖 = (−𝑖) (1 + 𝑖) (2 + 𝑖) (2 + 𝑖) (2 + 𝑖) (7)

虚数単位が斜めにうまく書けるかどうか……

975 = (𝑖) (2 + 𝑖) (2 + 𝑖) (1 + 2𝑖) (1 + 2𝑖) (3) (3 + 2𝑖) (2 + 3𝑖)

どういう順番に因数を並べるのが良いのでしょう？

通常の整数における割り算原理は、そのような Q と R が常に 1 つだけ存在する（つまり、複数存在することはない）という内容を含みます。
ところが、ガウス整数に単純に拡張すると、例えば (1) だと

11 + 17*i = (5 + 3*i)*(3 + 2*i) + 2 - 2*i
11 + 17*i = (5 + 3*i)*(3 + i) - 1 + 3*i

というように複数の Q, R が存在できてしまうように思います。
この点はどうにかならないものでしょうか？

そうなんですよね。
例えば
Z1=12-23*i
Z2=7-5*i
などでは
Z1=Z2*(3-i)+(-4-i)
Z1=Z2*(2-i)+(3-6*i)
Z1=Z2*(2-2*i)+(8+i)
Z1=Z2*(3-2*i)+(1+6*i)
などすべてが許されることが起きます。

更に
Z1=21-20*i
Z2=3-7*i
では
Z1=Z2*(3+2*i)+(-2-5*i)
Z1=Z2*(3+i)+(5-2*i)
Z1=Z2*(4+i)+(2+5*i)
Z1=Z2*(4+2*i)+(-5+2*i)
で,
全ての余りRのノルムN(R)=29　となってしまう。
言ってみればここが通常の整数とは違う点になりますね。

任意のA,B,C(1≦A≦9,0≦B≦9,0≦C≦9)に対して
0≦X≦9のうちで10を作ることができるXが存在するか、
という意味でしたら、必ず存在します。

訂正後の質問に対する回答です。
たくさんありますが、わかりやすいものとしては例えば1900があります。
1+9+0×0=10
1+9+0×1=10
1+9+0×2=10
・・・
1+9+0×9=10
となりますね。

「四つの数で10を創る」とのことなので、数字の順番は問わないと考え、挑戦してみました。
4610　→　4+6+1×0＝10
4621　→　（4+6）×（2-1）＝10
4622　→　4+6+2-2＝10
4623　→　（4+6）×（3-2）＝10
4624　→　（4×6-4）÷2＝10
4625　→　（4×2-6）×5＝10
4626　→　（6-4）+2+6＝10
4627　→　6÷（4-2）＋7＝10
4628　→　4×2＋8-6＝10
4629　→　4+（9-6）×2＝10

(1)で解を見つけました。
x^3-8x^2y-2xy^2+7y^3=2023
(x+y)(x^2-9xy+7y^2)=2023
x^2-9xy+7y^2=±1,±7,±17,±119,±289,±2023
4(x^2-9xy+7y^2)=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
(2x-9y)^2-53y^2=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
元の式からx,yの偶奇は異なる
y=2mのとき
(2x-18m)^2-4・53m^2=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
(x-9m)^2-53m^2=±1,±7,±17,±119,±289,±2023
m=1のとき右辺の値に1,7,17,119,289,2023,-1,-7,-17,-119,-289,-2023を足すと
（ただし負になるものを除く）
54,60,70,172,242,2076,52,46,36
平方数は36のみでこのとき(x,y)=(-15,-2)とすれば
「x+yが2023の約数」「与式が正」を満たすが、このとき(与式)=289となり不適
同様にm=2のとき213,219,229,331,501,2235,211,205,195,93だが平方数がなく不適
m=3のとき478,484,494,596,766,2500,476,470,460,358,188で平方数は2500
しかし算出される(x,y)=(5,6),(49,6)はいずれもx+yが2023の約数にならず不可
m=4のとき849,855,865,967,1137,2871,847,841,831,729,559で平方数は841と729
841のときは不適だが729のとき(x,y)=(9,8)ならばx+y=17,x^2-9xy+7y^2=-119
これだと-2023になるから(x,y)=(-9,-8)とすれば2023が得られる。
m=5のとき1326,1332,1342,1444,1614,3348,1324,1318,1308,1206,1036で平方数は1444
このとき適解(x,y)=(7,10)が見つかる。
以上により(x,y)=(-9,-8),(7,10)は解。ただし他に解があるかどうか不明。

(追記)
(2)も解を見つけました。
x^4-9x^3y-9x^2y^2-4xy^3-7y^4
=(x+y)(x^3-10x^2y+xy^2-5y^3)-2y^4=2023
yが小さい値であることを期待して順に代入して調べると

y=1のとき (x+1)(x^3-10x^2+x-5)=2025=3^4×5^2
x+1は2025の約数なのでx=…,-10,-6,-4,-2,2,4,8,14,…（∵x=0は不適）
2≦x≦8のときx^3-10x^2+x-5=(x-2)(x-8)x-15(x-2)-35＜0となり不適
x≧14のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)=15×{(x-10)(x^2+1)+5}≧15×(4×197+5)＞2025とな
り不適
x≦-6のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)≧5×(216+360+6+5)＞2025となり不適
-4≦x≦-2のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)≦3×(64+160+4+5)＜2025となり不適

y=2のとき (x+2)(x^3-20x^2+4x-40)=2055=3×5×137
x+2は2055の約数なのでx=-139,-17,-7,-5,-3,-1,1,3,13,135,…
1≦x≦13のときx^3-20x^2+4x-40=(x-1)(x-19)x-15(x-1)-55＜0となり不適
x≧135のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)=137×{(x-135)(x^2+4)+115x^2+500}＞2055となり不適
x≦-7のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)≧5×(343+980+28+40)＞2055となり不適
x=-5のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)≧3×(125+500+20+40)=2055となり
(x,y)=(-5,2)は解の一つ
x,yの符号を反転したものも解となるので
(x,y)=(5,-2)も解
以上により(x,y)=(-5,2),(5,-2)は解。ただし他に解があるかどうか不明。

3次以上の斉次多項式となっているので、PARIのコマンドにThue 方程式の解を求めるコマンドに
P(x,y)=x^3+a*x^2*y+b*x*y^2+c*y^3=t
を満たす整数(x,y)が
th=thueinit(x^3+a*x^2+b*x+c);
と準備して
thue(th,t)
で尋ねれば、その(x,y)を返してくれる。

そこで遊びでt=2023に因んで多くの解を持ち得る3次関数をa,b,cのパラメータを変えながら
調査したら(a,b,c)=(-8,-2,7)で　6通りの解が存在していた。
こんなものを手作業で発見できるんものかと訝りながら出題した次第でした。
このうちの２組を見事手作業で出してあり、驚きの一言です。
ペル方程式なら解は無限個なのに対し、３次以上の斉次方程式は有限個に限られるのも面白いものです。

(2)の方は後2組（ただし符号の入れ替えによるものです。）<数値は10以内>

４色で、１７x１７のマス目だと、
以下のような塗り分けがあります。
https://www.nemokennislink.nl/publicaties/17-x-17-probleem-opgelost/

まず特定の1色で条件を満たす配置を作り
●●●○○○○○○
●○○●●○○○○
●○○○○●●○○
●○○○○○○●●
○●○●○○●○○
○●○○●○○●○
○●○○○●○○●
○○●●○○○○●
○○●○●●○○○
○○●○○○●●○
○○○●○●○●○
○○○○●○●○●
位置がかぶらないように適当に行を並び替えて
○○○●○●○●○
○●○○○●○○●
○○●●○○○○●
○●○●○○●○○
○○●○●●○○○
●○○○○●●○○
○○●○○○●●○
○●○○●○○●○
●○○○○○○●●
●○○●●○○○○
○○○○●○●○●
●●●○○○○○○
残りの位置も最初のパターンから行を並び替えたものになることを確認し
○○○○●○●○●
○○●○○○●●○
○●○○●○○●○
○○●○●●○○○
●○○○○○○●●
○○●●○○○○●
●○○●●○○○○
●○○○○●●○○
○●○●○○●○○
○●○○○●○○●
●●●○○○○○○
○○○●○●○●○
重ね合わせれば
●●●※○※○※○
●※○●●※○○※
●○※※○●●○※
●※○※○○※●●
○●※●※※●○○
※●○○●※※●○
○●※○○●※※●
○※●●※○○※●
※○●○●●○※※
※○●※※○●●○
○○○●※●※●※
※※※○●○●○●
完成！
※漢字だととても見にくいので、3種類の記号にしました。

何でもいいから1つ作れというだけならさほど難しくないですね。
カラクリが見やすいようにスペースを入れておきます。

赤　赤黄黄青赤青青黄
赤　黄赤黄黄青赤青青
赤　青黄赤黄黄青赤青
赤　青青黄赤黄黄青赤

黄　黄青青赤黄赤赤青
黄　青黄青青赤黄赤赤
黄　赤青黄青青赤黄赤
黄　赤赤青黄青青赤黄

青　青赤赤黄青黄黄赤
青　赤青赤赤黄青黄黄
青　黄赤青赤赤黄青黄
青　黄黄赤青赤赤黄青

明けましておめでとうございます。

らすかるさん、DD++ さん、素晴らしいです！！！

知人から教わったなかに、
以下のようなものがあり、

※○●○●●○※※

目を丸くしております。

◎●○ ●○◎ ○◎●
●○◎ ○◎● ◎●○
○◎● ◎●○ ●○◎

●◎○ ○●◎ ◎○●
◎○● ●◎○ ○●◎
○●◎ ◎○● ●◎○

◎○● ◎○● ◎○●
○●◎ ○●◎ ○●◎
●◎○ ●◎○ ●◎○

○○○ ◎◎◎ ●●●
◎◎◎ ●●● ◎◎◎
●●● ○○○ ○○○

いったいぜんたいどのようにして
こんな形にいたったのか、
皆目見当がつきません。

追伸。
管理人さんにより、らすかるさんの解への色付をしていただきましたが、
左手上のほうで塗り間違いがあります。

>>497
すこしだけ納得できる理屈をもって改造しました。

赤黄青のサイクリックを……

こういうのはありですか？
(.5)^(-5.5-5.5)-5×5

あー、そういえば .5 で 0.5 を表すルールを採用する場合もありましたね。

別解での正解とした上で、小数点を 5.5 としてのみ使用する想定解もぜひ探してみてください。

ならば想定解はおそらく
2023 = (5-5/5)^5.5-5×5
だと思います。

はい、その通りです。
非整数乗をまともに使えるのはおそらく各元号5年のみ、しかもそれが短く式を作るのに有効というのは非常に珍しいはず。

2023^6=1902^6+1548^6+1320^6+1136^6+345^6+240^6+30^6
が見つかりました(2023^6の全解探索時間45秒)。
(追記)
2024,2025,2026,…についても同様の分解があるのかと思って探したら、
2023はたまたま存在するだけで普通は存在しないのですね。
後になって検索して↓このページを見つけました。
https://sites.google.com/site/sevensixthpowers/