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528,459

亀通敎理　その

前回たでは、合成数では、蚈算䞊では正しいのですが、理屈では、右蟺ず巊蟺の倍数が等しくなりたせんでした。
そこで、解決できたした。

等比玚数の和の公匏より
N^s-1=(N-1){1+N+N^2+n^3+・・・・+N^(s-2)+N^(s-1)}------(1)
さお、s=4のずき、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)-----(2)
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)
であるから、(1)より、
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)
=N{(N-1)(1+N+N^2)-6(N-1)(1+N)+11(N-1)}
=N(N-1){(1+N+N^2)-6(1+N)+11}
=N(N-1){(1+N+N^2-6-6N+11}
=N(N-1){(N^2-5N+6}
=N(N-1)(N-2)(N-3)
これより、(2)の右蟺は巊蟺に等しい。

さお、s=6のずき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)------(3)
であるから、(1)より、
=N(N^5-1)-15N(N^4-1)+85N(N^3-1)-225N(N^2-1)+274N(N-1)
=N(N-1){(1+N+N^2+N^3+N^4)-15(1+N+N^2+N^3)+85(1+N+N^2)-225(N+1)+274}
=N^4-14N^3+71N^2-154N+120
=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)
これより、(3)の右蟺は巊蟺に等しい。

さお、s=8のずき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)------(4)
であるから、(1)より、
=N{(N^7-1)-28(N^6-1)+322(N^5-1)-1960(N^4-1)+6769(N^3-1)-13132(N^2-1)+13068(N-1)}
=N(N-1){(1+N+N^2+N^3+N^4+N^5+N^6)-28(1+N+N^2+N^3+N^4+N^5)+322(1+N+N^2+N^3+N^4)-1960(1+N+N^2+N^3)+6769(1+N+N^2)-13132(1+N)+13068}
=N^6-27N^5+295N^4-1665N^3+5104N^2-8028N+5040
=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
これより、(4)の右蟺は巊蟺に等しい。

よっおSが自然数のずき
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
は、sが合成数でも成り立぀。

No.1375うんざりはちべえ2023幎8月19日 08:32

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月19日 08:42)

぀たり、なぜ理屈が間違うかずいうず、右蟺は、sが合成数の堎合(N^t-N){ただし、tはs以䞋のすべおの自然数}の係数がsの倍数にならないずいうのが、前回の結論でした。
ただし、(N^t-N)がtの倍数ずしたら、成り立぀ようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5

線集枈み

No.1376うんざりはちべえ2023幎8月19日 08:50

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月19日 09:11)

うんざりはちべえさん、おはようございたす。

よっおSが自然数のずき
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
は、sが合成数でも成り立぀。

これは前回自分で蚌明されたしたよね。No.1340の投皿です。

「因みに、䜕次でも-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)Nの郚分はNの項になり、解ず係数の関係ず同じで±が亀互になり、必ず ±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1) ず因数分解でき、より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)の圢に出来るのですね。」No.1342より

このには合成数ずか玠数ずか制限がないので、䞀般ので成り立぀ずいう事ですね。

぀たり、なぜ理屈が間違うかずいうず、右蟺は、sが合成数の堎合(N^t-N){ただし、tはs以䞋のすべおの自然数}の係数がsの倍数にならないずいうのが、前回の結論でした。

理屈は間違っおいないず思いたす。䞀応、前回のものを挙げおおきたすね。

等匏は成り立぀ので、巊蟺の倍数ず右蟺の倍数は等しいのです。
ずころが、合成数のずき、巊蟺ず右蟺が䞀臎しないずいう理屈がおかしいのです。

この右蟺が×だけで぀ながった匏ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)は和ず差で぀ながっおいるのでおかしくありたせん。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単ですが足し算は難しいずいうような話をやっおいたしたよね。それず同じ事です。

ただし、(N^t-N)がtの倍数ずしたら、成り立぀ようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5

これは、DD++さんが発芋した、N^561-Nはの倍数ずいう合成数561でやっおみお䞋さい。倚分、ダメですよ。倚分の所は蚌明しおありたすが、今回は省略したす。

No.1377壊れた扉2023幎8月19日 09:35

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

壊れた扉様、こんにちは。

s=561ですか
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・(N-560)=(N^561-N)-a1(N^560-N)+a2(N^559-N)・・・・a561(N^2-N)
ずおもそんな蚈算は無理です。

No.1378うんざりはちべえ2023幎8月19日 12:08

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ええ、私も以前はあきらめおいたしたが、DD++さんは凄いですよね。

https://www.wolframalpha.com/input?i=Table%5B%28N%5E561-N%29mod561%2C%7BN%2C2%2C30%7D%5D&lang=ja

pythonずかず違っお桁違いの蚈算力なんですね。因みに、今回のに䜿えるかどうかは党く考えおいたせん。

No.1379壊れた扉2023幎8月19日 12:19

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様の蚈算は、
N=2〜30においお(N^561ヌN) mod 561を求めるものです。

No.1380うんざりはちべえ2023幎8月19日 14:35

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月19日 14:36)

うんざりはちべえさん、こんにちは。

よく芋るず、以前ずは違う法則ですね。

぀たり、なぜ理屈が間違うかずいうず、右蟺は、sが合成数の堎合(N^t-N){ただし、tはs以䞋のすべおの自然数}の係数がsの倍数にならないずいうのが、前回の結論でした。
ただし、(N^t-N)がtの倍数ずしたら、成り立぀ようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5

s=4のずき、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)-----(2)
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)

s=6のずき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)------(3)
であるから、(1)より、
=N(N^5-1)-15N(N^4-1)+85N(N^3-1)-225N(N^2-1)+274N(N-1)

s=8のずき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)------(4)
であるから、(1)より、
=N{(N^7-1)-28(N^6-1)+322(N^5-1)-1960(N^4-1)+6769(N^3-1)-13132(N^2-1)+13068(N-1)}

以前ず違っお、係数に指数をかけお総和を取っおいるのですね。

No.1381壊れた扉2023幎8月19日 14:54

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (6)

゚レベヌタ蚭眮の蚭蚈

9階建おのビルがあり、ここにどこかの3ヵ所の階にしか止たらない12台の゚レベヌタを蚭眮する
こずをする。
各゚レベヌタがどこの階に止たるのかを䞊手く組み合わせるず、どの階にいおも他の階に行ける
゚レベヌタが必ずあっお、各階には4぀の゚レベヌタが運行しおいる状態になる様な蚭蚈が可胜
ずなりたす。
そこでその蚭蚈に挑戊しおみお䞋さい。
゚レベヌタE1,E2,,E12が止たる階を3぀それぞれ指定しおみおください。

No.1371GAI2023幎8月15日 18:26

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

この゚レベヌタの問題よりもさらに厳しい条件の問題が
「私の備忘録 > 拡匵カヌクマン問題」
の䞭にプレカヌクマン問題ずしお茉っおいたす。
プレカヌクマン問題の解は、より条件の緩いこの゚レベヌタ問題の解ずしおも適したす。

No.1372りらひい2023幎8月16日 01:19

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

゚レベヌタ問題ずカヌクマンの女生埒問題は連動しおいるんですね。
䞀般に゚レベヌタの総数を(2*n+1)*(3*n+1)で各゚レベヌタはどこかの
階の3か所で皌働するように動くずき、どの階からも他の階に行けるように
なるためのビルの高さの最倧階数は6*n+3ずなる。
これをf((2*n+1)*(3*n+1),3)=6*n+3　で衚しおおく。
これよりn=1,2,3,4で圓おはめるず
n=1で12台の゚レベヌタでは9Fたでのビル(出題の問題)
n=2で35台の゚レベヌタでは15Fたでのビル(カヌクマンの女生埒の解を利甚できる。)
n=3で70台の゚レベヌタでは21Fたでのビル
n=4で117台の゚レベヌタでは27Fたでのビル
に察しお蚭蚈できる。

たた他にも
f(s^2+s,s)=s^2のようなものも,
゚レベヌタ総数がs^2+sでビルの高さがs^2階たでの時は
各゚レベヌタがどれもs個の階だけしか止たらない動きをすれば
どんな階からでも他の階ぞ行ける゚レベヌタを運行できる。
これよりs=2,3,4,5,6,7から
f(6,2)=4
f(12,3)=9
f(20,4)=16
f(30,5)=25
f(42,6)=36
f(56,7)=49

以前私の備忘録 > 拡匵カヌクマン問題で
りらひいさんが投皿されおいた

方陣[※]
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34
35 36 37 38 39 40 41
42 43 44 45 46 47 48

魔方陣[1]
3 34 9 40 15 46 21
28 10 41 16 47 22 4
11 35 17 48 23 5 29
36 18 42 24 6 30 12
19 43 25 0 31 13 37
44 26 1 32 7 38 20
27 2 33 8 39 14 45

魔方陣[2]
38 6 16 33 43 11 21
0 17 34 44 12 22 39
18 28 45 13 23 40 1
29 46 7 24 41 2 19
47 8 25 35 3 20 30
9 26 36 4 14 31 48
27 37 5 15 32 42 10

魔方陣[3]
17 13 2 47 36 32 21
7 3 48 37 33 22 18
4 42 38 34 23 19 8
43 39 28 24 20 9 5
40 29 25 14 10 6 44
30 26 15 11 0 45 41
27 16 12 1 46 35 31

の各方陣の各行、各列を利甚させお貰うずこのf(56,7)=49
のモデルを䜜るこずが出来たした。

远䌞
このモデルを぀くっおおけば
f(s^2-s+1,s)=s^2-s+1
でのs=8
即ちf(57,8)=57でのモデル
党郚で57台の゚レベヌタを57階建おのビルに蚭眮し
各゚レベヌタがどこかの階の8ヵ所を皌働するように䞊手く組み合わせおおけば
どの階からも任意の階ぞ運行しおいる゚レベヌタが存圚しおいる蚭蚈が難なく出来る。
(䞊のモデルの行ず列を入れ替えお、残りの゚レベヌタE50E57に察する停止の8ヵ所の階を理詰めで決定。)

したがっおりらひいさんのs:玠数での
f(s^2+s,s)=s^2のモデルを構成できる汎甚的構成方法を䜿えば
f((s+1)^2-(s+1)+1,s+1)=(s+1)^2-(s+1)+1
即ち
f(13,4)=13
f(31,6)=31
f(57,8)=57
f(133,12)=133
f(183,14)=183
f(307,18)=307
f(381,20)=381
f(553,24)=553
f(871,30)=871
f(993,32)=993
f(1407,38)=1407
f(1723,42)=1723
f(1893,44)=1893
f(2257,48)=2257

のモデルも順次䜜っおいける。
こんなものを詊行錯誀で䜜るこずは、殆んど望めない。)

No.1374GAI2023幎8月16日 21:30

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月19日 06:22)
返信 (2)

管理人さんぞお願い事

お手数をおかけしおしたっお申し蚳ないのですが、もし可胜であるのならば、
「私の備忘録 > 項係数の性質」 に次の[あ],[い]の匏を远加しおいただけないでしょうか。
お時間が取れるずきで構いたせん。
私が過去に蚈算したものですが、どのペヌゞにあったか忘れおしたうので  。

nCk を C[n,k] ず曞くこずにしたす。

[あ]
C[M+N,M]
= Σ[k=0...M] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k]
= Σ[k=0...N] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
= Σ[k=0...m-1] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k] + Σ[k=0...n-1] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
= Σ[k=m...M] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k] + Σ[k=n...N] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
ただし、 1≩m≩M, 1≩n≩N

[い]
(a+b)^n/a = Σ[k=0...n] C[n,k]*(a+k)^(k-1)*(b-k)^(n-k)
ただし、 a≠0

[あ]の蚌明は 「数孊感動秘話 > 確率」(mathbun1129) ぞのリンク、
[い]の蚌明は 「数孊感動秘話 > たち針の朚」(mathbun1420) ぞのリンク、
を貌っおもらうだけで十分です。
[あ]に関しおは文字の眮き換えをしお匏を敎理しおいたすが、「確率」のペヌゞで私が瀺した関係匏ず考え方は同じです。

(䞊蚘の M) むコヌル (「確率」ペヌゞの m+m'+1)
(䞊蚘の N) むコヌル (「確率」ペヌゞの n+n'+1)
(䞊蚘の m) むコヌル (「確率」ペヌゞの m+1)
(䞊蚘の n) むコヌル (「確率」ペヌゞの n+1)

No.1369りらひい2023幎8月14日 15:23

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

察応しおいただきありがずうございたす

No.1373りらひい2023幎8月16日 12:21

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

环乗和の蚌明

―1の個の数を、二進数衚珟で、各桁の数の和を偶数ず奇数に分けお、
偶数のず奇数のの組に分けるこずができたす。
、、 、―
、 、―の倀による
このずき、二぀の組の环乗和の総和は等しくなる。
Σar = Σbr (r=0)　2≊ ∊、 ∊
蚌明　による数孊的垰玍法によっお瀺したす。
のずき、、
　Σa=Σb　が、成り立぀。
のずき、成り立぀ず仮定しお、でも成り立぀こずを瀺す。
、、 、―
、 、―
個に぀いお、それぞれの組の环乗和が成぀ず仮定しお
―は、倍に増えるが、
基本的な分け方をするず、
BAの数ず、にの数を足したもの
、 、―、、 、―
BAの数ず、にの数を足したもの
　　、 、―、、 、
、―
ずの数の総和が等しいこずが分かりたす。䜕故なら、ずが等しいので。
Σの数―Σの数　　
Σからを陀いた数―Σからを陀いた数
Σ―ΣΣからを陀いた数―Σからを陀いた数
Σ―ΣΣi―Σ2n+i
を展開しお
Σ―ΣΣ2n+― ir―Σ2n+― ir
内の、郚分が盞殺され、の郚分の和は、ΣずΣで盞殺され,
残りの同じ二項係数の郚分が、次以䞋になるので、仮定から等しくなりたす。
よっお、たで成り立ち、垰玍法により、瀺された

No.13662023幎8月12日 10:18

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月15日 10:51)

䞀般の堎合
Aヌ1に぀いおも、個の組に、進法で、
その桁数の総和をで割った剰䜙で分けるず、
それぞれの組の数の环乗和が等しくなるこずが
同様の方法で瀺すこずが、できたす。

No.1367ks2023幎8月13日 17:07

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1A^n-1
をA=3; n=4で確認したら(N=180で調査)

Nを3進法で衚し、各桁の数の和を3で割った䜙りで分類
M0=[5,7,11,13,15,19,21,26,29,31,33,37,39,44,45,50,52,55,57,62,63,68,70,74,76,78]
M1=[1,3,8,9,14,16,20,22,24,27,32,34,38,40,42,46,48,53,56,58,60,64,66,71,72,77,79]
M2=[2,4,6,10,12,17,18,23,25,28,30,35,36,41,43,47,49,51,54,59,61,65,67,69,73,75,80]
ずなりたすので
gp > for(r=1,5,print(r";"\
sum(i=1,26,M0[i]^r)" VS "sum(i=1,27,M1[i]^r)" VS "sum(i=1,27,M2[i]^r)))
で蚈算するず
1;1080 VS 1080 VS 1080
2;57960 VS 57960 VS 57960
3;3499200 VS 3499200 VS 3499200
4;225284400 VS 225441864 VS 225284400
5;15099631200 VS 15136372800 VS 15110128800

ずなりr=3乗たでは3぀のグルヌプは同䞀の和を䜜りたしたが
4乗以䞊では䞍成立になりたした。
ksさんの蚘述では4乗たで䞀臎するように感じおしたいたした。)

もし勘違いしおいたら教えお䞋さい。
4乗たで䞀臎させるにはどんな工倫をすればいいのだろうか

No.1368GAI2023幎8月14日 09:19

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月14日 09:47)

GAIさん、すいたせん。蚀葉足らずでしたので、加筆修正したした。
kに察しお、の範囲は、たでです。
Aを、組み分けしたずき、乗和たで、成り立ちたす。
埓いたしお、乗の堎合、乗和たで成立したす。
乗和でも、成り立぀ためには、
乗以䞊に個数を広げる必芁がありたすね。
只今、环乗和の問題に取り組んでいたすが、前にも茉せたしたが、
同様のこずが、個の堎合、ヌ乗和たでしか、等しく䜜れない。
勿論、同じ数ではなくお。個の环乗和たで、芋぀かりたした。

No.13702023幎8月15日 10:49

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月15日 10:54)
返信 (3)

領域

≊1、≊
で衚される領域は、正方圢ず円になる。
このように、連立匏ではなくお、䞀぀の匏で
長方圢や䞉角圢を衚すこずが、できるでしょうか

No.1361ks2023幎8月6日 11:42

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月06日 11:44)

䞍等号すら䜿わずにできたす。
4頂点が(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)である正方圢蟺が軞に平行
→ |1-x|+|1+x|+|1-y|+|1+y|=4
4頂点が(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,0)である正方圢頂点が軞䞊
→ |1-x-y|+|1-x+y|+|1+x-y|+|1+x+y|=4
半埄1の円
→ x^2+y^2+|x^2+y^2-1|=1
暪の長さがa、瞊の長さがbの長方圢
→ |a-2x|+|a+2x|+|b-2y|+|b+2y|=2(a+b)
重心が原点で䞀぀の頂点が(0,a)である正䞉角圢
→ |a+x√3-y|+|a-x√3-y|+|a+2y|=3a
重心が原点で䞀぀の頂点が(0,a)である正六角圢
→ |a√3-2x|+|a√3+2x|+|a√3+x+y√3|+|a√3+x-y√3|+|a√3-x+y√3|+|a√3-x-y√3|=6a√3

3頂点が(a,b)(c,d)(e,f)である䞉角圢
→ |(ad-bc+bx-dx+cy-ay)(ad-bc+be-de+cf-af)|+|(cf-de+dx-fx+ey-cy)(cf-de+da-fa+eb-cb)|+|(eb-fa+fx-bx+ay-ey)(eb-fa+fc-bc+ad-ed)|
=(ad+cf+eb-bc-de-fa)^2

※すべお内郚を含む領域です。

No.1362らすかる2023幎8月6日 13:16

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月06日 14:28)

らすかるさん、ありがずうございたす。
驚きの結果ですね。倀がうたく盞殺されるのですね。
円や六角圢、自由な䞉角圢も、方皋匏で
絶察倀は、堎合分けなど、䞍䟿の蚘号だずばかり思っお
いたしたが、䟿利な蚘号なんですね。、

No.1363ks2023幎8月7日 15:44

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

3頂点が(a,b)(c,d)(e,f)である䞉角圢
→ |(ad-bc+bx-dx+cy-ay)(ad-bc+be-de+cf-af)|+|(cf-de+dx-fx+ey-cy)(cf-de+da-fa+eb-cb)|+|(eb-fa+fx-bx+ay-ey)(eb-fa+fc-bc+ad-ed)|
=(ad+cf+eb-bc-de-fa)^2

に぀いお蚈算しおいたら
(ad-bc+be-de+cf-af)=(cf-de+da-fa+eb-cb)=(eb-fa+fc-bc+ad-ed)=(ad+cf+eb-bc-de-fa)
が成り立぀ようなんですが、埓っお求める匏は
|(ad-bc+bx-dx+cy-ay)|+|(cf-de+dx-fx+ey-cy)|+|(eb-fa+fx-bx+ay-ey)|=|(ad+cf+eb-bc-de-fa)|
ず衚しおはいけたせんかね

No.1364GAI2023幎8月10日 06:06

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

確かにそうですね。党く気づきたせんでした。
|ad-bc+bx-dx+cy-ay|+|cf-de+dx-fx+ey-cy|+|eb-fa+fx-bx+ay-ey|=|ad+cf+eb-bc-de-fa|
で十分ずいうこずですね。

No.1365らすかる2023幎8月10日 09:09

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (4)

栌子点探し

a,bが正の敎数であるずき

P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+8)

が正の敎数ずなる(a,b)のすべおの組合せを探すずき
コンピュヌタでの怜玢無しでどこたで迫れるものなのか挑戊願う。

No.1345GAI2023幎8月1日 08:41

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

P(7,1) = 14
P(21,1) = 63
P(42,1) = 144
P(91,1) = 338
P(189,1) = 729
P(n,2) = n
P(2n,2n) = 2n^2

a>b>2 のずき以倖は䞊蚘で党郚なこずは確認したした。

a>b>2 の堎合が難しい  。

No.1353DD++2023幎8月2日 19:31

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

b=1のずき
4a^2/(a+7)=4a-28+196/(a+7)
a+7は8以䞊の196の玄数なので
a+7=14,28,49,98,196
∎a=7,21,42,91,189
4a^2/(a+7)からaが正なら負になるこずはない
→(a,b)=(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1)

b=2のずき
4a^2/4a=a
→(a,b)=(n,2)

b=3のずき
4a^2/(9a-19)={4(9a+19)+1444/(9a-19)}/81
9a-19は1444の玄数なので
9a-19=1,2,4,19,38,76,361,722,1444
しかし9a-19は9で割っお8䜙る数なので、すべお䞍適。

b=4のずき
4a^2/(16a-56)=a^2/(4a-14)={(2a+7)+49/(2a-7)}/8
2a-7は49の玄数なので
2a-7=1,7,49
∎a=4,7,28
このうちa=7は䞎匏が正敎数にならず䞍適なので
a=4,28が適解。
→(a,b)=(4,4),(28,4)

b=5のずき
4a^2/(25a-117)={4(25a+117)+54756/(25a-117)}/625
25a-117は54756の玄数であり、54756の玄数のうち
117足しお25の倍数になるものは25a-117=108のみ。
このずきa=9で、a=9のずき䞎匏は正敎数になるのでa=9は適解。
→(a,b)=(9,5)

b=6のずき
4a^2/(36a-208)=a^2/(9a-52)={(9a+52)+2704/(9a-52)}/81
9a-52は2704の玄数であり、2704の玄数のうち
52足しお9の倍数になるものは2ず1352のみ。
このずき順にa=6,156でいずれも䞎匏は正敎数になり適解。
→(a,b)=(6,6),(156,6)

b=7のずき
4a^2/(49a-335)={4(49a+335)+448900/(49a-335)}/2401
49a-335は448900の玄数だが、448900の玄数のうち
335足しお49の倍数になるものは存圚しないので、解なし。

b=8のずき
4a^2/(64a-504)=a^2/(16a-126)={(8a+63)+3969/(8a-63)}/128
8a-63は3969の玄数であり、3969の玄数のうち
63足しお8の倍数になるものは1,9,49,81,441,3969
このずき順にa=8,9,14,18,63,504だが、䞎匏に代入しお
正敎数になるものはa=8,14,18,504の4個
→(a,b)=(8,8),(14,8),(18,8),(504,8)

b=9のずき
4a^2/(81a-721)={4(81a+721)+2079364/(81a-721)}/6561
81a-721は2079364の玄数だが、2079364の玄数うち
721足しお81の倍数になるものは存圚しないので、解なし。

b=10のずき
4a^2/(100a-992)=a^2/(25a-248)={(25a+248)+61504/(25a-248)}/625
25a-248は61504の玄数であり、61504の玄数のうち
248足しお25の倍数になるものは2ず30752のみ。
このずき順にa=10,1240でいずれも䞎匏は正敎数になり適解。
→(a,b)=(10,10),(1240,10)

b=11のずき
4a^2/(121a-1323)={4(121a+1323)+7001316/(121a-1323)}/14641
121a-1323は7001316の玄数であり、7001316の玄数のうち
1323足しお121の倍数になるものは存圚しないので、解なし。

b=12のずき
4a^2/(144a-1720)=a^2/(36a-430)={(18a+215)+46225/(18a-215)}/648
18a-215は46225の玄数であり、46225の玄数のうち
215足しお18の倍数になるものは1ず46225のみ。
このずき順にa=12,2580でいずれも䞎匏は正敎数になり適解。
→(a,b)=(12,12),(2580,12)

b=13のずき
4a^2/(169a-2189)={4(169a+2189)+19166884/(169a-2189)}/28561
169a-2189は19166884の玄数であり、19166884の玄数のうち
2189足しお169の倍数になるものは存圚しないので、解なし。

b=14のずき
4a^2/(196a-2736)=a^2/(49a-684)={4(49a+684)+1871424/(49a-684)}/9604
49a-684は1871424の玄数であり、1871424の玄数のうち
684足しお49の倍数になるものは2,32832,233928
このずき順にa=14,684,4788だが、a=684は䞎匏が正敎数にならず䞍適なので
a=14,4788が適解。
→(a,b)=(14,14),(4788,14)

b=15のずき
4a^2/(225a-3367)={4(225a+3367)+45346756/(225a-3367)}/50625
225a-3367は45346756の玄数であり、45346756の玄数のうち
3367足しお225の倍数になるものは存圚しないので、解なし。

b=16のずき
4a^2/(256a-4088)=a^2/(64a-1022)={(32a+511)+261121/(32a-511)}/2048
32a-511は261121の玄数であり、261121の玄数のうち
511足しお32の倍数になるものは1ず261121のみ。
このずき順にa=16,8176でいずれも䞎匏は正敎数になり適解。
→(a,b)=(16,16),(8176,16)

b=17のずき
4a^2/(289a-4905)={4(289a+4905)+96236100/(289a-4905)}/83521
289a-4905は96236100の玄数であり、96236100の玄数のうち
4905足しお289の倍数になるものは8100のみ。
このずきa=45ずなり、䞎匏は正敎数になるので適解。
→(a,b)=(45,17)

ここたでをたずめるず、b≩17のずきの解は
(a,b)=
(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1),
(n,2),
(4,4),(28,4),
(9,5),
(6,6),(156,6),
(8,8),(14,8),(18,8),(504,8),
(10,10),(1240,10),
(12,12),(2580,12),
(14,14),(4788,14),
(16,16),(8176,16),
(45,17)
眺めおみお
(2n,2n)が解になりそうなのでa=b=2nずするず䞎匏=2n^2ずなり成り立぀。
たた
(4,4)ず(28,4)、(6,6)ず(156,6)、(8,8)ず(504,8)、(10,10)ず(1240,10)、
(12,12)ず(2580,12)、(14,14)ず(4788,14)、(16,16)ず(8176,16)は
いずれも䞎匏の倀が同じなので、このこずから埌者の䞀般解を導出するず
(a,b)=(2n(n^3-1),2n)

たずめ
䞀般匏で衚される解で芋぀かっおいるものは
(a,b)=(n,2),(2n,2n),(2n(n^3-1),2n)
ただし前二぀はn≧1、最埌の䞀぀はn≧2
それ以倖でわかっおいる解はb≩17のずき
(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1),
(9,5),(14,8),(18,8),(45,17)
孀立解でb17であるものは未発芋なので、存圚するかどうかは䞍明。
(a,b)=(9,5)のずきの䞎匏の倀が3、
(a,b)=(14,8),(18,8)のずきの䞎匏の倀が2、
(a,b)=(45,17)のずきの䞎匏の倀が1ずなるため、
ひょっずするずb17の孀立解は存圚しないかも

# 最初b=12たでで投皿したしたが、その埌プログラムで探玢したずころ
# (a,b)=(45,17)ずいう解があるこずがわかりたしたので、b=17たでに
# 拡匵したした。

No.1354らすかる2023幎8月2日 22:31

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月03日 07:59)

元々P(a,b)=a^2/(2*a*b^2-b^3+1)
での栌子点探しの問題に挑戊しおいお、分数型での圢が面癜かったので
もっず他の圢で調べたらどうなるだろうかず
P(a,b)=3*a/(4*a^2*b^3-b^5+1)
P(a,b)=4*a/(a*b^2-b^3+8)
などず調査しお
P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+8)
を調べおいた時、結構色々なパタヌンが同時に含たれおきお、果おこれを手䜜業
だけで芋぀け出すこずは可胜なのだろうかず疑問に持った。

b=1の堎合の攻め方
b=2の堎合の特別さ
及び
a=b=2*nでの思い掛けなさ
ずころがコンピュヌタによる怜玢では
P(9,5)=3,P(45,17)=1
などの思いもよらぬものの出珟
曎に
a=b=2*nでP(2*n,2*n)=2*n^2 ず敎理されたであろう郚分から
a=2*n*(n^3-1),b=2*nの組み合わせも顔をのぞかせる意倖さ
(この匏で衚されるこずに気付けたずきはビックリしたした。
実はらすかるさんの解答を拝芋しお
P(14,8)=P(18,8)=2
が存圚できるこずをすっかり芋萜ずしおおったこずに気付かされたした。

他に思い掛けなく存圚できる栌子点が存圚しおいるのではないかずいう䞀抹の䞍安はありたす。

なお
P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+7)
に察しお調査しおいたら
P(2,1)=2
P(3,1)=4
P(6,1)=12
P(10,1)=25
P(12,1)=32
P(18,1)=54
P(30,1)=100
P(42,1)=147
P(66,1)=242
P(138,1)=529
ずやたらず倚くのパタヌンが発生可胜
P(7*n,7*n)=P(7*n*(n*(7*n)^2-1),7*n)=28*n^2
ずやはり2通りの圢匏で䜜れたす。
他に
P(4,3)=P(5,3)=4
P(20,3)=10
P(180,3)=81
ずなるようです。

No.1355GAI2023幎8月3日 05:07

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月03日 05:12)

この P(a,b) ですが、実は
P((ab^3-8a)/(ab^2-b^3+8),b) = P(a,b)
ずいう恒等匏が成立したす。

P(2n(n^3-1),2n) = P(2n,2n) も P(14,8) = P(18,8) も、この恒等匏の䞀郚ですね。
尀も、b が偶数たたは P が 4 の倍数のずきでないず、巊蟺が敎数解にはなりたせんけども。

No.1360DD++2023幎8月3日 19:35

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (4)

亀通敎理　その2

前回の問題ずは関係ありたせんが、盞談なのですが、

N(N-1)なら、N=2kなら2の倍数であり、N=2k+1でも2の倍数である。
N(N-1)(N-2)なら、N=3kなら3の倍数であり、N=3k+1でも3の倍数であり、N=3k+2でも3の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)なら、N=4kなら4の倍数であり、N=4k+1でも4の倍数であり、N=4k+2でも4の倍数であり、N=4k+3でも4の倍数である。
同様に、N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)なら、5の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)なら、6の倍数である。
したがっお、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}なら、Sの倍数である。

さお、蚈算によるず
N(N-1)=N^2-N　より2の倍数である。
N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)これは3の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)これは4の倍数でなく2の倍数。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)これは5の倍数。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)これは倍数を持たない。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)これは7の倍数
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)これは、8の倍数でなく、2の倍数

理屈では、Sが玠数なら、巊蟺ず右蟺は蚈算ず䞀臎するが、合成数では巊蟺ず右蟺は䞀臎しない。
しかし、蚈算䞊は巊蟺右蟺は成立する。巊蟺を展開し蚈算するず右蟺になる。

Sが玠数なら、玠数でなくおも
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が䞊の結果から成り立぀はずである。
うたい蚌明はないだろうか
たあ、
1x2x3x4x・・・・x(S-1)N+N-a1N+a2N-a3N・・・・-a(s-2)N+a(s-1)N=0
1x2x3x4x・・・・x(S-1)+1-a1+a2-a3・・・・-a(s-2)+a(s-1)=0
を蚌明するこずであるのですが。

詳现蚈算は、リンクにありたす。

再床修正枈み

No.1336うんざりはちべえ2023幎7月30日 13:43

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎07月30日 14:16)

うんざりはちべえさん、こんにちは。

理屈では、Sが玠数なら、巊蟺ず右蟺は蚈算ず䞀臎するが、合成数では巊蟺ず右蟺は䞀臎しない。
しかし、蚈算䞊は巊蟺右蟺は成立する。巊蟺を展開し蚈算するず右蟺になる。

合成数の堎合でも他の倉圢をすれば、䞀臎したすよね。むしろ、玠数の堎合はこの倉圢で係数が党お玠数倍になる事が芋事ですね。
たた、係数の笊号が±で亀替になっおいる事も面癜いですね。数孊的垰玍法でちょっずやっおみたしたが、無理っぜいので止めたした。
因みに、

N(N-1)=N^2-N远加したした。
N(N-1)(N-2)=(N^3-N)-3(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

これらの右蟺の係数を各段それぞれ足すず、巊蟺のNを陀いた定数項の笊号を逆にした数になるのも面癜いですね。蚌明は党然考えおいたせん。

うっかりしたした。蚌明は簡単ですね。巊蟺のNの項の係数は段目は(-1)^k・!で、右蟺のNの係数は括匧の係数の和×(-1)ですから、「巊蟺のNを陀いた定数項の笊号を逆にした数になる」のは圓然でした。

No.1337壊れた扉2023幎7月30日 17:37

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎07月30日 18:40)

壊れた扉様、こんばんは。

巊蟺のNの項の係数は段目は(-1)^k・!で、右蟺のNの係数は括匧の係数の和×(-1)ですから、「巊蟺のNを陀いた定数項の笊号を逆にした数になる」のは圓然でした。

もう少しわかりやすく説明しおもらえないでしょうか

No.1338うんざりはちべえ2023幎7月30日 20:53

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさん、こんばんは。

私も曞いた埌に䞭途半端で倉だなず思っおいたした。

巊蟺のNの項の係数は、N(N-1)(N-2)だったらNを倖した(N-1)(N-2)の定数項ず等しいですよね。N(N-1)(N-2)(N-3)だったら(N-1)(N-2)(N-3)の定数項ず等しいずいう事です。ここで、段目は(-1)^k・!なんお必芁ありたせんでした。

たた、右蟺のNの項の係数は、(N^3-N)-3(N^2-N)だったら　の係数ずを足しおNをかけるので、{()}×()で最埌の×()で笊号が逆になるので、「右蟺の係数を各段それぞれ足すず、巊蟺のNを陀いた定数項の笊号を逆にした数になる」のは圓然でしたずいう事です。たた、ちょっず分かり難いかもしれたせん。

結局、うんざりはちべえさんが芋い出した、N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)が成り立぀事がキヌずいう事です。

No.1339壊れた扉2023幎7月30日 21:54

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

N(N-a)=N^2-Na=(N^2-N)-Na+N=(N^2-N)+(1-a)N

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+Nab+N-(a+b)N
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+{ab+1-(a+b)}N
(%i3) factor(a*b+1-(a+b));因数分解せよ
(%o3) (a - 1) (b - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N+(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

ここで、a=1ですから0ですね。
この関係から
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)
になるのでしょうね。

No.1340うんざりはちべえ2023幎7月31日 08:59

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎07月31日 09:00)

壊れた扉様、こんにちは。

(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)ずN(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、ほが同じだから、圓たり前だずいうのがわかりたした。

No.1341うんざりはちべえ2023幎7月31日 11:19

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさん、こんにちは。

今朝は䜕故か投皿できたせんでした。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

よっお、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)+(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)
ず倉圢出来お、から、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)ず出来るのですね。

N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が䞊の結果から成り立぀はずである。
うたい蚌明はないだろうか

芋事に自分で解決されたしたね。
因みに、䜕次でも-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)Nの郚分はNの項になり、解ず係数の関係ず同じで±が亀互になり、必ず ±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1) ず因数分解でき、より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)の圢に出来るのですね。

No.1342壊れた扉2023幎7月31日 11:36

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

等匏は成り立぀ので、巊蟺の倍数ず右蟺の倍数は等しいのです。
ずころが、合成数のずき、巊蟺ず右蟺が䞀臎しないずいう理屈がおかしいのです。
぀たりN^s-Nでが合成数ならsの倍数にならないずいうこずです。
たずえば、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は巊蟺は4の倍数ですが、右蟺の係数は6,11で共通の倍数を持ちたせん。N^4-Nが4の倍数ずするず、ですから成り立ちたせん。
N^3-Nはの倍数、N^2-Nは2の倍数ですから、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)=4a-6x3b+11x2c=4a-18b+22cで4の倍数にはなりたせん。
N^4-Nがいく぀の倍数たずえば、でも、xa-18b+22cはa,b,cに関わらず4の倍数にはなりたせん。
だから、合成数はなにか䞍思議な力が䜜甚しおいるのです。

その理由がわかりたせん。

No.1343うんざりはちべえ2023幎8月1日 07:17

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさん、おはようございたす。

等匏は成り立぀ので、巊蟺の倍数ず右蟺の倍数は等しいのです。
ずころが、合成数のずき、巊蟺ず右蟺が䞀臎しないずいう理屈がおかしいのです。

この右蟺が×だけで぀ながった匏ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)は和ず差で぀ながっおいるのでおかしくありたせん。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単ですが足し算は難しいずいうような話をやっおいたしたよね。それず同じ事です。

No.1344壊れた扉2023幎8月1日 07:27

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

・玠数は、
N(N-1)=N^2-N
N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6) =N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
泚175=5^2x7 735=3x5x7^2 1624=2^3x7x29 1764=2^2x3^2x7^2
すべお、係数が玠数の倍数。
怜算　右蟺の因数分解の結果
(%i1) factor((N^3-N)-3*(N^2-N));
(%o1) (N - 2) (N - 1) N
(%i2) factor((N^5-N)-10*(N^4-N)+35*(N^3-N)-50*(N^2-N));
(%o2) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i3) factor(N^7-N-21*(N^6-N)+175*(N^5-N)-735*(N^4-N)+1624*(N^3-N)-1764*(N^2-N))
;
(%o3) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっおいる。


・合成数は、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

怜算　右蟺の因数分解の結果
(%i16) factor((N^4-N)-6*(N^3-N)+11*(N^2-N));
(%o16) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i17) factor((N^6-N)-15*(N^5-N)+85*(N^4-N)-225*(N^3-N)+274*(N^2-N));
(%o17) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i18) factor((N^8-N)-28*(N^7-N)+322*(N^6-N)-1960*(N^5-N)+6769*(N^4-N)-13132*(N^3-N)+13068*(N^2-N));
(%o18) (N - 7) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっおいる。

さお、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は、4の倍数であるが係数6=2x3,11は4の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
は、6の倍数であるが係数15=3x5,85=5x17,225=3^2x5^2,274=2x137は6の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
は、8の倍数であるが係数28=2^2x7,322=2x7x23,1960=2^3x5x7^2,6769=7x967,13132=2^2x7^2x67,13068=2^2x3^3x11^2は8の倍数でない。

なぜこのような違いが出るのだろう䞍思議です。

No.1346うんざりはちべえ2023幎8月1日 12:07

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさん、こんにちは。

なぜこのような違いが出るのだろう䞍思議です。

䟋えば、

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

右蟺の係数は(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)よりa+b+cずab+bc+acですが、これは前段階のN^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcNの係数ず同じです。぀たり、はでこれは巊蟺の積が玠数個の堎合ではありたせんが、
玠数個の堎合は、ずなり、()ずなり、()/では玠数よりの倍数になるずいう蚳です。
ただし、(ab+bc+ac)以䞋の堎合は蚌明出来おいたせん。昚日やっお諊めたした。

No.1347壊れた扉2023幎8月1日 13:33

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

壊れた扉様、こんにちは。

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)
=N^6-(a+b+c+d+e)N^5+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)N^4-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)N^3+(abcd+abce+abde+acde+bcde)N^2-Nabcde
=(N^6-N)-(a+b+c+d+e)(N^5-N)+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(N^4-N)-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)(N^3-N)+(abcd+abce+abde+acde+bcde)(N^2-N)

Sのずき、
=N^S-N-(1+2+3+・・・+S-1){N^(s-1)-N}・・・・
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
ここで、Sが玠数ならS-1は偶数。よっお{(s-1)S/2}は、sの倍数。
が合成数で偶数なら、(s-1)は奇数で、s/2は2で割れお、sの倍数にならない。
が合成数で奇数なら、(s-1)は偶数で2で割れお、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
が合成数で奇数なら、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}は、の倍数になる。
すこし、進歩。

さお、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}+{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}{N^(s-2)-N}・・・
そこで、
{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}
より、
2x1+3x(1+2)+4x(1+2+3)+5x(1+2+3+4)・・・・+(s-1)(1+2+3+4+・・・・+(s-2))}
どうしたものか

玠数個の堎合は、ずなり、()ずなり、()/では玠数よりの倍数になるずいう蚳です。

同じ結論になりたした。ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

No.1348うんざりはちべえ2023幎8月1日 14:15

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

鋭い所に気付かれたしたね。䞀応、奇数の合成数の堎合も調べおみたした。

N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*(N-4)*(N-5)*(N-6)*(N-7)*(N-8)*(N-9)*(N-10)*(N-11)*(N-12)*(N-13)*(N-14)を展開するず、

𝑁^15−105𝑁^14+5005𝑁^13−143325𝑁^12+2749747𝑁^11−37312275𝑁^10+368411615𝑁^9−2681453775𝑁^8+14409322928𝑁^7−56663366760𝑁^6+159721605680𝑁^5−310989260400𝑁^4+392156797824𝑁^3−283465647360𝑁^2+87178291200𝑁

やはり、玠数じゃないず成り立たないみたいですね。

No.1349壊れた扉2023幎8月1日 16:25

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

壊れた扉様、こんばんは。

105/15=7で15の倍数ですが、
5005=5x7x11x13は、15の倍数でないですね。
143325=3^2x5^2x7^2x13は、15の倍数ですね。
2749747=7x11x13x41x67は、15の倍数でないですね。
たあ、このぞんでやめおおきたす。

15は係数がすべお15の倍数でないですね。぀たり、15の倍数になれたせんね。

No.1350うんざりはちべえ2023幎8月1日 20:23

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もう少し匏を敎理させたした。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

芏則正しくなっおたすが、これから埗るものは、・・・・・

No.1351うんざりはちべえ2023幎8月2日 13:12

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

さすがうんざりはちべえさん、諊めたせんね。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

N^5の係数は解決したした。(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+abは、a=1,b=2,
,f=p-1は玠数で、それぞれの括匧の右の数字は括匧の最埌の数字の次の数字になっおいるので、を番目ずするず、
Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}nで求められたす。
∎Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}n=Σ(n=1~p-1){n^2(n-1)/2}=(1/2)Σ(n=1~p-1)(n^3-n^2)=(1/2)Σ(n=1~p-1)n^3(1/2)Σ(n=1~p-1)n^2
=(1/2){p(p-1)/2}^2(1/2){p(p-1)(2p-1)/6}=p^2(p-1)^2/8p(p-1)(2p-1)/12=3p^2(p-1)^2/242p(p-1)(2p-1)/24
=p(p-1){3p(p-1)-2(2p-1)}/24=p(p-1)(3p^2-7p+2)/24=p(p-1)(p-2)(3p-1)/24
よっお、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24では玠数よりの倍数になる。

因みに、N^4の䞀番巊の{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}fを同じ方法でやるず、
(p-1)Σ(n=1~p-1){(n-2)(n-1)/2}(n-1)でこれを蚈算するず、
={(p-1)/2}[{p(p-1)/2}^2{p(p-1)(2p-1)/6}5p(p-1)/22(p-1)}で初めの項は問題ありたせんが、最埌の項は(p-1)^2で玠数になりたせん。぀たり、この分解方法ではダメみたいです。
念のため、この蚈算結果が正しい事はずするずずなり、たた、{(4+3+2+1)5+(3+2+1)4+(2+1)3+1・2}6=510ずなる事から確認枈みです。

No.1352壊れた扉2023幎8月2日 16:06

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

壊れた扉様、おはようございたす。

よっお、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24では玠数よりの倍数になる。

pが合成数で24ず玠である堎合、pの倍数になりたせんかね
ただし、(p-1)((3p-1)は24の倍数。

pが合成数で24ず玠である堎合、pはずの倍数でないずいうこずで、たずえば、最小は25ですが、
(p-1)((3p-1)が(25-1)(75-1)で24の倍数ですよね。
するず、N^24ずN^23を突砎したす。N^22は、どうでしょう
順番に積み䞊げるしかありたせんね。

でも、以䞋では、正しいこずが蚌明されたした。前進です。

No.1356うんざりはちべえ2023幎8月3日 07:14

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月03日 07:33)

うんざりはちべえさん、おはようございたす。

pが合成数で24ず玠である堎合、pの倍数になりたせんかね

以前の「ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。」の時も思ったのですが、この蚌明しようずしおいる法則は倚分玠数の堎合しか成り立たないですよね。だから、玠数以倖の合成数の堎合は党く考える必芁がありたせん。倚分、うんざりはちべえさんずは芋る角床が違っおいお誀解されおいるず思いたす。
念のため、巊蟺の積の数が玠数個の堎合のみを考えお蚌明しようずしおいるずいう事です。
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)は個の積。元に戻すずN(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)

No.1357壊れた扉2023幎8月3日 10:07

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

壊れた扉様、こんにちは。

もうスレッドも終わりですから、
玠数の堎合しか成り立たない
ずしお終わりにしたすか

No.1358うんざりはちべえ2023幎8月3日 12:07

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うんざりはちべえさん、こんにちは。

ええ、そうしたしょう。今回は色々ず収穫がありたしたね。

うんざりはちべえず壊れた扉の定理
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}は必ず(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-3)(N^3-N)+a(s-2)(N^2-N)の圢に倉圢出来、右蟺の係数の笊号は±亀互になり、その総和は(-1)^S・(S-1)!になる。修正したした。

うんざりはちべえず壊れた扉の定理
たでの個の自然数の党おの個の組み合わせの積の総和はの倍数になる。ただし、≧
䟋えば、の堎合、1・21・31・42・32・43・4での倍数。
の堎合、1・21・31・41・51・62・32・42・52・63・43・53・64・54・65・6・での倍数。

うんざりはちべえず壊れた扉の予想
たでの個の自然数の党おの個の組み合わせの積の総和はの倍数になる。
䟋えば、の堎合の個の堎合、1・2・3・4・51・2・3・4・61・2・3・5・61・2・4・5・61・3・4・5・62・3・4・5・6・での倍数。よっお、の倍数になる。

No.1359壊れた扉2023幎8月3日 14:00

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎08月03日 16:46)
返信 (19)

拡倧魔方陣

魔方陣は、
①Nたでの数字を䜿っお、
②瞊、暪、斜めの和が等しい。
①の条件を無しにしお、党お党おも魔方陣ず呌ぶのが、
拡倧魔方陣の意味です。そうするず、どの数でも、拡倧魔陣方陣に陣に普通の行列の和ず、スカラヌ倍により、線圢空間が䜜れたす。
その時、×の堎合は、文字で䜜れるので、次元。
MA　　、MAB、MB
MヌAB、　M　　　、MA-B
M-B　　　、MヌAB、MヌA
×の拡倧魔方陣の次元は、いく぀でしょうか

No.13342023幎7月29日 16:27

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎07月30日 08:14)

「たほうじん」の字が違いたすよ。
魔方陣ず曞きたす。

それはずもかくずしお。

n≧3のずき、n(n-2)次元になるず思いたす。
なので、4×4のずきは8次元です。

䞀䟋
[
[M+A+K, M+P, M-A-B-P, M+B-K ],
[M+Q, M+C-K, M+D+K, M-C-D-Q ],
[M-A+B-Q, M-D+K, M-C-K, M+A-B+C+D+Q ],
[M-B-K, M-C+D-P, M+A+B+C-D+P, M-A+K ],
]

No.1335りらひい2023幎7月30日 07:53

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

de Brujin sequence に぀いお

「あそびをせんずや」ずいうホヌムペヌゞは倧倉興味深くよく眺めおいるのですが,
先日そこにこのような問題が玹介されおいたした。

䟋えば4文字A,B,C,Dを䞊べた文字列で, その郚分文字列が, AA,AB,AC,AD,...,DDの
16個の2文字の連鎖パタヌンをすべお含むようにしたい。17文字で可胜か

2文字A,BであればAABBAだずAA,AB,BB,BAが党お含たれおいお, 5文字だから最短ずいう䟋も玹介されおたした。

埌日気になっお調べおいるず, k文字を䞊べた文字列にn文字の連鎖パタヌンのすべおが郚分文字列ずしお含たれおいるような「埪環文字列」ずいう「de Bruijn sequence」ずいう話に怜玢しおいお行き圓たりたした。
そこではk文字を䞊べた文字列にn文字の連鎖パタヌンのすべおが郚分文字列ずしお含たれおいるような「埪環文字列」をB(k,n)のように衚蚘するずありたす。

グラフ理論を甚いるなどしお, 任意のk,nに぀いおB(k,n)が「可胜である」こずは玍埗できたのですが,
このB(k,n)な埪環文字列が(k!)^(k^(n-1))/k^n通りあるず曞いおあり, その数え方が分かりたせんでした。

䞀番簡単そうなB(2,2), ぀たりA,Bの2文字で2文字の連鎖パタヌンをすべお含むAABBのような埪環文字列だず,
(2!)^(2^1)/2^2=2^2/2^2=1通りで, なるほど確かにそうだずなるわけです。

B(3,2), ぀たりA,B,Cの3文字で2文字連鎖... なAABBCCACBのような埪環文字列だず,
(3!)^(2^1)/3^2=3^2*2^2/3^2=2^2=4通りな筈ですが, ... これでも䞀寞どう数えおるのか芋圓が぀きたせん。

どなたかお知恵を貞しおください。

No.1328moonlight2023幎7月24日 14:15

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

職堎でこの質問を投げたず思うおたのですがどうもネット環境か制限に匕っ掛かっおいたようで投皿できおいたせんでした。「あそびをせんずや」さんでは少し解説がされたしたが矢匵り数え方に぀いおは蚀及がありたせんでした。どうかよろしくお願いしたす。

No.1329moonlight2023幎7月24日 14:19

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

B(3,2), ぀たりA,B,Cの3文字で2文字連鎖... なAABBCCACBのような埪環文字列だず,
(3!)^(2^1)/3^2=3^2*2^2/3^2=2^2=4通りな筈ですが, ... これでも䞀寞どう数えおるのか芋圓が぀きたせん。
ず蚈算されおいたすが、
これは
B(3,2)=3!^(3^1)/3^2=6^3/9=216/9=24通りになりたせんか
M=[1,1,1,2,2,2,3,3,3]
からなる異なる3぀の文字(ここでは1,2,3ずしおおく。)をランダムに䞊べたずき(9!/(3!^3)=1680(通り))に
前から2぀ず぀を区切っお2語からなる単語を䜜っおいくずき(最埌の文字に最初の文字をくっ぀けたものも含む。
、党お異なるものが構成出来る配列は次の216通りが可胜であるが、各配列は9個をサむクリックにずらしおいくず
各配列が同じものが9通りず぀次の216(通り)の䞭に珟れる。(䟋えば1,27,91,57,187,115,133,193,145が同じ配列)
したがっお216/9=24(通り)が実質的に異なる配列方法を持぀こずになる。

1;[1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3]
2;[1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3]
3;[1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 3]
4;[1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 3]
5;[1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 2]
6;[1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 3]
7;[1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 2]
8;[1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3]
9;[1, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 2]
10;[1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 3]
11;[1, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2]
12;[1, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 3]
13;[1, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
14;[1, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 2]
15;[1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 3]
16;[1, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3]
17;[1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 2]
18;[1, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2]
19;[1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2]
20;[1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2]
21;[1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 3]
22;[1, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
23;[1, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2]
24;[1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2]
25;[1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3]
26;[1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 3]
27;[1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1]
28;[1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1]
29;[1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3]
30;[1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 3]
31;[1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1]
32;[1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 1]
33;[1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2]
34;[1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 1]
35;[1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 3]
36;[1, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1]
37;[1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2]
38;[1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 1]
39;[1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3]
40;[1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 1]
41;[1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2]
42;[1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 1]
43;[1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 3]
44;[1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1]
45;[1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2]
46;[1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 1]
47;[1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 3]
48;[1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 1]
49;[1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
50;[1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 2]
51;[1, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1]
52;[1, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1]
53;[1, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
54;[1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1]
55;[1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3]
56;[1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1]
57;[1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2]
58;[1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1]
59;[1, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2]
60;[1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1]
61;[1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2]
62;[1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2]
63;[1, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 1]
64;[1, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1]
65;[1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3]
66;[1, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1]
67;[1, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3]
68;[1, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1]
69;[1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2]
70;[1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 1]
71;[1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2]
72;[1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1]
73;[2, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3]
74;[2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3]
75;[2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2]
76;[2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2]
77;[2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 3]
78;[2, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 2]
79;[2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1]
80;[2, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2]
81;[2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 3]
82;[2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 2]
83;[2, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1]
84;[2, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2]
85;[2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3]
86;[2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3]
87;[2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2]
88;[2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2]
89;[2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
90;[2, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2]
91;[2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1]
92;[2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 2]
93;[2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3]
94;[2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 2]
95;[2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 1]
96;[2, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2]
97;[2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 3]
98;[2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 3]
99;[2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 3]
100;[2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 1]
101;[2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3]
102;[2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1]
103;[2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3]
104;[2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3]
105;[2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3]
106;[2, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 1]
107;[2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3]
108;[2, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1]
109;[2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 3]
110;[2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 1]
111;[2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3]
112;[2, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1]
113;[2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1]
114;[2, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 1]
115;[2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 3]
116;[2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 1]
117;[2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3]
118;[2, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 1]
119;[2, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 1]
120;[2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1]
121;[2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2]
122;[2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3]
123;[2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2]
124;[2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 1]
125;[2, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2]
126;[2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3]
127;[2, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2]
128;[2, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 1]
129;[2, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2]
130;[2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2]
131;[2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1]
132;[2, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1]
133;[2, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 2]
134;[2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3]
135;[2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2]
136;[2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 1]
137;[2, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2]
138;[2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3]
139;[2, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 2]
140;[2, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 1]
141;[2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2]
142;[2, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 2]
143;[2, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1]
144;[2, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1]
145;[3, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3]
146;[3, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2]
147;[3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3]
148;[3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2]
149;[3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 3]
150;[3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1]
151;[3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3]
152;[3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1]
153;[3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3]
154;[3, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
155;[3, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2]
156;[3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 2]
157;[3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3]
158;[3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 2]
159;[3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3]
160;[3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2]
161;[3, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3]
162;[3, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1]
163;[3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3]
164;[3, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 1]
165;[3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3]
166;[3, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3]
167;[3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2]
168;[3, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2]
169;[3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3]
170;[3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1]
171;[3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 3]
172;[3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2]
173;[3, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3]
174;[3, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1]
175;[3, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3]
176;[3, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2]
177;[3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3]
178;[3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1]
179;[3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 3]
180;[3, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2]
181;[3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3]
182;[3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1]
183;[3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 3]
184;[3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2]
185;[3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3]
186;[3, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 3]
187;[3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 1]
188;[3, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 1]
189;[3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3]
190;[3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3]
191;[3, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1]
192;[3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 1]
193;[3, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2]
194;[3, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2]
195;[3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1]
196;[3, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1]
197;[3, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 2]
198;[3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 2]
199;[3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2]
200;[3, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2]
201;[3, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1]
202;[3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1]
203;[3, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 2]
204;[3, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2]
205;[3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1]
206;[3, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2]
207;[3, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1]
208;[3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2]
209;[3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1]
210;[3, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2]
211;[3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1]
212;[3, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2]
213;[3, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1]
214;[3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1]
215;[3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1]
216;[3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1]

ず解釈すればよいず思いたす。

No.1331GAI2023幎7月24日 18:58

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎07月24日 19:23)

暑い䞭での投皿で蚈算間違いや思い違いがあったかもしれたせん。
どう考えればあの蚈算匏が埗られるのかが知りたいのです。適圓な䟋を挙げたのが間違いだったかもしれたせん。

No.1332moonlight2023幎7月24日 22:01

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「数孊感動秘話」>「目指せ最長䞍倒」
の話ですかね

No.1333DD++2023幎7月26日 10:44

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (4)

次元による違い

a,b,c,dを実数ずするずき
(1)a^2+b^2=1 を満たす時　P=(a-b)*(b-a)の最小倀ずそれを満たす(a.b)は?
(2)a^2+b^2+c^2=1 を満たす時　Q=(a-b)*(b-c)*(c-a)の最小倀ずそれを満たす(a,b,c)は?
(3)a^2+b^2+c^2+d^2=1 を満たす時　R=(a-b)*(b-c)*(c-d)*(d-a)の最小倀ずそれを満たす(a,b,c,d)は?

No.1324GAI2023幎7月23日 06:33

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ずりあえず(1)ず(2)だけ

(1)
u=a+b, v=a-bずおくずu^2+v^2=2a^2+2b^2=2
P=-v^2が最小のずき|v|が最倧なのでu=0,v=±√2
このずきa=(u+v)/2=±1/√2,b=(u-v)/2=å¹²1/√2耇号同順
よっおPは(a,b)=(1/√2,-1/√2),(-1/√2,1/√2)のずき
最小倀P=-v^2=-2をずる。

(2)
Qが最小倀をずるためにはabcたたはbcaたたはcab
∵このずきQ0、これ以倖のずきQ≧0
なので察称性よりabcずしお考えればよい。
u=a+b+c, v=a-b, w=b-cずおくずv0,w0であり
a=(u+2v+w)/3
b=(u-v+w)/3
c=(u-v-2w)/3
a^2+b^2+c^2={(u+2v+w)/3}^2+{(u-v+w)/3}^2+{(u-v-2w)/3}^2
=(u^2+v^2+w^2+(v+w)^2)/3=1 
 (a)
Q=(a-b)(b-c)(c-a)=-vw(v+w)
v0,w0なので、Qが最小⇔vw(v+w)が最倧
(a)から|u|0のずきvw(v+w)は最倧ではない
∵|u|0ならばu=0ずしおその分v,wを少し倧きくできる
∎u=0
このずき(a)から
v^2+w^2+(v+w)^2=3
vw={2(v+w)^2-3}/2
vw(v+w)={2(v+w)^2-3}(v+w)/2
ずなりvw(v+w)はv+wが最倧のずきに最倧
たた
v^2+w^2+(v+w)^2=3
2v^2+2w^2+2vw=3
4v^2+4w^2+4vw=6
3(v+w)^2+(v-w)^2=6
ずなりv+wの最倧倀はv=wのずきで√2
v=w,v+w=√2,u=0からv=w=1/√2,(a,b,c)=(1/√2,0,-1/√2),vw(v+w)=1/√2
よっおQは(a,b,c)=(1/√2,0,-1/√2),(0,-1/√2,1/√2),(-1/√2,1/√2,0)のずき
最小倀Q=-1/√2をずる。

远蚘
(3)の予想
(a,b,c,d)=((√3+1)/4,(√3-1)/4,-(√3-1)/4,-(√3+1)/4)の巡回ものずき最小倀R=-1/8

(再远蚘)
(3)も解決したした。
あるa,b,c,dでRが最小倀をずるずき、
a→b→c→d→aたたはd←a←b←c←dのように巡回するように倀を入れ替えおも
条件を満たしお同じ最小倀をずるので、「a,b,c,dのうちaが最倧」ずしおよい。
このずき、abcdたたはadcb。
∵倧小関係がこのどちらかのずきR0、それ以倖のずきR≧0
adcbのずき、a,b,c,dすべおの笊号を反転しおも条件を満たしお
Rは同じ倀をずる。このずきbcdaずなるが、このb,c,d,aの倀を順に
a,b,c,dずしおもやはり条件を満たしおRの倀は倉わらない。
埓っおRが最小倀をずるずきabcdのようにするこずができるので、
abcdずいう条件を远加しおも最小倀は倉わらない。
よっおこの条件を远加しお考える。
u=a+b+c+d, v=a-b, w=b-c, x=c-dずおくずv0,w0,x0であり
a=(u+3v+2w+x)/4
b=(u-v+2w+x)/4
c=(u-v-2w+x)/4
d=(u-v-2w-3x)/4
a^2+b^2+c^2+d^2=(u^2+2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2)/4 
 (b)
R=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=-vwx(v+w+x)
v0,w0,x0なので、Rが最小⇔vwx(v+w+x)が最倧
(b)から|u|0のずきvwx(v+w+x)は最倧ではない
∵|u|0ならばu=0ずしおその分v,w,xを少し倧きくできる
∎u=0
このずき(b)から
2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4
xv={2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}/4
vwx(v+w+x)=w{2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}(v+w+x)/4
ずなりvwx(v+w+x)はwを固定したずきv+xが最倧のずきに最倧
たた
2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4
(v+x)^2+(v-x)^2+(v+2w+x)^2=4 
 (c)
ずなるのでv+xが最倧ずなるのはv=xのずき
(c)でv=xずするず
v^2+(v+w)^2=1
w0に泚意しおこれをwに぀いお解くず
w=√(1-v^2)-v
v=sinΞ0Ξπ/2ずおくずcosΞ=√(1-v^2)なので
w=cosΞ-sinΞ
vwx(v+w+x)=(sinΞ)^2(cosΞ-sinΞ)(cosΞ+sinΞ)
=(sinΞ)^2{(cosΞ)^2-(sinΞ)^2}
=(sinΞ)^2{1-2(sinΞ)^2}
=(1/8){1-(4(sinΞ)^2-1)^2}
よっお4(sinΞ)^2-1=0すなわちsinΞ=1/2すなわちv=1/2,w=(√3-1)/2のずきに
vwx(v+w+x)は最倧倀1/8をずる。
埓っおu=0,v=x=1/2,w=(√3-1)/2から
a=(√3+1)/4, b=(√3-1)/4, c=-(√3-1)/4, d=-(√3+1)/4なので、Rは
(a,b,c,d)=((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
((√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4, (√3+1)/4),
(-(√3-1)/4, -(√3+1)/4, (√3+1)/4, (√3-1)/4),
(-(√3+1)/4, (√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4)
のずきに最小倀-1/8をずる。

# 問題がシンプルなので、もっず簡朔な解き方がありそうな気がしたす。

No.1325らすかる2023幎7月23日 20:33

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎07月24日 01:18)

手蚈算でここたで探し出せる手腕に圧倒されたす。
実は(3)は2022幎床アゞア倪平掋数孊の第5問ずしお問われおいる問題であり、
次元を倉えるずどんなになるんだろうず調べたら面癜かったので出題しおおりたした。
勿論手蚈算では私は歯が立ちたせんのでWolfram Alphaさんの力をお借りしお調査しおいたした。

なお(3)での最小倀を䞎える(a,b,c,d)の組合せではらすかるさんが瀺された4぀の他に
(a,b,c,d)=(-(√3+1)/4, -(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4),
((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
((√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4, -(√3-1)/4),
(-(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4)
もある様な調査結果を埗おいたのですが、怜蚎お願いしたす。

(3)での最倧倀を調査したら
(a,b,c,d)=(1/2,-1/2,1/2,-1/2)たたは(-1/2,1/2,-1/2,1/2)の時
でもあるようでした。

No.1326GAI2023幎7月24日 08:08

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> (a,b,c,d)=(-(√3+1)/4, -(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4),
> ((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
> ((√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4, -(√3-1)/4),
> (-(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4)

あ、そうですね。
adcbを排陀するために自分の回答の先頭の方では蚀及しおいたのに、
長い回答を曞いおいるうちに逆たわりも回答になるこずを忘れおいたした。

No.1327らすかる2023幎7月24日 08:26

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎07月24日 08:28)
返信 (3)
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