2022年4月10日でのNHK特集21時よりの放映で
望月新一氏のABC予想の証明についての番組を見ていたのですが
解説を望月氏にお願いしても、一般の方に解説することは高度な内容を
含みとても不可能と判断するとのことで、解説を辞退しますとのコメントが
あったのが面白かった。
この番組の中で整数a,b,c(=a+b)に対し
c/rad(c)<rad(a*b)
という関係式が出ていたのですが、
（rad(n);ｎの異なる素因数の積）
実験してみると
単純に常にこの関係式が成立するかと言えば、そうではなく例えば
a;b =>c/rad(c) VS rad(a*b)
2;126=>64 VS 42
2;160=>27 VS 10
3;125=>64 VS 15
3;144=>7 VS 6
3;189=>32 VS 21
4;108=>8 VS 6
4;121=>25 VS 22
4;124=>64 VS 62
4;192=>14 VS 6
4;196=>20 VS 14
･･････････
の様に反するパターンも出てきた。（しかし圧倒的には成立していく）
何らかの条件付きがあるのであろう。
また次の様なパターンは一致していく。
4;128=>2 VS 2
18;162=>6 VS 6
25;125=>5 VS 5
36;144=>6 VS 6
72;108=>6 VS 6
100;200=>10 VS 10
掛け算は足し算より簡単という表現をされていたのも（足し算は遺伝子を破壊する）
興味を引いた。
またこの証明をするために、トポロジーの発想が異なるものを同一視するものに対し
同じものを異なるものに分解し、これとは全く逆の発想で（宇宙際タイヒミュラー理論）
新しい数学理論を構築していったという経緯の解説もされていた。
もしこの理論が正しいならあのフェルマーの大定理
a^n+b^n=c^n (n>2)
には整数解が存在しない。
も数行で証明可能とのコメントがされていた。
確かにABC予想とはこのn=1
に相当する考察なので、そんなのも有かな程度しか感じられませんでしたが･･･
いずれにせよ、人間の考える力とそれに関わっている人の途方もない
発想力にただただ驚くばかりでした。
新掲示板開設おめでとうございます。
投稿のテストです。
[1]
三角形ABCの各辺(延長線を含む)上にない点Oをとると、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
[2]
三角形ABCの各頂点を通らずかつ各辺と平行でない直線lをとり、
直線lと直線BC, 直線lと直線CA, 直線lと直線ABの交点をそれぞれP, Q, Rとすると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
管理人さん
解いてくださりありがとうございます。
私が用意していた解答よりシンプル明快でとても参考になりました。（特に[2]のほう）
私の解答例はこちら
[1]
例①
点Oから三角形ABCの頂点A,B,Cへおろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする。
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((OF/OB) / (OD/OB)) * ((OD/OC) / (OE/OC)) * ((OE/OA) / (OF/OA))
= 1
例②
正弦定理を使うと、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((AO/AB*sin∠AOB) / (OC/BC*sin∠BOC)) * ((BO/BC*sin∠BOC) / (OA/CA*sin∠COA)) * ((CO/CA*sin∠COA) / (OB/AB*sin∠AOB))
= 1
例③
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((1/2*AB*BO*sin∠ABO) / (1/2*OB*BC*sin∠OBC)) * ((1/2*BC*CO*sin∠BCO) / (1/2*OC*CA*sin∠OCA)) * ((1/2*CA*AO*sin∠CAO) / (1/2*OA*AB*sin∠OAB))
= (△ABO / △OBC) * (△BCO / △OCA) * (△CAO / △OAB)
= 1
[2]
例①
∠ABQ=∠RBQ または ∠ABQ+∠RBQ=π のいずれかが成り立つことと正弦定理より
sin∠ABQ = sin∠RBQ = QR/BQ*sin∠BRQ
が成り立つ。同様にして、
sin∠QBC = sin∠QBP = PQ/BQ*sin∠BPQ
sin∠BCR = sin∠PCR = RP/CR*sin∠CPR
sin∠RCA = sin∠RCQ = QR/CR*sin∠CQR
sin∠CAP = sin∠QAP = PQ/AP*sin∠AQP
sin∠PAB = sin∠PAR = RP/AP*sin∠ARP
が成り立つ。
また、∠BPQ=∠CPR または ∠BPQ+∠CPR=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠CQR = sin∠AQP
sin∠ARP = sin∠BRQ
もわかる。よって、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB)
= (sin∠RBQ / sin∠QBP) * (sin∠PCR / sin∠RCQ) * (sin∠QAP / sin∠PAR)
= ((QR/BQ*sin∠BRQ) / (PQ/BQ*sin∠BPQ)) * ((RP/CR*sin∠CPR) / (QR/CR*sin∠CQR)) * ((PQ/AP*sin∠AQP) / (RP/AP*sin∠ARP))
= (sin∠BRQ * sin∠CPR * sin∠AQP) / (sin∠BPQ * sin∠CQR * sin∠ARP)
= 1
例②
[1]より、
(sin∠ABQ / sin∠QBP) * (sin∠BPQ / sin∠QPA) * (sin∠PAQ / sin∠QAB) = 1 …[あ]
(sin∠ACR / sin∠RCP) * (sin∠CPR / sin∠RPA) * (sin∠PAR / sin∠RAC) = 1 …[い]
が成り立つ。
また、∠QBC=∠QBP または ∠QBC+∠QBP=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠QBC = sin∠QBP
sin∠BCR = sin∠RCP
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠QPA = sin∠RPA
sin∠CAP = sin∠PAQ
sin∠PAB = sin∠PAR
sin∠QAB = sin∠RAC
が成り立ち、これらを[あ],[い]に代入して[あ]÷[い]を計算すると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
を得る。
（４） ■×■×■■＋■■－■■■
2*3*19+89-103
（５） ■－■■－■■■＋■■■
3-11-103+211
（１０） ■－■×■■■＋■■■■
2-3*307+1019
他山ほどのパターンが作れますね。
問題の条件が、「１から９までの数字を１個づつ」となっているので、
何れも解にはならないですね！
あれ～この条件をすっ飛ばしていた！
再チャレンジ
（４） ■×■×■■＋■■－■■■
2*7*41+89-563
（５） ■－■■－■■■＋■■■
3-29-461+587
（１０） ■－■×■■■＋■■■■
7-2*683+1459
では２桁までの素数を使い３×3の正方行列に９個の異なる素数を埋めて
縦、横、斜めの合計が全て同じ合計となるもの（合計値を最も小さくしたもの）を構成してください。
訂正です。
では3桁までの素数を使い３×3の正方行列に９個の異なる素数を埋めて
縦、横、斜めの合計が全て同じ合計となるもの（合計値を最も小さくしたもの）を構成してください。
「２０４９」の素数魔方陣、死ぬ前に、これだけは作りたかったというＧＡＩ さんのコメント（令和元年５月２１日付け）
から、条件を満たすものは次の場合しかないですね。
+----+----+----+
| 479| 797| 773|
+----+----+----+
| 977| 683| 389|
+----+----+----+
| 593| 569| 887|
+----+----+----+
３桁までですので、1桁や2桁の素数も使用可能と理解願います。
ksさんから素数の循環節として
ｐを素数として、１/ｐの循環小数について、ｐ－１の約数が循環節の長さになる。
一つ一つの素数については、気紛れですが、全体として見たとき、循環節の長さが、偶数に
なるときと、奇数になるときの割合が、２/３と１/３となる。
の記述を読んで計算させてみた。
最初から25個(2,3,5,7,･･･,97)の素数での循環節での長さでの
偶数対奇数＝>15 VS 10
同様に最初から
100個の素数では＝>67 VS 33
1000個では＝>675 VS 325
10000個では＝>6655 VS 3345
100000個では＝>66647 VS 33353
1000000個では＝>666488 VS 333512
これ以上は時間が掛かり過ぎて断念
確かに2/3,1/3に近づいていますね。
でもどうして？
検索したら↓こちらで言及されていましたが、
https://www.math.kindai.ac.jp/laboratory/chinen/junkan_f/junkan.html
2：1になるのは証明できるものの
「証明はかなり難しく, 大学院レベルの数学が必要」
だそうです。
（もしかしたら初等的な証明があるかも知れませんが。）
確率的予測としては奇数が 1/3 になる理由は簡単ですね。
厳密な証明をしようとすると算術級数定理とかそっち方面になるのかな？
以下、p>5 として進めます。（有限個取り除いてもほとんど影響はないため）
1/p の循環節が n 桁になるというのは、10^n-1 が p の倍数であり、かつ n の倍数でないいかなる自然数 m についても 10^m-1 が p の倍数にならないということです。
ところで、フェルマーの小定理より 10^(p-1)-1 は p の倍数です。
よって、n は p-1 の約数になります。
p-1 = 2^r*d とおきます。（r は自然数、d は奇数）
r がそれぞれの値を取る確率は1/2^r と考えられます。
また r がそれぞれの値をとったときに n が奇数となる条件付き確率は 1/2^r と考えられます。
というのは、n が奇数となることは n が d の約数であることと同値で、それは 10^d-1 が p の倍数になることと同値ですが、
10^(2^r*d)-1 が p の倍数だということから出発して、
10^(2^(r-1)*d)-1 と 10^(2^(r-1)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
前者が p の倍数だとして、10^(2^(r-2)*d)-1 と 10^(2^(r-2)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
というのを r 回繰り返すことになるからです。
つまり、n が奇数となる確率は Σ[r=1->∞] 1/2^r * 1/2^r = 1/3 となります。
確率的には。
各桁の合計が奇数の合成数となる最小の素数はいくつか。
（コンピュータ不可）
９９７ですか？
９＋９＋７＝２５（奇数）で、２５＝５×５で合成数
はい、その通りです。
朝起きてここの新設を知りました。早速訪れてみました。
今までの膨大な投稿内容が途切れてしまうことに残念でならなかったのですが
このように新しく開設してもらうと、とても助かります。
また再びここに集う人々と交流できることを楽しみにしています。
まずは開設有難く、そしておめでとうございます。（管理人さんご苦労でしょうがこれからもよろしくお願いいたします。）
ＧＡＩ様、ご訪問ありがとうございます。これからもいろいろな話題を提供していただき
大いに刺激を受けたいと思います。
旧掲示板での投稿内容については、ＨＰ本文の方に取り込み済みなので、特段問題はない
だろうと判断しています。
ただ、ＧＡＩ様の計算結果等、一部teacup．様の掲示板からのリンク付けをした部分が
あって、その部分についてはリンク切れになるものと思われます。その点、ご了解いた
だければと思います。
実のところ、teacup．様の掲示板からのエクスポート・インポートを試みましたが、出来
ませんでした。
新掲示板開設おめでとうございます。
ところで、この掲示板は文字が巨大（そのため1画面上の情報量が少ない）なのですが（私だけ？）、これを小さくする方法はないのでしょうか？
らすかるさんの文字が大きすぎるということを伺って、文字サイズを小さめ（１６ポイント）に変更しました。
その他いろいろカスタマイズしていきますので、不具合等があったらご教示ください。
dengan kesaktian indukmu さんからも旧掲示板の方に書き込みをいただいた。
Web環境の影響で閲覧は可能なんだが返信や新規投稿ができないとのことであ
る。メールなど利用して話題に参加することは可能でしょうか？
メールはＨＰのトップページのPOSTをクリックすると、メールソフトが起動
します。
メールをいただければ私の方でアップしたいと思います。
どうぞ、よろしくお願いします。
文字の大きさが普通になりました。ありがとうございます。
引き続きこちらで皆様方のお話がうかがえますことに喜びも一入です♪
少ししか理解できないことが多いですが、ずっとここの愛読者です。
これからもよろしくお願いいたします。
新掲示板の開設、おめでとうございます。
今のところ背景色が桃色じゃない違和感がすごいですが、じきに慣れていくのかな？
ところで、1つ返信がつくたびにスレッドごと上に上がる仕様なんですかねコレ。
1つのスレッドが長くなると、新規投稿された2番目のスレッドが遥か下にいて見落とすこととかありそう。
気をつけないといけませんね。
背景をこれまでのものに設定しました。DD++さんが違和感を感じられたということで修正しました。
またコメントに対する返信の順番ですが、今のようにコメントに対して下へ下へとつながっていく設定と、
コメントの下に返信が逆順で表示される設定があるのですが、皆さんはどちらがお好みですか？
それから旧掲示板では、HTMLタグが使えていたのですが、この掲示板では使えません。有料にすれば
使えるらしいのですが、そこまでいいかな？という感じで、このままでいきたいと思います。
URLを記述いただければ閲覧は可能だと思います。ただし、閲覧は自己責任です。
私は「今のようにコメントに対して下へ下へとつながっていく設定」が好きです。
ところでこの掲示板はクッキーはないんですかね？
返信のたびに名前と編集キーを入れなければならないのは若干面倒です。
機能がなければ仕方ないですが。
同じく、順番は下へ下への方が好みです。
長いスレッドになると新着確認が大変というデメリットは確かにありますが、いくつかのレスを続けて読むときに楽な方が嬉しいです。
あ、そうそう、背景変更ありがとうございます。
やっぱりこの背景だとちゃんと出会いの泉に来た気分になれますね。
私のパソコンの設定かもしれませんが、入力欄をダブルクリックすると、以前入力したものが選択肢に出るので、
そこから選択して入力しています。
よおすけさんやDengan kesaktian Indukmu さんから新規投稿や返信が出来ない旨の話を伺っている。
このロケットbbs掲示板Type－Ｎは、２０２１年リリースの最新式の掲示板で、ウェブサイト全体が常時
ＳＳＬで暗号化され、全ての通信が保護されるという特徴があり、非常にセキュリティが強いものである
ようだ。普通のアクセスまで不正アクセスと認知される場合もあるそうだ。もしかしたら、新規投稿や返
信ができない場合は、通信環境でセキュリティレベルを見直すとよいのかもしれない。また、Errorが出て
も投稿フォームのリロードで解決する場合があるらしい。
なお、この新掲示板は、タブレットやスマホからもアクセス可能となっているので、是非試してみてく
ださい。
私自身、ＰＣからの投稿・閲覧以外にスマホからも投稿・閲覧が可能にしている。ＰＣでの見映えと
スマホでの見映えが若干違うことに驚きながら、デザイン的にはスマホの方の見映えが気に入っている
かな？
他に
666=1^6-2^6+3^6
=(6+6+6)+(6^3+6^3+6^3)
=(6+6+6)-(6^3+6^3+6^3)+(6^4-6^4+6^4)
=5^3+6^3+7^3-(6+6+6)
=2^1*3^2+2^3*3^4
=100*(1+2+3)+10*(1*2*3)+sqrt(1^3+2^3+3^3)
また
sin(666°)=-φ/2
φ:黄金比(=(1+sqrt(5))/2)
eulerphi(666)=6*6*6=216
eulerphi(n):n以下でnと互いに素であるものの個数
円周率の小数点以下144位までに出現する数字の総和が666となる。
(最初の3は除く)
私の備忘録の「内接円と傍接円」で、次の問題が保留中です。
ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ の△ＡＢＣにおいて、外心をＯ、∠Ａに対する傍接円の中
心をＪとおく。また、∠Ｃの２等分線と辺ＡＢの交点をＥ、∠Ｂの２等分線と辺ＣＡの交
点をＦ とおく。
このとき、 ＯＪ⊥ＥＦ が成り立つ。
どなたか証明に挑戦しませんか？
記事にある書きかけの証明で、
AE = (bc/(a+b))AB
となっていますが、これは
AE = (b/(a+b))AB
が正しいのではないでしょうか。
AF も同様。
その上で、
OA・AB = (1/2)BA・AB = (-1/2)c^2
等を使っていけばなんとかなりませんかね？
「元の三角形の内心と外心が、傍心を結んでできる三角形の垂心と九点円中心になる」ことを活かして純粋に初等幾何学の知識で証明できたら美しいでしょうが、EF をうまく扱う方法がないとちょっと難しいかなあ。
AE,AFは私の勘違いでした。OA・AB = (1/2)BA・AB とのことですが、これは如何？
O は外心なので、OA を AB に平行な成分と垂直な成分に分けてあげることで、
OA・AB = ((1/2)BA+AB に垂直な成分)・AB = (1/2)BA・AB
となります。
高校物理でよくやる変形ですね。
なるほど！合点がいきました。DD++さん、ありがとうございます。
