5桁の素数の中で使われている5個の数字を並べ変えて作られるあらゆる整数の中で
最も多くの素数を産み出せる素数はなんでしょうか？（その中での最小の素数で）
またその最大出来る素数の個数は？
例えば3桁の素数で179なら
{1,7,9}から作られる整数は
179
197
719
791
917
971
と6種類であり、その中には179,197,719,971の4つが素数となれる。
No.81GAI2022年6月2日 06:41
1桁: 最大1個 (2,3,5,7)
2桁: 最大2個 (13,17,37,79)
3桁: 最大4個 (149,179,379)
4桁: 最大11個 (1237,1279)
5桁: 最大39個 (13789)
6桁: 最大148個 (123479)
7桁: 最大731個 (1235789)
8桁: 最大4333個 (12345769)
9桁: 最大26519個 (102345697)
10桁: 最大152526個 (1123465789)
OEISにはこんな数列も載っているのですね。
↓
http://oeis.org/A065851
ここによると11桁は最大1251724個だそうですが、
11桁以上は時間がかかりそうなのでパス。
No.82らすかる2022年6月2日 08:35
3桁の素数の中で、使われている数字をサイクリックにずらしてできる3タイプが
全て素数になることができるものがある。
例えば素数113は、サイクリックに数字をずらし
131,311
としても、どれも素数となる。
他には何があるでしょう？
また4、5桁での素数では何があるでしょうか？（サイクルの中の最小の素数でお願いします。）
No.79GAI2022年5月31日 17:57
1桁: 2, 3, 5, 7
2桁: 11, 13, 17, 37, 79
3桁: 113, 197, 199, 337
4桁: 1193, 3779
5桁: 11939, 19937
6桁: 193939, 199933
7桁～18桁: なし
19桁: 1111111111111111111
20桁～22桁: なし
23桁: 11111111111111111111111
No.80らすかる2022年5月31日 18:44
黒丸の「２と３と６の向き」は、前から気になっていた。
決まりがあったのですね。
立体の状態で
どこから見ても、
２と３が、まるで両手で１を包み込むよーな向きに。
（１つの輪になるよーな向きに）
そして、
６と４が辺で繋がった時、
だんご３兄弟が、だんご５兄弟に変身する。
（だんご３兄弟の歌、覚えてますか？
串に刺さったダンゴ・ダンゴ ♪）
また、
この気になる２・３・６達は、一つの頂点に集まる。
爽やかな１・４・５達も、一つの頂点に集まる。
やはり、「類は友を呼ぶ」のですね。
また、サイを、コロがした時、
どの面の重さも同じになるよーにと、
１の穴は、大きく深く
６の穴は、小さく浅く 削って・・・
彫り出した木屑の重さが全て同じになるよーに。
いんちきサイコロは、中身に仕掛けがしてあって、
一つの面を重く作り、その面が出やすくしてあるそーな。。。
「カルピス模様（水玉模様）の四角い箱」には、いろいろな話が
詰まっていますね。。。
そー言えば、最近は、さいころキャラメルが売られていない。
これも、諸行無常ですね。。。
私は暇人なのか・・・？
No.78カルピス2022年5月25日 19:40
今日、NHKEテレビのNHK高校講座 数学Ｉ「有理数」（10:30～10:50）を何とはなしに見ていたら
「倍分」という用語が使われていた。分子・分母に同じ数を掛けることが「倍分」らしいのだが、
生まれてこのかた「倍分」という用語を習ったこともないし、使ったこともないし、人に教えたこ
ともない。この「倍分」という用語は、最近流行りなんですかね？
No.77HP管理者2022年5月23日 17:50 A1,A2,A3,A4,A5,･･･と
a1,a2,a3,a4,a5,･･･の不思議な関係で
A1=a1^2-a2^2
A2=2*a1*a2
とすれば
A1^2+A2^2=(a1^2-a2^2)^2+(2*a1*a2)^2
=a1^4-2*a1^2*a2^2+a2^4+4*a1^2*a2^2
=a1^4+2*a1^2*a2^2+a2^4
=(a1^2+a2^2)^2
A1=a1^2+a2^2-a3^2
A2=2*a1*a3
A3=2*a2*a3
とすれば
A1^2+A2^2+A3^2=(a1^2+a2^2-a3^2)^2+(2*a1*a3)^2+(2*a2*a3)^2
=(a1^2+a2^2)^2-2*(a1^2+a2^2)*a3^2+a3^4+4*(a1^2+a2^2)*a3^2
=(a1^2+a2^2)^2+2*(a1^2+a2^2)*a3^2+a3^4
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2
同じく
A1=a1^2+a2^2+a3^2-a4^2
A2=2*a1*a4
A3=2*a2*a4
A4=2*a3*a4
とすれば
A1^2+A2^2+A3^2+A4^2=(a1^2+a2^2+a3^2-a4^2)^2+(2*a1*a4)^2+(2*a2*a4)^2+(2*a3*a4)^2
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2-2*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2+a4^4+4*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2+2*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2+a4^4
=(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)^2
以下同様にして
一般に
A1=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+･･･+(an-1)^2-an^2
A2=2*a1*an
A3=2*a2*an
A4=2*a3*an
････････
An=2*(an-1)*an
としておけば
A1^2+A2^2+A3^2+････+An^2=(a1^2+a2^2+a3^2+････+an^2)^2
の関係で結ばれる。
No.76GAI2022年5月21日 09:17
数学とはちょっと違いますけど、
天秤パズルをひとつ作りました。
よかったらどうぞ。
わたしは全問できているわけではないので、
一部しか解答がわかりません。
m 枚のコインがあります。
このうち m-2 枚が本物で 2 枚が偽物です。
偽物は本物よりも軽いことがわかっていますが、
偽物同士が同じ重さかどうかはわかりません。
天秤を最大 n 回使って偽物 2 枚を特定してください。
偽物同士の重さの関係を特定する必要はありません。
m, n が以下のとき、特定が可能か不可能かを示してください。
(1) m = 6, n = 3 のとき
(2) m = 7, n = 3 のとき
(3) m = 10, n = 4 のとき
(4) m = 11, n = 4 のとき
(5) m = 12, n = 4 のとき
↓↓ 以下、ネタバレ注意 ↓↓
わたしが今までに得ている結果は、
(1),(3) は可能、
(2),(5) は不可能、
(4) は未解決です。
No.63りらひい2022年5月11日 12:18
(4) は、最初に2個ずつ以下では釣り合ったときが不可能、4個ずつ以上だと傾いたときに不可能ということは簡単にわかりますが、3個ずつの場合がなかなか際どいですね。
そして、(3) が意外と難しい。
No.66DD++2022年5月12日 22:06
(3) の手順を再確認していた中で次のことがわかりました。
(6) m ≦ 3^t + 1 , n = 2 * t のとき、偽物2枚を特定可能
No.75りらひい2022年5月15日 03:09
この八角形には、どのような特徴があるでしょうか。
（「対辺が平行」などの自明な特徴は除く）
No.64らすかる2022年5月12日 18:02
外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
……のうち最小のもの？（自信なし）
No.65DD++2022年5月12日 21:49
設問を読んだ瞬間に
「きっと対角線の長さがすべて整数なんだろうな」
と思って確認したらその通りでした。
見事ですね。
No.67りらひい2022年5月12日 22:08
私の予定回答はりらひいさんの通りですが、
DD++さんが書かれたことも気になって調べました。
その結果、
「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
……のうち最小のもの」
は「外接円の半径8、辺の長さ9,9,8,8,8,2,2,2の八角形(辺は順不同)」
でした。
# これは半径が最小のもののうち、最長辺が最小であるものです。
# 半径8の解は3つあり、半径が最小のもののうち、面積が最小ならば別の解になると思います。
ただし、「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が自然数で、
対辺がそれぞれ平行であるもののうち最小のもの」であれば
最初に書いた半径65の八角形になります。
No.68らすかる2022年5月13日 04:47
なるほど、「平行八角形」なら正解でしたか……。
ところで、辺の長さが 33,25,16 ではなく全て2倍してあるのはどういう意図だったのでしょう？
私はそこに違和感を覚えて、奇数の長さになっている線分すなわち半径が整数となっていることが何か重要なんだろうなと思っていたのですが……単にそういう八角形を探す方法上での都合でしたか？
No.69DD++2022年5月13日 05:44
単なる探す時の都合です。
x^2+y^2=65^2上の点として
(63,16),(33,56),(-33,56),(-63,16),(-63,-16),(-33,-56),(33,-56),(63,-16)
の8点をとり、それぞれの点間の距離を計算していたので
結果的に偶数になりました。
半径を除けば、対角線の長さも含めてすべて偶数だったので
1/2にすることもできるな、と後で思いましたが、
1/2にしてしまうと座標で書くときとか外接円の方程式とかで
少し不便になりますので、そのままにしました。
「どの3点も一直線上にないn点があり、どの2点間の距離も整数」のnに上限があるか？
というのを考えている途中経過なのですが、こういう八角形があることを考えると
上限はなさそうな気がしています。
（ただし点が増えると爆発的に長さの値が大きくなる気はしますが…）
No.70らすかる2022年5月13日 07:05
なるほど、そういう研究の過程でしたか。
半径に制限をつけなければそのような点を同一円周上に無限に取れると思います。
任意の隣り合う頂点の間の中心角が「その半角の sin も cos も有理数になるような角度」になるように点をとっておけば、どの頂点間の中心角も「その半角の sin も cos も有理数になる角度」なわけですから、単位円周上で任意の2点間の距離が有理数になるような点を好きなだけ取れます。
ぐるっと回って戻ってきた最後の1個の中心角も条件を満たすのか、という点に関しても、全ての中心角の合計が 2π であることから問題なし。
No.71DD++2022年5月13日 10:59
理論的な裏付けをありがとうございます。
とりあえず、半径243061325の円に内接する192角形で
すべての辺と対角線が整数になる具体値（192個の座標）までは出しました。
裏が取れたことでこれ以上進めても無意味なので、終了することにします。
No.72らすかる2022年5月13日 13:35
> 「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
> ……のうち最小のもの」
> は「外接円の半径8、辺の長さ9,9,8,8,8,2,2,2の八角形(辺は順不同)」
> でした。
> # これは半径が最小のもののうち、最長辺が最小であるものです。
> # 半径8の解は3つあり、半径が最小のもののうち、面積が最小ならば別の解になると思います。
八角形にこだわらなければ
半径をいろいろ変化させると、それに内接するものがいろいろ作れていくのが面白いですね。（対角線の長さは無視です。）
例えば半径を8としたら
8が等しい2辺に対し残る一辺の長さが4,11,14の二等辺三角形をそれぞれ1,1,2個で埋めると8の円に内接する四角形が納まる。
また残る一辺の長さが4,8,14の二等辺三角形なら2,3,1個で内接する六角形が納まる。(8を6個使えばこれも内接しているが･･･)
半径を9とするとこれに内接する六角形を
残る一辺長(2,9,12)->(1,3,2)個
(3,9,17)->(2,3,1)個
(6,9,14)->(2,3,1)個
当然 (9) ->6個
以下同様
円の半径=>残り一辺：個数
12=> 6;12;21 :2;3;1 (内接六角形)
13=> 1;22;23 :1;2;1 (内接四角形)
13=> 10;13;24 :1;3;1 (内接五角形)
13=> 1;13;22 :2;2;2
14=> 4;22;26 :1;2;1
14=> 14;22;26 :2;1;1
16=> 8;22;28 :1;1;2
16=> 4;24;31 :1;2;1
16=> 17;22;28 :1;2;1
16=> 7;16;20 :1;3;2
16=> 4;16;31 :2;3;1
16=> 8;16;28 :2;3;1
16=> 12;16;23 :2;3;1
16=> 4;16;18 :3;3;2
16=> 4;18;31 :5;2;1
17=> 16;17;30 :1;3;1
18=> 4;18;24 :1;3;2
18=> 6;18;34 :2;3;1
18=> 12;18;28 :2;3;1
19=> 11;26;37 :1;2;1
19=> 11;19;26 :1;4;1
19=> 19;26;37 :2;1;1
19=> 11;19;26 :2;2;2
20=> 10;20;35 :2;3;1
･････････････････
3タイプの二等辺三角形に限っての調査しかしなかったので、もっとタイプを増やして
いけばまた違った埋め方が出てくるのでしょうね。
なお半径10,11では適当なものが見つからなかったのですが,見落としですかね？
No.73GAI2022年5月13日 16:07
10=> 10;12;16 :3;1;1
13=> 1;13;22 :1;4;1
13=> 13;22;23 :2;1;1
14=> 4;14;22 :2;2;2
15=> 15;18;24 :3;1;1
15=> 3;14;25 :2;2;2
15=> 14;19;25 :1;1;2
とかあるのでは？
# 11は3タイプには分けられないようです。
No.74らすかる2022年5月13日 17:57
ある2桁の数Nが
1から9までの数字を使い
N=a^2+b^2=c^2+d^2+e^2=f^2-d^2+g^2=h^2+i^2
ただし1から9の何れかであるa～iは
a<c<f<h<i の条件を満たすものとする。
さてこの時
[a,b,c,d,e,f,g,h,i]や如何に？
No.61GAI2022年5月11日 07:18
2桁で2通りの平方和で表せる数は65が思いつきます。
65=1^2+8^2=4^2+7^2
多分これを当てはめればいけるのでしょう。
というわけで
(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=(1,8,2,5,6,3,9,4,7)
No.62らすかる2022年5月11日 10:39
NHKの人気番組の「チコちゃんに叱られる」を見ていたら
一度西に沈んだ太陽を再び見るために、垂直に立つ塔へある距離をある時間内に
登ると再びその太陽の姿を望める話題が取り上げられていた。
そしてそれを可能とする公式が当時中学3年生であった工藤優輝(ゆうよう)君が
見つけて、科学論文コンクールで最優秀賞を受けたとありその式が
H(t)=10^3*(sqrt((6400*cos(θ)*tan(t/240))^2+(6400*cos(θ))^2)-6400*cos(θ)) (m)
と紹介されていた。
(θは地球上での緯度(度)、tは上に登るのに時間(秒)
東京スカイツリーがある場所の緯度が北緯36度で,地球の半径を6400(km)の真球としている。
計算機での計算上ラジアンへ変更して
H(t)=10^3*(sqrt((6400*cos(36*Pi/180)*tan(t/240*Pi/180))^2+(6400*cos(36*Pi/180))^2)
-6400*cos(36*Pi/180)) (m)
ｔを10（秒)刻みで算出してみると
t ;H(t)(m)
10;1.369115132
20;5.476464147
30;12.32205791
40;21.90591451
50;34.22805931
60;49.28852487
70;67.08735103
80;87.62458486
90;110.9002806
100;136.9145000
110;165.6673116
120;197.1587915
130;231.3890231
140;268.3580969
150;308.0661105
160;350.5131691
170;395.6993849
180;443.6248773
････････････
従って第一展望台がある（高さ350m)までは160秒かけて登れば沈んだ太陽は再び目にすることが
可能で、実際スカイツリーのエレベータではここまでの到達時間が50秒なので、太陽が西に沈んで
直ぐにエレベータで展望台に登れば残り110秒間は再び太陽の姿を見ることが出来ることになる。
上記の数値の並びが、徐々に開いていくので
10秒間隔の開きを四捨五入でm単位の整数で並べてみると
1, 4, 7, 10, 12, 15, 18, 21, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 40, 42, 45, 48, 51, 53, 56, 59, 62,
64, 67, 70, 73,･･･
となっていった。
これを試しにOEISで試したら
A186226に70までの数列に合致した。(73は72でそこでずれる)
この数列は
triangular numbers (三角数)と
pentagonal numbers (五角数)
に深く関連したものになっており、あくまでも偶然ではあろうが天体の運行が幾何学的構造で動かされて
いるのではないかと思ってしまうほど重なることに驚いた。
No.60GAI2022年5月8日 07:42
テストでーす
No.58カルピス2022年5月5日 09:25
カルピスさん、新掲示板へようこそ！無事開通しましたね。
今後ともどうぞよろしくお願いします。
No.59HP管理者2022年5月5日 09:31 
