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「三角関数の値」の問題

管理人さんとは別のやり方で求めてみました。

α = cos(2π/7), β = cos(4π/7) , γ = cos(6π/7) とします。
半角の公式より (cotx)^2 = (1+cos2x)/(1-cos2x) なので、
(1+α)/(1-α) + (1+β)/(1-β) + (1-γ)/(1+γ) を求めればよいことになります。

ζ = exp(2π/7) = cos(2π/7) + i sin(2π/7) とおきます。

z^7 - 1 = 0 は 1 の 7 乗根を解にもつので、
z^7 - 1 = ( z - 1 ) ( z - ζ ) ( z - ζ^2 ) ( z - ζ^3 ) ( z - ζ^4 ) ( z - ζ^5 ) ( z - ζ^6 )
= ( z - 1 ) { ( z - ζ ) ( z - ζ^6 ) } { ( z - ζ^2 ) ( z - ζ^5 ) } { ( z - ζ^3 ) ( z - ζ^4 ) }
= ( z - 1 ) ( z^2 - 2αz + 1 ) ( z^2 - 2βz + 1 ) ( z^2 - 2γz + 1 )

これを ( z - 1 ) z^3 で割ると
( z^3 + 1/z^3 ) + ( z^2 + 1/z^2 ) + ( z + 1/z ) + 1 = ( z + 1/z - 2α ) ( z + 1/z - 2β ) ( z + 1/z - 2γ )

ここで、2x = z + 1/z とおくと、
4x^2 = z^2 + 2 + 1/z^2 より、z^2 + 1/z^2 = 4x^2 - 2
8x^3 = z^3 + 3z + 3/z + 1/z^3 より、z^3 + 1/z^3 = 8x^3 - 6x
なので、これを用いて書き換えると
8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 8 ( x - α ) ( x - β ) ( x - γ )

t = (1+x)/(1-x) とおくと、x = (t-1)/(t+1) なので、これを代入して両辺に (t+1)^3 をかけると
8(t-1)^3 + 4(t-1)^2*(t+1) - 4(t-1)(t+1)^2 - (t+1)^3 = { (t-1) - (t+1)α } { (t-1) - (t+1)β } { (t-1) - (t+1)γ }
整理して
7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 = { (1-α)t - (1+α) } { (1-β)t - (1+β) } { (1-γ)t - (1+γ) }

よって (1+α)/(1-α), (1+β)/(1-β) ,(1-γ)/(1+γ) は方程式 7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 = 0 の解なので、
解と係数の関係よりその和は 35/7 = 5

No.785DD++2023年4月2日 07:27

投稿後に、7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 というどう見ても 7Ck な係数を見て、
先ほどのはとんでもない遠回りをしていたことに気づいてしまった……。

kπ/7 は 7 倍すると π の整数倍になるので、
cot(kπ/7) + i = { cos(kπ/7) + i sin(kπ/7) } / sin(kπ/7) は 7 乗すると実数です。

よって、6 次方程式 (x+i)^7 - (x-i)^7 = 0の解は x = ±cot(π/7), ±cot(2π/7), ±cot(3π/7) であるはずです。

この方程式の左辺を全部展開したとき、
x^6 の係数は 2*7C1*i^1
x^4 の係数は 2*7C3*i^3
その比 7C3/7C1*i^2 = -35/7 = -5 は、6 つの解の異なる 2 つずつの積の総和ですが、
符号違いが打ち消し合うことを考えれば、それは - {cot(π/7)}^2 - {cot(2π/7)}2 - {cot(3π/7)}^2 に他なりません。

よって、{cot(π/7)}^2 + {cot(2π/7)}2 + {cot(3π/7)}^2 = 5

No.786DD++2023年4月2日 07:51

ところで、2倍角、3倍角の公式は
　　　　　2tanθ
tan2θ=-----------
　　　　1-(tanθ)^2

　　　　1-(cotθ)^2
cot2θ=-----------
　　　　　2cotθ

これは、なんとなく逆数というイメージなのでわかったような気になるんですが、（でも数学的におかしいという印象ですよね？）
　　　　
　　　　3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=-----------------
　　　　1-3(tanθ)^2

　　　　(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=------------------
　　　　　3(cotθ)^2-1

と全く同じ構造なんですよ。不思議ですね。（でも数学的におかしいという印象ですよね？）

No.787うんざりはちべえ2023年4月3日 20:20

数学をちゃんとやる人は、そもそも数学的におかしいかどうかを印象で言ったりは絶対にしません。

No.789DD++2023年4月4日 00:15

写し間違えてますね。

　　　　(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------
　　　　　2cotθ

です。もしかしたら偶数と奇数で逆になるのかもしれませんね。（研究して下さい。）

No.790通りすがり2023年4月4日 07:17

DD++様、おはようございます。

(%i1) float((cot(%pi/7))^2+(cot(2*%pi/7))^2+(cot(3*%pi/7))^2);
(%o1) 5.000000000000001
ならは、tanとcotの先の印象から、
(%i2) float((tan(%pi/7))^2+(tan(2*%pi/7))^2+(tan(3*%pi/7))^2);
(%o2) 20.99999999999999
より、21になりそうな印象ですが・・・・

通りすがり様、おはようございます。

写し間違えていました。ご指摘、ありがとうございます。

No.791うんざりはちべえ2023年4月4日 07:18

tan の方は、7 次方程式 (1+xi)^7 - (1-xi)^7 = 0 の解が x = 0, ±tan(π/7), ±tan(2π/7), ±tan(3π/7) であることから、7C2/7C0 由来で 21 が得られますね。

No.793DD++2023年4月4日 10:29

ちょっと、問題から外れますが、１）、２）を上げます。

１）
　　　　(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------------
　　　　　2cotθ

　　　　(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=-----------------------
　　　　　3(cotθ)^2-1

を使って、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　をやってみる。
cotθ=xとおくと、
　　　　x^2-1　　　　　x^3-3x
x^2＋(------------)^2＋(-----------------)^2=5　　
　　　　　2x　　　　　　3x^2-1

49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1
----------------------------------------=5
　　　4x^2(3x^2-1)^2
　　　
49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1=20x^2(3x^2-1)^2
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
より、7x^2-1=0と7x^6-35x^4+21x^2-1=0が、成り立てば、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　は、ただしい。
7x^2-1=0ではx=±1/√7　実数解がある。
7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　は、実数解があるのでただしい。

２）
　　　　　2tanθ
tan2θ=----------------
　　　　1-(tanθ)^2

　　　　3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=------------------------
　　　　1-3(tanθ)^2
を使って、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21　をやってみる。
tanθ=xとおくと、

　　　　2x　　　　　　3x-x^3
x^2＋(------------)^2＋(---------------)^2=21　　
　　　　1-x^2　　　　　1-3x^2

2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)
------------------------------------------------=21
　　(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)=21(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
(2x^2-1)(5x^2-3)(x^6-21x^4+35x^2-7)=0
より、2x^2-1=0、5x^2-3=0とx^6-21x^4+35x^2-7=0が、成り立てば、
(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21　は、ただしい。
2x^2-1=0ではx=±1/√2　実数解がある。
5x^2-3=0ではx=±√3/√5　実数解がある。
x^6-21x^4+35x^2-7=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21は、実数解があるのでただしい。

No.794うんざりはちべえ2023年4月4日 12:52

＞7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。

実数解が６個ありますね。ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214
最後のでθ＝π/7が合うと思います。

No.795通りすがり2023年4月4日 16:04

通りすがり様、こんばんは。

大変、ありがとうございます！

やっと、ケリがつきました。

(%i12) fpprec:50; 50桁指定
(%o12) 50
(%i13) x:bfloat(cot(%pi/7));
(%o13) 2.076521396572336567163538861485840330705720206626b0
(%i14) 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1;に代入
(%o14) - 6.8422776578360208541197733559077936097669040130689b-49
答え

ほぼ０です。

近似解を求めると、
(%i1) allroots( 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1);
(%o1) [x = 0.2282434743901499, x = - 0.2282434743901499,
x = 0.7974733888824038, x = - 0.797473388882404, x = - 2.076521396572337,
x = 2.076521396572336]

と通りすがり様の結果になります。

また、tan（π/7）は、
float(tan(%pi/7));
(%o3) 0.4815746188075286
で、
近似解を求めると、
(%i2) allroots(x^6-21*x^4+35*x^2-7);
(%o2) [x = - 0.4815746188075286, x = 0.4815746188075286,
x = - 1.253960337662704, x = 1.253960337662703, x = 4.381286267534823,
x = - 4.381286267534823]

となり、tan（π/7）がありました。

No.796うんざりはちべえ2023年4月4日 16:55

No.794 の記事だけ全然違う問題に向かっているのは意図的にやっているものなんでしょうか？

そして意図的なのだとしたら、向かっている問題を述べてから始めてください。
なんか4回ほど「ただしい」と言っていますが、「何がただしい」のか誰にもわかりません。

No.797DD++2023年4月4日 18:22

DD＋＋様、こんばんは。

もともと、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5を証明せよ。だったので、そっちに主眼を置きました。θ＝π／７が見えなかったからです。

(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21もそうです。

でも、通りすがり様の研究結果から、θ＝π／７が見えてきたのです。

そこで、流れがこういう風になったのです。すみません。

No.798うんざりはちべえ2023年4月4日 18:36

そうですよね。θが π/7 に限らない話をしていますよね。
だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？
θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

No.799DD++2023年4月4日 21:49

DD++様、おはようございます。

＞だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？

(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
が成り立つかということです。
式を展開整理したら、
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
となったので、7x^2-1=0か、あるいは7x^6-35x^4+21x^2-1=0となり、これより、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
は、θによっては、成り立つので、正しいと言っているのです。もちろん、不等式にはならなかったですしね。

＞θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

そうです。これは、8つの解があるので、θは、8通りあります。

No.800うんざりはちべえ2023年4月5日 07:28

調べていませんが、ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214の残り２つで２π/７と３π/７に対応しているのではないでしょうか。（調べて頂けると納得出来ます。）

No.801通りすがり2023年4月5日 07:58

通りすがり様、おはようございます。
maximaで、
%i1) solve(x^3+1=0,x);　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛解を求めよ｝
　　　　　　　　sqrt(3) %i - 1　　 sqrt(3) %i + 1　　　　　　　{%iは虚数｝
(%o1) [x = - -----------------, x =--------------------, x = - 1]
　　　　　　　　　　2　　　　　　　　2
(%i2) allroots(x^3+1=0);
(%o2) [x = 0.8660254037844386 %i + 0.5, x = 0.5 - 0.8660254037844386 %i,
x = - 1.0]
となりますので、通りすがり様は、実数解を求めていたのですね。近似解とはすみませんでした。

さて、ご推察のとおり、
(%i5) float(cot(%pi/7));
(%o5) 2.076521396572337
(%i6) float(cot(2*%pi/7));
(%o6) 0.797473388882404
(%i7) float(cot(3*%pi/7));
(%o7) 0.22824347439015

π/7、２π/7、３π/7でした。さすがです。

No.802うんざりはちべえ2023年4月5日 08:02

だとしたら、
「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。

我々は超能力者じゃないので、はちべえさんの頭の中にしか存在しない文は読めません。

No.803DD++2023年4月5日 08:02

＞「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。

これが、不等式になれば、成り立つ場合がありませんので、方程式として「正しくありません」。

成り立つ場合があるのであれば、方程式として「ただしい」と言ったら納得していただけますか？

No.804うんざりはちべえ2023年4月5日 08:15

方程式として正しいとは、通常、その式が方程式の定義に該当するという意味です。
すなわち、式（定義された計算記号が正しく使われている数字と記号列）が等号の両辺に書いてあり、そこに未知数が含まれているものである、ということです。
だから「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2-5=0」と書かれただけで、「方程式の定義に該当しているのだから、方程式として正しい」とみんな認めますよ。

念のため言っておくと、方程式の定義に、実際に成り立つ場合があるかどうかは言及されていません。
解がない方程式は、ただ解がないという特徴があるというだけの正しい方程式です。

だから、はちべえさんが「ただしい」と言っている内容は、おそらく「方程式として正しい」じゃなく「特殊なθのときに成り立つ場合がある」と書かれるべきものじゃないかと思うのですが。

No.805DD++2023年4月5日 10:31

DD＋＋様、こんにちは。

ありがとうございました。ご指摘はわかりました。

No.808うんざりはちべえ2023年4月5日 16:21

返信 (19)

足し算のリング

ひたすら、隣り合う2つの数の和を求め、和のひと桁を次に書き、また、
隣り合う2つの数の和を求め、和のひと桁を次に書き、これを繰り返すものとします。

例えば、
1,3　まずこれが書かれています。1+3=4なので、3の右に4を書きます。
1,3,4　3+4=7なので、4の右に7を書きます。
1,3,4,7　4+7=11なので、下1桁だけを右に書きます。7の右に1を書きます。
1,3,4,7,1　7+1=8なので、1の右に8を書きます。
1,3,4,7,1,8　1+8=9なので、8の右に9を書きます。
1,3,4,7,1,8,9 8+9=17なので、下1桁だけを右に書きます。9の右に7書きます。
1,3,4,7,1,8,9,7 9+7=16なので、下1桁だけを右に書きます。7の右に6書きます。
1,3,4,7,1,8,9,7,6
これをひたすら繰り返すと、少なくとも60番目以内に、元に戻るのです。

以下証明　ただしa,bは、1,2,3,4,5,6,7,8,9のいずれかの自然数
たとえば、
(5a+3)+(8a+5)=13a+8=10a+3a+8→3a+8
(8a+5)+(3a+8)=11a+13=10a+a+10+3→a+3
===================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
===================================================================
0| 1 | a | a+1 | 2a+1 |3a+2 |5a+3 |8a+5 |3a+8 |a+3 |4a+1 |
--------------------------------------------------------------------　
10| 5a+4 |9a+5 | 4a+9 | 3a+4 |7a+3 | 7 |7a |7a+7 |4a+7 | a+4 |
--------------------------------------------------------------------　
20| 5a+1 |6a+5 | a+6 | 7a+1 |8a+7 |5a+8 |3a+5 |8a+3 | a+8 |9a+1 |
--------------------------------------------------------------------　
30| 9 |9a | 9a+9 | 8a+9 |7a+8 |5a+7 |2a+5 |7a+2 |9a+7 |6a+9 |
--------------------------------------------------------------------　
40| 5a+6 |a+5 | 6a+1 | 7a+6 |3a+7 | 3 |3a |3a+3 |6a+3 |9a+6 |
--------------------------------------------------------------------　
50| 5a+9 |4a+5 | 9a+4 | 3a+9 |2a+3 |5a+2 |7a+5 |2a+7 |9a+2 | a+9 |
--------------------------------------------------------------------
60| 1 | a | a+1 | 2a+1

より、
===================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
===================================================================
0| b | a | a+ b| 2a+ b|3a+2b|5a+3b|8a+5b|3a+8b|a+3b |4a+ b |
--------------------------------------------------------------------　
10| 5a+4b|9a+5b| 4a+9b| 3a+4b|7a+3b| 7b|7a |7a+7b|4a+7b| a+4b |
--------------------------------------------------------------------　
20| 5a+ b|6a+5b| a+6b| 7a+ b|8a+7b|5a+8b|3a+5b|8a+3b| a+8b|9a+ b |
--------------------------------------------------------------------　
30| 9b|9a | 9a+9b| 8a+9b|7a+8b|5a+7b|2a+5b|7a+2b|9a+7b|6a+9b |
--------------------------------------------------------------------　
40| 5a+6b|a+5b | 6a+ b| 7a+6b|3a+7b| 3b|3a |3a+3b|6a+3b|9a+6b |
--------------------------------------------------------------------　
50| 5a+9b|4a+5b| 9a+4b| 3a+9b|2a+3b|5a+2b|7a+5b|2a+7b|9a+2b| a+9b |
--------------------------------------------------------------------
60| b| a | a+ b| 2a+ b

どうして、60で繰り返すのかな？
2桁でも、繰り返すなら、いくつで繰り返すのかな？
何か、理屈があって、何桁ならいくつで繰り返すと言えるのかな？

No.766うんざりはちべえ2023年3月28日 11:26

11,aで始めると、300番目で繰り返すのかな・・・・？

No.767うんざりはちべえ2023年3月28日 16:34

初項が「１１」だと、絶対に元に戻らないのでは？

No.768HP管理者2023年3月28日 17:52

HP管理者様、こんばんは。

2桁の場合です。2桁ですから、10が最小値です。次が、11です。

計算が大変です。間違いもあるかもしれませんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|24a+31 |
--------------------------------------------------------------------　
10|45a+74|69a+5 |14a+79|83a+84|97a+63|80a+47|77a+10|57a+57|34a+67|91a+24 |
--------------------------------------------------------------------　
20|25a+91|16a+15|41a+6 |57a+21|98a+27|55a+48|53a+75| 8a+23|61a+98|69a+21 |
--------------------------------------------------------------------　
30|30a+19|29a+40|59a+59|88a+99|47a+58|35a+57|82a+15|17a+72|99a+87|16a+59 |

まだ、aの循環の確認ができていませんが、11の循環はできました。
270| 59|9a+60| 9a+19| 8a+79|7a+98|5a+77|2a+75|7a+52|9a+27|6a+79 |
--------------------------------------------------------------------　
280| 5a+6 |a+85 | 6a+91| 7a+76|3a+67| 43|3a+10|3a+53|6a+63|9a+16 |
--------------------------------------------------------------------　
290| 5a+79|4a+95| 9a+74| 3a+69|2a+43|5a+12|7a+55|2a+67|9a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33

No.769うんざりはちべえ2023年3月28日 18:24

ちょっと見にくいかもしれませんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|34a+31 |
--------------------------------------------------------------------　
10|55a+74|89a+5 |44a+79|33a+84|77a+63|10a+47|87a+10|97a+57|84a+67|81a+24 |
--------------------------------------------------------------------　
20|65a+91|46a+15|11a+6 |57a+21|68a+27|25a+48|93a+75|18a+23|11a+98|29a+21 |
--------------------------------------------------------------------　
30|40a+19|69a+40| 9a+59|78a+99|87a+58|65a+57|52a+15|17a+72|69a+87|86a+59 |
--------------------------------------------------------------------　
40|55a+46|41a+5 |96a+51|37a+56|33a+7 |70a+63| 3a+70|73a+33|76a+3 |49a+36 |
--------------------------------------------------------------------　
50|25a+39| 4a+75|69a+14|73a+89|42a+3 |15a+92|57a+95|72a+87|29a+82| a+69 |
--------------------------------------------------------------------
60|30a+51|31a+20|61a+71|92a+91|53a+62|45a+53|98a+15|43a+68|41a+83 |94a+51 |
--------------------------------------------------------------------　
70|35a+34|29a+85|64a+19|93a+4 |57a+23|50a+27| 7a+50|57a+77|64a+27|21a+4 |
--------------------------------------------------------------------　
80|85a+31| 6a+35|91a+66|97a+1 |88a+67|85a+68|73a+35|58a+ 3|31a+38 |89a+41 |
--------------------------------------------------------------------　
90|20a+79| 9a+20|29a+99|38a+19|67a+18| 5a+37|72a+55|77a+92|49a+47|26a+39 |
--------------------------------------------------------------------　
100|75a+86| a+25|76a+11|77a+36|53a+47|30a+83|83a+30|13a+13|96a+43| 9a+56 |
--------------------------------------------------------------------　
110| 5a+99|14a+55|19a+54|33a+9 |52a+63|85a+72|37a+35|22a+7 |59a+42|81a+49 |
--------------------------------------------------------------------
120|40a+91|21a+40|61a+31|82a+71|43a+2 |25a+73|68a+75|93a+48|61a+23 |54a+71 |
--------------------------------------------------------------------　
130|15a+94|69a+65|84a+59|53a+24|37a+83|90a+7 |27a+90|17a+97|44a+87|61a+84 |
--------------------------------------------------------------------　
140| 5a+71|66a+55|71a+26|37a+81| 8a+7 |45a+88|53a+95|98a+83|51a+78|49a+61 |
--------------------------------------------------------------------　
150| 39|49a+0 |49a+39|98a+39|47a+78|45a+17|92a+95|37a+12|29a+7 |66a+19 |
--------------------------------------------------------------------　
160|95a+26|61a+45|56a+71|17a+16|73a+87|90a+3 |63a+90|53a+93|16a+83|89a+76 |
--------------------------------------------------------------------
170|85a+59|54a+35|39a+94|93a+29|32a+23|25a+52|57a+75|82a+27|39a+2 |21a+29 |
--------------------------------------------------------------------
180|60a+31|81a+60|41a+91|22a+51|63a+42|85a+93|48a+35|33a+28|81a+63|14a+91|
--------------------------------------------------------------------　
190|95a+54| 9a+45| 4a+99|13a+44|17a+43|30a+87|47a+30|77a+17|24a+47| a+64 |
--------------------------------------------------------------------　
200|25a+11|26a+75|51a+86|77a+61|28a+47| 5a+8 |33a+55|38a+63|71a+18| 9a+81 |
--------------------------------------------------------------------　
210|80a+99|89a+80|69a+79|58a+59|27a+38|85a+97|12a+35|97a+32| 9a+67| 6a+99 |
--------------------------------------------------------------------　
220|15a+66|21a+65|36a+31|57a+96|93a+27|50a+23|43a+50|93a+73|36a+23|29a+96 |
--------------------------------------------------------------------　
230|65a+19|94a+15|59a+34|53a+49|12a+83|65a+32|77a+15|42a+47|19a+62|61a+9 |
--------------------------------------------------------------------
240|80a+71|41a+80|21a+51|62a+31|83a+82|45a+13|28a+95|73a+8 | a+3 |74a+11 |
--------------------------------------------------------------------　
250|75a+14|49a+25|24a+39|73a+64|97a+3 |70a+67|67a+70|37a+37| 4a+7 |41a+44 |
--------------------------------------------------------------------　
260|45a+51|86a+95|31a+46|17a+41|48a+87|65a+28|13a+15|78a+43|91a+58|69a+1 |
--------------------------------------------------------------------　
270|60a+59|29a+60|89a+19|18a+79| 7a+98|25a+77|32a+75|57a+52|89a+27|46a+79 |
--------------------------------------------------------------------　
280|35a+6 |81a+85|16a+91|97a+76|13a+67|10a+43|23a+10|33a+53|56a+63|89a+16 |
--------------------------------------------------------------------　
290|45a+79|34a+95|79a+74|13a+69|92a+43| 5a+12|97a+55| 2a+67|99a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11|a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33

301番目から元に戻りました。一般論にするには・・・・・？

No.770うんざりはちべえ2023年3月28日 21:25

この数列は各項ごとに下一桁を取り出して、
{a[n]} = 1,3,4,7,1,8,9,7,6
のようにしていますが、実はこれは
{b[n]} = 1,3,4,7,11,18,29,47,76
のように全桁ある状態で足した後で一の位だけを取り出しても同じ数列ができます。
（証明は数学的帰納法でできます。確か東大入試でまさにこの問題が出たことあったような……）

そして、全桁足す場合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
と一般項が書けるのです。（これも数学的帰納法で証明できます）
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定義され、今回は漸化式を逆向きに使って F[0] = 0 と F[-1] = 1 まで使用します。

今回のカラクリは F[59] の一の位が 1、F[60] の一の位が 0、F[61] の一の位が 1、となっていることで、
b[61] = b[1]*F[59] + b[2]*F[60] の一の位が b[1] に一致し、
b[62] = b[1]*F[60] + b[2]*F[61] の一の位が b[2] に一致することにあります。
これにより、元々考えていた数列では a[61] = a[1], a[62] = a[2] であるということになりますね。
この 2 つが成り立てば、a[3] と a[63] は全く同じ計算をすることになり、a[4] と a[64] は全く同じ計算をすることになり、……を繰り返すので a[61] 以降は最初と同じ数列のループになるというわけです。

最初の 2 項の値によっては 20 項ループだったりすると思いますが、それはこの 60 項ループ自体がたまたま同じ数列 3 周で構成されてしまった場合ということですね。

もちろん、60 項でループする証明を書くのがゴールなら、「a, b, 」から始めてはちべえさんのように気合いで 62 番目まで全部書き出しても正解です。

さて、下二桁で同じことをするとどうなるか。
はちべえさんは 300 項と当たりをつけたようですが、
果たして F[299], F[300], F[301] の下二桁はどうなっているでしょうか？

下三桁の場合、何項でループするでしょうか？

ぜひ研究してみてください。

No.771DD++2023年3月28日 22:34

DD++様、おはようございます。

＞のように全桁ある状態で足した後で一の位だけを取り出しても同じ数列ができます。

全くそのとおりです。2桁の場合もそうです。はじめは手計算で何度も失敗しましたが、excelでそのように、計算しています。

＞そして、全桁足す場合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
と一般項が書けるのです。（これも数学的帰納法で証明できます）
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定義され、今回は漸化式を逆向きに使って F[0] = 0 と F[-1] = 1 まで使用します。

なんとフィボナッチ数列ですか？たまたま、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・？

また、2桁の一般式はどうしたものかな？300という数字が出ましたが、一般式ではどうなるのかな？

さて、3桁もどうなるのでしょうね？

No.773うんざりはちべえ2023年3月29日 07:16

> たまたま、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・？

いえ、下n桁であれば、10^(2n) 項以内にループに突入することは鳩ノ巣原理で証明できます。
つまり、n=1 のときに多くとも 100 項以内にループが 1 周することは必然です。
それが 60 項という数字だったことまで必然かというと……どうでしょうね。
私はそれを実験なしで導出する方法は知りませんが、世の中のどこかには存在するかも？

n=2 のときにも多くとも 10000 項以内にループが 1 周することは必然です。
それが本当に 300 項という数字かどうかは、私からは黙っておきますので、はちべえさん自身で確かめてみてください。
自分で気合いでやらなくても、「フィボナッチ数　一覧」とかで検索すると、F[500] までとか F[1000] までとか載せてくれているサイトが見つかりますから。

No.774DD++2023年3月29日 09:06

HP管理者様、おはようございます。

適切なコメントありがとうございました。早速勉強します。

また、結構いくつもループがあったんですね。

DD++様、ご指摘、ありがとうございます。

No.776うんざりはちべえ2023年3月29日 09:35

2桁の一般解ができました。a,bは、10から99までの自然数です。
====================================================================================
\ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
====================================================================================
0| b | a | a+b | 2a+b |3a+2b |5a+3b |8a+5b |13a+8b |21a+13b|34a+21b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
10|55a+34b|89a+55b|44a+89b|33a+44b|77a+33b|10a+77b|87a+10b|97a+87b|84a+97b|81a+84b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
20|65a+81b|46a+65b|11a+46b|57a+11b|68a+57b|25a+68b|93a+25b|18a+93b|11a+18b|29a+11b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
30|40a+29b|69a+40b| 9a+69b|78a+ 9b|87a+78b|65a+87b|52a+65b|17a+52b|69a+17b|86a+69b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
40|55a+86b|41a+55b|96a+41b|37a+96b|33a+37b|70a+33b| 3a+70b|73a+ 3b|76a+73b|49a+76b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
50|25a+49b|74a+25b|99a+74b|73a+99b|72a+73b|45a+72b|17a+45b|62a+17b|79a+62b|41a+79b |
-------------------------------------------------------------------------------------
60|20a+41b|61a+20b|81a+61b|42a+81b|23a+42b|65a+23b|88a+65b|53a+88b|41a+53b|94a+41b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
70|35a+94b|29a+35b|64a+29b|93a+64b|57a+93b|50a+57b| 7a+50b|57a+ 7b|64a+57b|21a+64b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
80|85a+21b| 6a+85b|91a+ 6b|97a+91b|88a+97b|85a+88b|73a+85b|58a+73b|31a+58b|89a+31b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
90|20a+89b| 9a+20b|29a+ 9b|38a+29b|67a+38b| 5a+67b|72a+ 5b|77a+72b|49a+77b|26a+49b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
100|75a+26b| a+75b|76a+ 1b|77a+76b|53a+77b|30a+53b|83a+30b|13a+83b|96a+13b| 9a+96b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
110| 5a+ 9b|14a+ 5b|19a+14b|33a+19b|52a+33b|85a+52b|37a+85b|22a+37b|59a+22b|81a+59b |
-------------------------------------------------------------------------------------
120|40a+81b|21a+40b|61a+21b|82a+61b|43a+82b|25a+43b|68a+25b|93a+68b|61a+93b|54a+61b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
130|15a+54b|69a+15b|84a+69b|53a+84b|37a+53b|90a+37b|27a+90b|17a+27b|44a+17b|61a+44b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
140| 5a+61b|66a+ 5b|71a+66b|37a+71b| 8a+37b|45a+ 8b|53a+45b|98a+53b|51a+98b|49a+51b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
150|0+ 49b|49a+ 0 |49a+49b|98a+49b|47a+98b|45a+47b|92a+45b|37a+92b|29a+37b|66a+29b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
160|95a+66b|61a+95b|56a+61b|17a+56b|73a+17b|90a+73b|63a+90b|53a+63b|16a+53b|69a+16b |
-------------------------------------------------------------------------------------
170|85a+69b|54a+85b|39a+54b|93a+39b|32a+93b|25a+32b|57a+25b|82a+57b|39a+82b|21a+39b |
-------------------------------------------------------------------------------------
180|60a+21b|81a+60b|41a+81b|22a+41b|63a+22b|85a+63b|48a+85b|33a+48b|81a+33b|14a+81b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
190|95a+14b| 9a+95b| 4a+ 9b|13a+ 4b|17a+13b|30a+17b|47a+30b|77a+47b|24a+77b| a+24b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
200|25a+ 1b|26a+25b|51a+26b|77a+51b|28a+77b| 5a+28b|33a+ 5b|38a+33b|71a+38b| 9a+71b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
210|80a+ 9b|89a+80b|69a+89b|58a+69b|27a+58b|85a+27b|12a+85b|97a+12b| 9a+97b| 6a+ 9b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
220|15a+ 6b|21a+15b|36a+21b|57a+36b|93a+57b|50a+93b|43a+50b|93a+43b|36a+93b|29a+36b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
230|65a+29b|94a+65b|59a+94b|53a+59b|12a+53b|65a+12b|77a+65b|42a+77b|19a+42b|61a+19b |
-------------------------------------------------------------------------------------
240|80a+61b|41a+80b|21a+41b|62a+21b|83a+62b|45a+83b|28a+45b|73a+28b| a+73b|74a+ b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
250|75a+74b|49a+75b|24a+49b|73a+24b|97a+73b|70a+97b|67a+70b|37a+67b| 4a+37b|41a+ 4b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
260|45a+41b|86a+45b|31a+86b|17a+31b|48a+17b|65a+48b|13a+65b|78a+43b|91a+78b|69a+91b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
270|60a+69b|29a+60b|89a+29b|18a+89b| 7a+18b|25a+ 7b|32a+25b|57a+32b|89a+57b|46a+89b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
280|35a+46b|81a+35b|16a+81b|97a+16b|13a+97b|10a+13b|23a+10b|33a+23b|56a+33b|89a+56b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
290|45a+89b|34a+45b|79a+34b|13a+79b|92a+13b| 5a+92b|97a+ 5b| 2a+97b|99a+ 2b| a+99b |
-------------------------------------------------------------------------------------
300| b|a | a+ b| 2a+ b| 3a+ 2b|5a+ 3b

300で収まっています。1桁の60の5倍です。

3桁は1500でした。2桁の300の5倍です。

4桁は、3桁の1500の5倍は7500ですが、らしく見えますがちょっと違うようです。

No.777うんざりはちべえ2023年3月29日 11:59

https://oeis.org/A096363
↑ここによると
4桁以上は15000,150000,1500000,…つまり
1.5×10^(桁数)となるようです。

No.778らすかる2023年3月29日 16:45

らすかる様、こんばんは。
　　　　　3桁　　　　　4桁
番号　aの　bの係数　　aの　bの係数
14998 2 997 2 9997
14999 999 2 9999 2
15000 1 999 1 9999
15001 0 1 0 1
15002 1 0 1 0
15003 1 1 1 1
15004 2 1 2 1
15005 3 2 3 2
15006 5 3 5 3
15007 8 5 8 5
15008 13 8 13 8
15009 21 13 21 13
15010 34 21 34 21
15011 55 34 55 34
15012 89 55 89 55

おっしゃる通り15000でした。3桁は10回目の折返しですね。

No.779うんざりはちべえ2023年3月29日 18:23

フィボナッチ数列ですから、
f2=f1+f0
f3=f2+f1
f4=f3+f2
f5=f4+f3
　　・
　　・
　　・
fn=fn-1+fn-2
より、
　f2-f1=f0
　f3-f2=f1
　f4-f3=f2
　f5-f4=f3
　　・
　　・
　　・
+)fn-fn-1=fn-2
------------------------
fn-f1=f0+f1+f2+f3+・・+fn-2
そこで、
　　n-2
fn=f1+Σfi　　---(1)
　　　i=0
また、
f2=f1+f0
(1)より、
f3=f1+f0+f1=2f1+f0
f4=f1+f0+f1+f2=f1+f0+f1+(f0+f1)=3f1+2f0
f5=f1+f0+f1+f2+f3=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)=5f1+3f0
f6=f1+f0+f1+f2+f3+f4=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)+(3f1+2f0)=8f1+5f0

f2=f1+f0
f3=2f1+f0
f4=3f1+2f0
f5=5f1+3f0
f6=8f1+5f0
f7=13f1+8f0
f8=21f1+13f0
f9=34f1+21f0
f10=55f1+34f0
f11=89f1+55f0
f12=144f1+89f0
f13=233f1+144f0
f14=377f1+233f0
f15=610f1+377f0
f16=987f1+610f0
f17=1597f1+987f0
これをやり続けると
f58 f59 f60 f61 f62
f0の係数 365435296162 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961
f1の係数 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881
fnの係数 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842
fnの最下位は 1 0 1 1 2

このように、299番目で、fnの最下位から二桁が、00に、300番目で、01に、1499番目でfnの最下位から三桁が、000に、1500番目で、001に、というふうになるのでしょうね。しかし、桁数が膨大なので、libreoffice　のCalcでも、Excelでも、確認は取れません。
fn=mod(fn,10^k)とすれば、できています。

なお、aは16,31,46番目も最下位は0ですが、次が1にはなりません。それは、61番目と62番目です。

No.780うんざりはちべえ2023年3月30日 08:43

0: 0
1: 1
2: 1
60: 1548008755920
61: 2504730781961
62: 4052739537881
300: 222232244629420445529739893461909967206666939096499764990979600
301: 359579325206583560961765665172189099052367214309267232255589801
302: 581811569836004006491505558634099066259034153405766997246569401
1500: 135511256685631019516369368671…800838145996187122583354898000 (314桁)
1501: 219261819175562414066861037063…414440690362014196035679949001 (314桁)
1502: 354773075861193433583230405734…215278836358201318619034847001 (314桁)
15000: 291822482420491383023640722369…140908611007655976683548980000 (3135桁)
15001: 472178695237723741550776991928…405008577933901775242024490001 (3135桁)
15002: 764001177658215124574417714298…545917188941557751925573470001 (3135桁)
のようになります。（間の全桁も計算はしていますが、
掲示板に書くには長すぎますので省略しています。）

No.781らすかる2023年3月30日 09:48

らすかる様、こんにちは。

ありがとうございます。

No.782うんざりはちべえ2023年3月30日 12:55

返信 (14)

直線上の 2 点

a, b, c は実数で、(a,b) ≠ (0,0) とします。

a, b, c を用いた 4 つの式 p, q, r, s を上手に用意して
「(p,q), (r,s) は直線 ax + by + c = 0 上の異なる 2 点である」
が任意の a, b, c の値に対して成り立つようにできるでしょうか？

と、これだけだと題意が分かりにくいと思うので補足を。
例えば p = -c/a, q = 0, r = 0, s = -c/b とすれば一見条件を満たしそうに見えます。しかし実は
・a = 0 の場合、(p,q) は点自体が消失するので「直線上の点」を表さなくなる
・b = 0 の場合、(r,s) は点自体が消失するので「直線上の点」を表さなくなる
・a ≠ 0, b ≠ 0 でも、c = 0 だと 2 点が一致してしまい「異なる 2 点」を表さなくなる
という問題があり、任意の a, b, c の値に対して成立するものではなくなっています。
このような点が消失したり 2 点が一致したりする特殊な場合が一切存在しないような表式を作れるのか、というのが意図になります。

No.760DD++2023年3月27日 07:45

「原点を通りax+by+c=0と垂直な直線」とax+by+c=0との交点は(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))なので、例えば
p=-ac/(a^2+b^2)+b
q=-bc/(a^2+b^2)-a
r=-ac/(a^2+b^2)-b
s=-bc/(a^2+b^2)+a
とすれば条件を満たしますね。

追記
(p,q)と(r,s)は(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))に関して対称な点にしましたが、
どちらかが(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))でも構いませんし、より一般には
(-ac+(a^2+b^2)+bt,-bc/(a^2+b^2)-at)でtの値を変えればよいだけなので、2点と言わず何点でもとれます。

No.761らすかる2023年3月27日 09:03

あ、なるほど、確かに方向ベクトルを使えば 2 点目どころか好きなだけ取れますね。
盲点でした。

参考になりました、ありがとうございます。

No.762DD++2023年3月27日 09:18

元々なぜこれが気になったかというと、以下のような疑問からでした。

点と直線の距離の公式は高校数学IIの教科書に掲載されています。
そして、おそらく全ての教科書で「直線が x 軸に平行な場合」「直線が y 軸に平行な場合」「それ以外の場合」と場合分けされて示されていると思います。
しかし、元々の題材は平面上の点と直線であり、x 軸と y 軸を導入するまではそこには特別な向きは存在しません。
だったら、特別な方向の場合分けが必要ない方法で証明する方が流れとして自然なのでは？

ということで、手始めに直線を方程式ではなく通る 2 点で表現することから始めようと思ったまではいいものの。
初っ端から思わぬ難渋となり、助け舟を求めてみた次第でした。
2 点が取れたら次は内分や外分で直線上の任意の点を書けると考えていたのですが、まさか一段階すっ飛ばしていきなり任意の点を取る方が早かったとは。

で、実際に場合分けが不要な点と直線の距離の公式の証明を書いてみたのがこちら。
途中でブラーマグプタの二平方恒等式 (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 - (ad-bc)^2 を用いていますが、その証明は両辺展開するだけなので省略しています。

--------

(a,b) ≠ (0,0) より a^2+b^2 ≠ 0
よって、( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) という座標で表される点は任意の実数 t について直線 ax + by + c = 0 上にあり、
逆に直線 ax + by + c = 0 上にある任意の点の座標は、ある実数 t を用いて ( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) と書ける。

したがって、点 (X,Y) と直線 ax + by + c = 0 との距離は、点 (X,Y) と点 ( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) の距離を t の関数と考えたときの最小値として求められる。

ここで、

-ac/(a^2+b^2) + tb - X
= { -ac + b(a^2+b^2)t - a^2*X - b^2*X + abY - abY } / (a^2+b^2)
= { b( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - a( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)

-bc/(a^2+b^2) - ta - Y
= { -bc - a(a^2+b^2)t - a^2*Y - b^2*Y + abX - abX } / (a^2+b^2)
= { -a( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - b( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)

となるので、ブラーマグプタの二平方恒等式を用いると、2 点間の距離 L の 2 乗は

L^2 = ( -ac/(a^2+b^2) + tb - X )^2 + ( -bc/(a^2+b^2) - ta - Y )^2
= (a^2+b^2){ (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)^2
= { (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)

となる。
これは t = ( bX - aY ) / (a^2+b^2) のときに最小値 ( aX + bY + c )^2 / (a^2+b^2) をとる。
したがって、点 (X,Y) と直線 ax + by + c = 0 との距離はこの L^2 の最小値の負でない平方根、すなわち
d = | aX + bY + c | / √(a^2+b^2)
である。

--------

場合分けが必要な特別な方向が存在しない、自然な流れの証明……という感じではないなあ。

No.763DD++2023年3月27日 19:44

> 管理人さんのコメント

いつもこのサイト内に情報がないか探すとき、
「数学感動秘話」
「私の備忘録」
「お茶の時間」→「パズル&クイズ」
のタイトル一覧をザッと確認するんですが、まさか
「私の備忘録」→「その他」→「裏技の記録」
にも記事の集まりがあったとは。
記事のタイトル一覧みたいになっているページってこの 4 ヶ所で全部でしょうか？

肝心の点と直線の距離公式の話ですが、確かに法線ベクトルを使って垂線を引いてしまえば場合分け不要かつ簡素で良いですね。
しかも、この証明はそのまま丸ごと空間内における点と平面の距離の公式の証明に転用できるという点が素晴らしい。
高校数学だと数学Bの内容を数学IIで使うわけにはいかないという事情もあるんでしょうが、この証明はもっと広まってほしいところです。

No.765DD++2023年3月28日 10:05

> 管理人さんのコメント

情報ありがとうございます。
記事の集合体、思った以上にいっぱいあったんですね……。
またじっくり読ませていただきたいと思います。

No.775DD++2023年3月29日 09:11

返信 (5)

面白素数を探す

9が数多く使用されて、その中でただ１個だけ9とは異なる数字(1,2,4,5,7,8)
ここでは例えば1が使われている素数でどんなものがあるのかを
10桁から100桁の範囲で調べてみました。

＊9の中に1が1個含まれる素数

桁数;1の数字がある上位からの位置
10;2,
11;6,8,　<==>　(99999199999,99999991999　の2つが素数を示す。)
12;3,9,
13;3,
14;11,12,
15;2,7,13,
16;14,
17;4,8,16,
18;
19;4,13,18,
20;6,18,
21;
22;4,7,16,
23;20,
24;6,7,12,
25;7,21,
26;18,23,
27;1,6,9,14,18,19,
28;1,20, <==>　(1999999999999999999999999999,9999999999999999999199999999　の2つが素数を示す。)
29;23,
30;8,20,
31;8,30,
32;23,
33;7,21,26,33,
34;
35;
36;
37;26,36,
38;33,
39;
40;11,34,
41;8,
42;5,13,15,29,39,
43;8,10,24,32,38,42,
44;13,
45;12,14,36,45,
46;44,
47;2,15,
48;2,7,32,
49;
50;11,17,30,47,
51;31,
52;17,50,
53;39,
54;1,4,7,32,51,
55;51,52,
56;5,43,
57;7,
58;4,
59;29,
60;9,14,18,25,46,
61;16,30,54,
62;
63;
64;26,48,
65;14,
66;26,49,63,
67;10,40,57,
68;13,64,
69;
70;
71;34,
72;40,53,55,
73;
74;15,39,52,63,
75;3,
76;14,48,50,
77;32,
78;
79;4,72,
80;
81;21,
82;22,60,73,
83;29,39,57,70,74,
84;3,44,51,76,
85;9,19,
86;
87;3,44,
88;55,
89;30,60,70,
90;23,28,43,
91;16,18,90,
92;35,76,
93;
94;56,64,
95;66,
96;79,80,
97;27,58,
98;39,47,79,94,
99;
100;25,90,

以下同じく
-----------------------------------------------------
＊9の中に2が1個含まれる素数

10;2,6,9,
11;2,8,
12;
13;6,10,11,
14;13,
15;3,12,
16;2,4,6,13,
17;9,10,
18;
19;10,
20;1,13,15,
................

------------------------------------------------------
＊9の中に4が1個含まれる素数

10;5,
11;3,
12;3,6,9,
13;8,
14;8,
15;1,6,7,10,
16;3,7,
17;8,10,
18;3,7,10,
19;5,
20;8,
................

-----------------------------------------------------
＊9の中に5が1個含まれる素数

10;3,4,6,
11;1,9,
12;2,4,7,10,11,
13;5,
14;1,2,13,
15;4,
16;3,
17;
18;
19;8,
20;5,7,
..............

------------------------------------------------------
＊9の中に7が1個含まれる素数

10;
11;1,7,
12;
13;3,11,
14;5,
15;
16;6,8,12,13,
17;7,17,
18;13,15,
19;
20;18,
............

--------------------------------------------------------
＊9の中に8が1個含まれる素数

10;
11;2,4,
12;6,10,11,
13;
14;3,6,9,
15;7,11,14,
16;4,12,
17;12,
18;6,9,14,17,
19;4,
20;1,19,
............

等の素数が見つかりました。
なお先頭だけが異なり以下9が連続するタイプでは1000桁までの調査で
最長な素数であるものは
199････････999･･･99 (786桁)
299････････99 (208桁)
499････････9999 (595桁)
599････････9999･･9 (614桁)
799････････99999･･･99 (797桁)
899････････9999999････99 (936桁)
になりました。

No.772GAI2023年3月29日 07:09

返信

数勘

1～10^n
までの合成数の中でその約数(1と自分自身も含む)の分散が最も大きくなるものは
何であるかを直感で予想できますか？
n=1,2,3,4,5,6
までを当ててみて下さい。

No.751GAI2023年3月25日 09:42

大きくなるのは、「2×なるべく大きな素数」ですかね？

問われてはいませんが、小さくなる方はさっぱり予想がつきませんね。
双子素数の積みたいなのが強いのか、それとも約数の個数が非常に多い数が強いのか。

No.753DD++2023年3月25日 10:54

分散は範囲が小さい方が小さくなりますので、4のときの分散(14/9)が最小になる気がします。
(追記)
（大きい方を）調べてみたところ、n=1,2では「2×最大の素数」でしたが、n≧3では違いました。

No.754らすかる2023年3月25日 17:03

あ、そうですね。
小さい方は範囲を逆に「ある数以上の範囲で」としないといけませんね。

大きい方ですが、素数の平方という存在を忘れてました。
なぜか約数の個数の最小は 4 個だと思い込んでいた……。

No.755DD++2023年3月25日 18:20

各nでの第1位、第2位、第3位はこうなるようです。
n=1 ;10(=2*5),9(=3^2), 8(=2^3)
n=2 ;94(=2*47),95(=5*19),93(=3*31)
n=3 ;961(=31^2),989(=23*43),998(=2*499)
n=4 ;9409(=97^2),9991(=97*103),9983(=67*149)
n=5 ;97969(=313^2),99973(=257*389),99899(=283*353)
n=6 ;994009(=997^2),999997(=757*1321),999919(=991*1009)
n=7 ;9840769(=3137^2),9999727(=2549*3923),999557(=2617*3821)
n=8 ;99460729(=9973^2),99999233(=9433*10601),99998791(=9719*10289)

＊n=6までは確認しましたが、それ以上では予想です。

No.756GAI2023年3月25日 19:09

n≧5の第2位、第3位の値がすべて正しくないようです(第1位は正しいです)。
例えばn=5の第2位は99973=257×389と書かれていますが
99973の約数は1,257,389,99973で分散は1865930500
それに対し96721=311^2の約数は1,311,96721で分散は2072193622.222…
ですから96721の方が分散が大きいです。

No.757らすかる2023年3月25日 21:15

n=4 ;全部で10000（個)だったので全分散計算を元に第3位まで調べたら2つの素数の積が10000に近づく
パターンが候補に上がったので、n=5での大量のデータを処理することなくてっきりこのパターンに限定
で探しに行っていました。(n=2,3でもこの傾向を示していた。)
この範囲まで広げるとあの再び素数の平方のパターンが入り込むことができるんですね。（面倒さを避けるためつい思い込んでしまった。）

改めて予想では
n=5 ;97969(=313^2), 96721(=311^2), 94249(=307^2)
n=6 ;994009(=997^2), 982081(=991^2), 966289(=983^2)
n=7 :9840769(=3137^2), 9740641(=3121^2), 9728161(=3119^2)
n=8 ;99460729(=9973^2), 99341089(=9967^2), 98982601(=9949^2)

また思い込みが起こってしまうのか？
n=8で全合成数でチェックしてみましたが、間違いないようでした。

No.758GAI2023年3月26日 05:46

私も同じ結果になりましたので、問題ないと思います。

15:20追記
n=9について計算してみました。
n=9 ;999002449(=31607^2), 998623201(=31601^2), 997485889(=31583^2)
この後もずっと素数の2乗が続きそうですね。

No.759らすかる2023年3月26日 09:47

1～10^(2*n)
までの合成数の中でその約数の分散が最大になるものは
ある素数pで、その平方が10^nを越えない最大の素数pであるものを
見つけてその平方数が求めるものになる。（但しn=2,3,4,･･･)
1～10^4-->9409=97^2 (97<10^2 での最大の素数)
1～10^6-->994009=997^2 (997<10^3 での最大の素数）
1～10^8-->99460729=9973^2 (9973<10^4 での最大素数)

平方して、この10^nを越えない最大の素数に着目してOEISで検索かけると
https://oeis.org/A132153
がヒットし、そこにはn=1～2000 ものデータが揃っていた。
n;偶数での素数に着目すると、数字9がとても多く連続して並ぶことが起きてしまう
ことが起きてしまう。(なぜなら平方することで10^nに最も近づいているから)
2000の内のその半分1000個に集中すれば
https://oeis.org/A003618
ここには見事に9が並んでしまう素数が揃っている。

その1000個をじっと眺めていると下数桁で一つだけ9ではない数が現れてしまうタイプの素数が
いくつかあり（当然全部の数が9での素数はあり得ず、精いっぱいの9を含む素数となっている。)

分類例
99･･････91(最後の最後で1) (n=10,14,66,90,210,394,398,562,602,634)
n=634とは10^634に最もその平方が近づける素数ｐがp=99･････91 （9が連続634/2-1=317-1=316個並ぶもの)
であるということになる。

99････9919(10位だけが1)　(n=182,678,814)

99････9929(10位だけが2)　(n=254,302,548)

99････9949(10位だけが4)　(n=128)

99････9959(10位だけが5)　(n=94,176,260)

99･･････97(最後の最後で7) (n=4,6,34,280,1980)
n=1980はp=99･･････97 (9がなんと連続1980/2-1=989個も並んでしまう素数があることを示す。)

99････9979(10位だけが7) (n=216,816)

99････9799(100位だけが7) (n=1152)

99････9989(10位だけが8)　(n=16,24,30,36,40,60,160,304,328,352,478,582.648,1008,1188,1966)

99････9899(100位だけが8) (n=42,1432,1558)

99･･･98999(1000位だけが8) (n=652)

こんなに９の数字が並んでしまう素数の具体例を見たことが無かったので、何気なく合成数の分散を
探してみようという試みから思わぬ副産物に出会えて面白かったです。
勿論素数は無限にあるので（通常はこんな世界には無縁ではありますが･･･)更に驚くべき素数が潜んでいることでしょう。

No.764GAI2023年3月28日 07:04

返信 (8)

予測　続き

> 0.05の6乗根とｅ^(-0.4992887)

その -0.4992887 の元がなんだったか確認すると、(1/6)log0.05 なので……。

No.735DD++2023年3月23日 16:14

うっかりしました。

log0.05=-2.9957323　∴(1/6)log0.05=-0.4992887　∴log0.05^(1/6)=-0.4992887　∴e^(-0.4992887)=0.05^(1/6)

でしたね。

ところで、うんざりはちべえさんのNo.710の投稿の「らすかる様の計算では、700年間起きない確率は1-pです。
したがって、1-pは(1-(1/1000))^700=49.6411%となりますから、p=50.3589%です。」とDD++さんのNo.711の投稿の「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……になりますね。」が一致していない理由は何故なのでしょうか。誤差かと思い込んでしまいました。

No.736通りすがり2023年3月23日 16:40

No.726 の投稿をご覧いただければスッキリするかと思います。

No.737DD++2023年3月23日 17:41

了解しました。

No.738通りすがり2023年3月23日 18:24

その後、よく見たら、うんざりはちべえさんのNo.707の投稿に「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」とありましたので、起こる確率は５０．３４２％で、DD++さんのNo.711の投稿の「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……になりますね」と一致していると見て良いですね。

No.739通りすがり2023年3月23日 20:18

その No.707 の式も、1 日に 2 回起こることはない前提で計算してるので、正しいかというとそうでもないですね。
e^(-1/365000) とするべきところです。
e^(-x) ≒ 1-x の精度が x が 0 に近づいた分だけ精度がよくなってはいますが、完全に = にはなっていません。

No.740DD++2023年3月23日 21:44

＞e^(-1/365000) とするべきところです。

これはどういう事でしょうか。

平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。

-0.7と-1/365000ではあまりにも掛け離れていますが。間抜けな事を訊いていたらすみません。

No.741通りすがり2023年3月23日 22:12

言葉不足でしたかね。

「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)」

の中括弧の中を 1-1/(365x1000) ではなく e^(-1/(365x1000)) として

「700年連続して起きない確率は{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)」

とするべきという話です。

No.742DD++2023年3月24日 01:42

了解しました。

１０００年に１回起こる事象は３６５×１０００日に事象で、１日に平均１/(３６５×１０００)回起こる事象が（１日に）１回も起こらない確率はポアソン分布より、e^(-1/(365x1000))
これが、７００年＝３６５×７００日連続起こらない確率は、{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)という事ですね。
因みに、これは、DD++さんのNo.711の投稿の、
「平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。」
と同じですね。

また、うんざりはちべえさんのNo.707の投稿に「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」をpythonで厳密に計算してみました。
1-(1-1/(365*1000))**(700*365)
結果：0.5034151723845666
確かに「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……」と異なりますね。

ところで、
「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。

に関して、あまり関係ないかもしれませんが、有名な４０人のクラスに同じ誕生日の人はいるかという問題で、正解は0.891（89.1%）https://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1802/20/news006.htmlですが、
１－(１－１/３６６)^780＝0.8816447（40Ｃ2＝780）が３人以上一致する事を考えていない事に似ていますね。（ずいぶん昔に自分で考えました。）

DD++さん、とても勉強になりました。ありがとうございました。

No.743通りすがり2023年3月24日 06:45

0.05の6乗根とｅ^(-0.4992887･･･) が等しくなるのは

一般にexp(log(A))=A ( また log(exp(A))=Aでもある。)が成り立つので
A=(0.05)^(1/6)を使えば
exp(log(A))=exp(log(0.05)/6)=exp(-0.4992887･･･)=A
とみれば･･･

No.744GAI2023年3月24日 14:22

＞その No.707 の式も、1 日に 2 回起こることはない前提で計算してるので、正しいかというとそうでもないですね。

逆のような気がするのは私の気のせいでしょうか。

No.745通りすがり2023年3月24日 14:56

＞これ、私もよくやらかすミスなのですが、

「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。
確率の数値自体も変わってくるので、この 2 つはちゃんと区別して適切な方を使用しないといけません。

これは自分で考えられたのでしょうか。ポアソン分布の統計誤差の可能性はないのでしょうか。例えば、

「次のグラフは，λ=10のポアソン分布の確率分布を k≦30について表したものです（k>30の確率はゼロではありませんが無視できる程度です）。」
引用元：https://okumuralab.org/~okumura/stat/poisson.html

などとありますが。

No.746通りすがり2023年3月25日 02:47

> ポアソン分布の統計誤差の可能性はないのでしょうか。

ないですね。統計誤差というのは、有限個の実データに対して統計処理を行うと「本当は無限個ないと収束しないので、それに足りない分誤差が出てしまう」というものです。
ポアソン分布の公式は実データではなく理論値を取り扱う計算ですので、統計誤差が生じる余地はありません。

後半のサイトを引用してきたのは何が言いたかったのかわかりませんでしたが、その k>30 云々が書いてあるすぐ上にポアソン分布のちゃんとした導出が載ってますので、まずはそちらを読んでみてはいかがでしょう。

No.747DD++2023年3月25日 03:12

ええ、私も否定している訳ではありません。

しかし、DD++さんのNo.711の投稿の、
「平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。」もうんざりはちべえさんのNo.707の投稿の「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です。ですから、700年以内に地震は起こる確率は50%ですね。」も全く起こらない確率の余事象を使っていますので、どちらも少なくとも１回起こる確率なので、片方だけ１回だけというのはおかしいのではないでしょうか。

＞「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

これは平均して確率１/１０００（1/1000回）で起こる事象が起こらない確率ですよね。

＞「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

これも同じではないでしょうか。

＞ポアソン分布のちゃんとした導出が載ってますので、まずはそちらを読んでみてはいかがでしょう。

「期待値μ＝ｎｐを一定に保って、ｎ→∞，ｐ→０としていくとポアソン分布Ｐp(ｘ)＝ｅ^-μ・(μ^x)/ｘ!（μ：定数）になる。」（「確率統計　キャンパス・ゼミ」馬場敬之著より）

個人的には、∞×０に多少のゆがみが現れるのかなと思っています。もちろん、DD++がよく言う「「自分が食い違っていると思うからだ」ではただの妄想」というのはよく判っています。

誰か他の人にも訊いてみたいですね。

No.748通りすがり2023年3月25日 06:59

再三書いていますが、
「起こる回数の期待値が 1/1000」
「起こる確率が 1/1000」
これらを混同しないでください。

No.749DD++2023年3月25日 08:28

見解の相違ですね。もうこの話は止めましょう。

No.750通りすがり2023年3月25日 09:04

「確率」とか「期待値」とかの定義を無視することを「見解の相違」とは言わない気がしますが……まあ、同じ話が無駄に3回くらいループしてるだけになってますし、終わりにしようということに同意します。

No.752DD++2023年3月25日 10:37

返信 (16)

予測

去年の年末に放送大学で、機械学習と深層学習をみました。また、先日BSフジのガリレオXでも、「運」をみました。

機械学習は、
１）教師あり学習
２）教師なし学習
３）強化学習
の3つがあります。まあ、統計学です。

さて、地震が1000年に1回起きるとすると、ばらつきがあるので、10万年とか100万年のデータがないと統計的な結論は出ないでしょう。でも、統計学では、それらのデータたちの特徴で、未来の事案については、目安にしかなりません。

さて、1000年1回だから、1年を365日として、1/(365x1000)がその日起きる確率です。起きない確率は
1-1/(365x1000)ですね。ですから100日連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^100=99.9726%です。
100年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(100x365)=90.4837294%です。
500年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(500x365)=60.65%です。
700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です。

ですから、700年以内に地震は起こる確率は50%ですね。

でも、1000年に一度じゃなかったですか？

でもこれは、統計的に意味がありません。でも、予測には使えます。そこで、機械学習では、ベイスの定理を使って、いるようです。

No.707うんざりはちべえ2023年3月19日 13:41

>さて、1000年1回だから、1年を365日として、1/(365x1000)がその日起きる確率です。

■御参考
http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html

No.708Dengan kesaktian Indukmu2023年3月19日 17:18

らすかるさんの解答を参考にすると、
　地震が１０００年間に１回起こるので、その確率は、１/１０００
　７００年間で地震が起こる確率をｐとすると、１０００年間で地震が起こらない確率は、
（１－ｐ）^(10/7)＝１－１/１０００＝９９９/１０００　から、　ｐ≒０．０００７００１１
でいいのかな？

No.709HP管理者2023年3月19日 20:11

Dengan kesaktian Indukmuさま、HP管理者さま、こんばんは。

1年に起きる確率は、1/1000=0.1%、起きない確率は、1-(1/1000)=99.9%
100年間起きない確率は、(1-(1/1000))^100=90.47921%
500年間起きない確率は、(1-(1/1000))^500=60.637984%
700年間起きない確率は、(1-(1/1000))^700=49.6411%

らすかる様の計算では、700年間起きない確率は1-pです。
したがって、1-pは(1-(1/1000))^700=49.6411%となりますから、p=50.3589%です。

700年間で起きる確率がpで1000年間で起きる確率は1より、残り300年間で起きる確率は1-pです。

また、700年間起きない確率は1-pで1000年間で起きない確率は０なので、残り300年間で起きない確率は0-(1-p)=p-1より、p-1となります。

となるはずでは、ないでしょうか？

No.710うんざりはちべえ2023年3月19日 22:39

dengan さんが持ってきた記事は、関連はあるものの似て非なる問題なような。

平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。

尤も、ある瞬間の地震の発生率と別の瞬間の地震の発生率が独立であると仮定して計算していますが、実際にはその独立性は怪しいような気がします。
実際には地震は前震とか余震とかで立て続けに起こるものですし。

なお、
1 年以内に起こる確率は 1-0.001^0*e^(-0.001)/0! = 0.0009995001666……
1000 年以内に起こる確率は
1-1^0*e^(-1)/0! = 0.6321205588……
です。

No.711DD++2023年3月19日 23:38

DD++様、おはようございます。

＞1000 年以内に起こる確率は
1-1^0*e^(-1)/0! = 0.6321205588……
です。

おや、1,000年に一度じゃないんですね。

データ達の特徴から得られた1000年に一度という結果と予測から得られた結果が食い違うんですね。

タグチメソッド（品質工学）https://takuminotie.com/blog/quality/%E3%82%BF%E3%82%B0%E3%83%81%E3%83%A1%E3%82%BD%E3%83%83%E3%83%89/
も統計学者たちと田口博士の討論会で、統計学ではないとされています。

教員もタグチメソッドの考えを取り入れて、ばらつきの少ないことを目標にすれば、あとは、中心値を少しずらすだけで、すみますね。

タグチメソッドは、実験計画法でもある・・・・

No.712うんざりはちべえ2023年3月21日 07:18

> おや、1,000年に一度じゃないんですね。

どういう意味でしょう。

1000 年間に k 回発生する確率を P[k] として、
1000 年間の発生回数の期待値が
1*P[1] + 2*P[2] + 3*P[3] + …… = 1
で、1000 年間の発生確率は
P[1] + P[2] + P[3] + …… = 1/e

何もおかしいところはないと思いますが。

No.713DD++2023年3月21日 13:23

＞おや、1,000年に一度じゃないんですね。
データ達の特徴から得られた1000年に一度という結果と予測から得られた結果が食い違うんですね。

タグチメソッドもそういう結果あがり、予想と統計とは、違うのだそうです。機械学習もベイズ統計を使って、事前確率から事後確率という「予想」を導き出しているそうです。

統計はデータ達の特徴であり、予想にはならないそうです。

例えば、バレンタインデーにチョコレートをもらったのだけど、これは本命チョコのか、義理チョコなのかは、統計では、バレンタインデーが終わったあとに、調査結果として、確率何％が決まるのです。

でも、ベイズ統計では、確率何％で本命であると、過去の調査結果を利用して、もらった時に計算できるのです。でもそれは予想にしかすぎませんけどね。BSフジのガリレオXの「運」でそう言っていたと思います。

No.714うんざりはちべえ2023年3月21日 16:24

いや、だから「何と何に食い違いが発生しているのか」と聞いています。
具体的に答えてください。
「自分が食い違っていると思うからだ」ではただの妄想です。

No.715DD++2023年3月21日 18:25

DD++様、おはようございます。
700年起きない確率は
%i1) float((1-(1/1000))^700);
(%o1) 0.4964114134310993
800年起きない確率は
(%i2) float((1-(1/1000))^800);
(%o2) 0.4491491486100754
900年起きない確率は
(%i3) float((1-(1/1000))^900);
(%o3) 0.4063866225452045
1000年起きない確率は
(%i4) float((1-(1/1000))^1000);
(%o4) 0.367695424770964
2000年起きない確率は
(%i7) float((1-(1/1000))^2000);
(%o7) 0.1351999253974996
3000年起きない確率は
(%i8) float((1-(1/1000))^3000);
(%o8) 0.0497123939980363
となって、データたちの特徴から得られた結果と予測が合わないと言うことです。
まあ、頻度と指数関数では収束は当然違いますね。

No.717うんざりはちべえ2023年3月22日 07:13

無限ではないような気もします。http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/mathyomi/probability.html

No.719通りすがり2023年3月22日 09:20

それら8個の数値（若干間違ってますが）が何と矛盾するんです？

No.720DD++2023年3月22日 09:21

DD++様、こんにちは。

データ達の特徴から得られた1000年に一度は起きるという結果と1000年経っても起きる確率は63.23%（36.77%は起こらない）という予測と矛盾しませんか？

予測の根拠は1000年に一度は起きるという前提から出発したのです。

とおりすがり様、こんにちは。

700年起きない確率は、
(%i1) float((1-(1/1000))^700);
(%o1) 0.4964114134310993
3000年起きない確率は、
(%i2) float((1-(1/1000))^3000);
(%o2) 0.0497123939980363
10000年起きない確率は、
(%i3) float((1-(1/1000))^10000);
(%o3) 4.517334597704865E-5
50000年起きない確率は、
(%i4) float((1-(1/1000))^50000);
(%o4) 1.88109746912366E-22

どんどん小さくなりみたいですよ。

No.722うんざりはちべえ2023年3月22日 12:19

> 1000年に一度は起きる

「平均して 1000 年に一度起こる」は、1000 年あったら絶対に起こるわけじゃありませんよ？

もっとわかりやすくコインで話しましょう。
コインは「平均して 2 回に 1 回表が出る」ようになっています。
でも、「2 回投げたら絶対に 1 回表が出る」わけではありません。
2 回投げて両方裏ということは十分にあり得て、その確率は (1-1/2)^2 = 0.25 です。
つまり、「2 回投げる間に表が出る確率」は 1-0.25 = 0.75 です。

では、これが「平均して 2 回に 1 回表が出る」と矛盾するか？　という話をしましょう。
2 回投げる間に k 回表が出る確率を P(k) と書くと、
P(0) = 0.25, P(1) = 0.5, P(2) = 0.25
となります。
「2 回投げる間に表が出る確率」は、表が 1 回だろうと 2 回だろうと区別なく「表が出た」と考えるので
P(1) + P(2) = 0.75
という計算になります。
「2 回投げる間に表が出る平均回数」は、表が 2 回出たら当然 2 倍数えるので、
1*P(1) + 2*P(2) = 1
となります。
考えているものがそもそも違うので、異なる数値が出てくるのは当然の話です。
だから、「平均して 2 回に 1 回起こる」ことが 2 回の間に起こる確率が 1 にならなくても何も矛盾はしていないのですよ。

地震の話の場合もこれと同じです。
1000 年間に複数回発生した場合をどう考えるかに差があるので、「平均して 1000 年に 1 回起こる」ことが 1000 年の間に起こる確率が 1 にならなくても何も矛盾はしていないのですよ。
はちべえさんはおそらくこの 2 つの数値の区別をつけられていないのではないかと思うのですがどうでしょう。

No.725DD++2023年3月22日 16:06

ついでに。
これ、私もよくやらかすミスなのですが、

「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。
確率の数値自体も変わってくるので、この 2 つはちゃんと区別して適切な方を使用しないといけません。
今回の地震の話は後者です。

No.726DD++2023年3月22日 16:16

DD++様、こんばんは。

非常にわかりやすい説明でした。

私の間違いがわかりました。

ありがとうございます。

No.728うんざりはちべえ2023年3月22日 18:19

ポアソン分布で誤差が出ないか裏を取ってみました。

■御参考
http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html

こちらの、

問題
ある道路では、１時間以内に車が通る確率は、９５％であるという。では、１０分以内に車が通る確率は？

解答
１０分以内に車が通る確率をｐとすると、１時間以内で車が全く通らない確率は、
（１－ｐ）^6＝１－０．９５＝０．０５　から、ｐ≒０．３９３

を厳密に計算すると、ｐ＝０．３９３０３７７

一方、ポアソン分布で求めると、

ポアソン分布
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^x/ｘ!)（ｘ＝０,１,２,…）

１時間以内に車が１台も通らない確率はｘ＝０（０台だから）として、
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^0/０!)＝ｅ^(-μ)＝０．０５
∴ｅ^(-μ)＝０．０５（μは１時間以内に通る平均台数）
この両辺の自然対数を取ると、
－μ＝log0.05＝－2.9957323
∴μ＝2.9957323　
よって、10分以内に通る平均台数はμ/６＝0.4992887
これとｘ＝０をポアソン分布の式に代入すると、
Ｐp(０)＝ｅ^(-0.4992887)・(0.4992887^0/０!)＝ｅ^(-0.4992887)＝0.6069622
これは10分以内に車が1台も通らない確率より、１０分以内に車が通る確率は、1－0.6069622＝0.3930378

最後の１桁は８桁の電卓なので仕方がありません。よって、全く誤差がないのでOKですね。

というのは、例えば、コインを６０回投げて表が丁度３０回出る確率は、60Ｃ30(１/２)^30(１/２)^30＝０．１０２６・・・ですが、正規分布で近似すると、０．１０３４・・・と誤差が出るからです。もっとも、この場合は、29.5～30.5でやるから誤差が出るのかもしれませんが。

No.729通りすがり2023年3月22日 18:32

通りすがり様、こんばんは。

わかりやすく、ご解説ありがとうございました。

http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/mathyomi/probability.html

も、
10回連続して外れる場合、
(%i1) float((1-(1/10))^10);
(%o1) 0.3486784401
100回連続して外れる場合、
(%i2) float((1-(1/10))^100);
(%o2) 2.656139888758747E-5
1000回連続して外れる場合、
(%i3) float((1-(1/10))^1000);
(%o3) 1.747871251722651E-46
で、100,1000回も連続して外れることはないということですね。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
さて、コインを投げて、表を1裏を0とすると、何回かをやった結果を横に並べると、2進数ですね。

10回やれば、10桁の2進数で、表が、5回連続するということは、10桁の2進数で1が連続して5個並ぶので、
1111100000
0111110000
0011111000
0001111100
0000111110
0000011111
の6通りですね。
10桁の2進数は2^10=1024個ありますから
確率6/1024=0.005859375
という計算は、どこで間違っているのでしょう？

ああ、そうか、xは０か１
111110xxxx　　16通り
0111110xxx　　8通り
x0111110xx　　8通り
xx0111110x　　8通り
xxx0111110　　8通り
xxxx011111　　16通り

合計　64通り

ところで10C5=252

まだ、どこかおかしい・・・・

No.730うんざりはちべえ2023年3月22日 19:14

コインを 10 回投げて、連続で表が出る最大回数がぴったり 5 回になる確率なら、64/1024 であっているような。

No.732DD++2023年3月22日 22:33

通りすがりさん

二項分布を正規分布に近似する場合、事象が発生した回数（本来は整数しか取らない）を実数として連続値を取るとみなして連続的な確率分布にしています。
だからその過程で誤差が生じるわけですね。

ポアソン分布は試行回数（本来は整数しか取らない）を試行期間という連続値にする極限をとっていますが、事象が発生した回数の方はちゃんと整数値であることを保ったまま離散的な確率分布を出しています。
だから実は近似は行われていないので厳密に正しい……はず。だと思います。

No.733DD++2023年3月22日 22:41

DD++さん、返信ありがとうございます。

＞二項分布を正規分布に近似する場合、事象が発生した回数（本来は整数しか取らない）を実数として連続値を取るとみなして連続的な確率分布にしています。
だからその過程で誤差が生じるわけですね。

ポアソン分布は試行回数（本来は整数しか取らない）を試行期間という連続値にする極限をとっていますが、事象が発生した回数の方はちゃんと整数値であることを保ったまま離散的な確率分布を出しています。
だから実は近似は行われていないので厳密に正しい

ええ、私も「確率統計　キャンパス・ゼミ」馬場敬之著で導き方から確認しました。

＞「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。

これは大変勉強になりました。関係ありませんが、0.05の6乗根とｅ^(-0.4992887)が一致するのはちょっと不思議ですね。（勿論、他の例も同様ですね。）

No.734通りすがり2023年3月23日 07:49

返信 (20)

円周率の数が示す別の意味

nを0を含む自然数とするとき、

n=a^2+b^2 (a,b∈Z)

で表すことが出来る方法をr(n)で表せば

0=0^2+0^2
からr(0)=1

1=1^2+0^2
=(-1)^2+0^2
=0^2+1^2
=0^2+(-1)^2
からr(1)=4

2=1^2+1^2
=1^2+(-1)^2
=(-1)^2+1^2
=(-1)^2+(^1)^2
からr(2)=4

3=a^2+b^2とする組合せは見つけられない。
r(3)=0

他にもn=6,7,11,12,14,15,･･･にも0が当てはまる。

上の2の構造と同じくr(4)=4

次に
5=2^2+1^2に対する符号+,-　とa,bでの数字の選び方で合計4*2=8通り構成可能
r(5)=8

8=2^2+2^2-->r(8)=4
9=3^2+0^2-->r(9)=4
10=3^2+1^2-->r(10)=8

さてここまででn=0,1,2,3,･･･,10に対応して並ぶr(n)の数列が
1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8
そこでここまでのnに対する総合計が1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8=37

この理屈は全く同じで、この作業をずっと先までやっていくと最後の総合計数に何が起こると
想像できますか？

データを利用して見てみましょう。(A004018)
n=10を超えて100まで伸ばすと
1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8,0,0,8,･･･,0,8,4,0,12
したがってここまでの総和は37+0+0+8+･･･+0+8+4+0+12=317
つぎは100を超えて1000までやります。
1,4,4,0,4,･････,0,8,4,0,12,8,0,0,8,0,･････,0,8,0,0,16
このすべての合計は3149

そこで一般に10^nまでに並ぶr(i)(i=0,1,2,3,･･･,10^n)
の合計をS(n)で集計すれば (A068785)
n; S(n)
0; 5
1; 37
2; 317
3; 3149
4; 31417
5; 314197
6; 3141549
7; 31416025
8; 314159053
9; 3141592409
10; 31415925457
11; 314159264013
12; 3141592649625
13; 31415926532017
14; 314159265350589
15; 3141592653588533
16; 31415926535867961
17; 314159265358987341
18; 3141592653589764829
19; 31415926535897744669
20; 314159265358978759661
21; 3141592653589792630933
22; 31415926535897931085161
23; 314159265358979322639853
24; 3141592653589793234680617
25; 31415926535897932384615349
26; 314159265358979323823745421
27; 3141592653589793238428435569
28; 31415926535897932384568540625
29; 314159265358979323846212602093
30; 3141592653589793238462579472373
31; 31415926535897932384626459376945
32; 314159265358979323846263865968245
33; 3141592653589793238462643289640533
34; 31415926535897932384626432234171745
35; 314159265358979323846264338399627025
36; 3141592653589793238462643379445627833

どこかで見たような数字になっていませんか？

そう円周率π！
gp > Pi
%24 = 3.1415926535897932384626433　832795028841971693993751

小数点以下25桁までの(n=35の方がより近くなっている）
ここまで数字が一致することはとても不思議です。

一方は整数世界での場合の総数であり
もう一方は円周と直径の比率であり
この似ても似つかぬもの同士がかくも同じ数字の配列を持つこと自体が驚き
桃ノ木、山椒の木、ブリキに狸に蓄音機です。

100個や1000個の調査ぐらいでは掴めない法則が
10^36（個）にも及ぶものを眺めてみれば一目瞭然です。

ご存知だった人は特に驚かれないでしょうが、円周率は小学校以来知ってはいましたが
それ以上のものではなく、人生も終わりに近づく頃になって初めて別の意味でその立ち姿
をまじまじと見つめ直す感覚です。

No.716GAI2023年3月22日 05:27

GAI様、おはようございます。

大発見ですね！

No.718うんざりはちべえ2023年3月22日 07:16

x^2+y^2≦r^2 を満たす自然数の組 (x,y) の個数を N とするとき、lim[r→∞] N/r^2 を求めよ。
……みたいな問題を解いたことがあるんですが、あれはどこかの大学入試だったか、それとも別の何かだったか。
格子点と原点中心の円を考えれば答えの予測はすぐ立ちますが、論証が非常に面倒くさいという。

ということで結果は知っていたしπが出てくるのも意外とも思わなかったのですが、私には別の点に驚きがありました。
上記の問題を解いた当時から「きっと 10^n までやったら π をだいたい n 桁まで出せるんだろうな」と予想していたのですが、そうでもないんですねこれ。
どういう収束速度なんだろう。

No.721DD++2023年3月22日 10:16

＞格子点と原点中心の円を考えれば答えの予測はすぐ立ちますが、論証が非常に面倒くさいという。

ああ、思い出したモンテカルロ法で円周率を求めるのがありましたね。極めて、収束性の悪いプログラムであったような記憶があります。

違います？https://manabitimes.jp/math/1182

GAI様のは、全然違うような・・・？

No.723うんざりはちべえ2023年3月22日 12:48

モンテカルロ法は正の実数 (x,y) を無作為に決めるやつですね。
私が言っているのは正の整数 (x,y) を順番に全部数え上げるやつです。
そして GAI さんのは正負問わず整数 (x,y) を全部数え上げるやつ。

私と GAI さんのは符号の違いの有無で約 4 倍差が出ますが、ほぼほぼ同じ問題です。
モンテカルロ法はまた違う話です。

No.724DD++2023年3月22日 15:23

調べてみたら、GAI さんや私の方法は「システマティック法」と呼ばれるみたいですが、あんまり情報が出てきませんね。

モンテカルロ法で n 個点を打って求めた円周率を α(n)、
システマティック法で x^2+y^2 ≦ n/4 の整数解の個数から求めた円周率を β(n)
システマティック法で x^2+y^2 ≦ n の自然数解の個数から求めた円周率を γ(n)
とするとき、
n→∞ 最も早く収束するのはどれなんでしょうね。
多分 β(n) と γ(n) は変わらなさそうですが。

No.727DD++2023年3月22日 16:44

ランダムのモンテカルロ法とは、違うのですね。

全部数え上げる方法なのですね。

No.731うんざりはちべえ2023年3月22日 19:18

返信 (6)

無限の深遠さ　続き

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

＞有理数体は（無限回の）四則演算について閉じている、という概念が真ならば
任意の無理数が有理数になってしまいます。

Wikipedia　バーゼル問題　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

の、収束することの証明で、
∞
Σ　1/{n(n-1)}=Σ(1/(n-1) - 1/n}=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+・・・=1
n=2

という計算があります。有理数の無限和ですが、有理数で閉じています。

これは、1/1+0+0+0+・・・・=1
以前言った、有限和＋（０の無限和）＝有限和の例です。

まあ、無限と言っても自然数の範囲なので、無限という表現は正しくないのかもしれません。

また、
＞ある
単調増加有理数列 a_n
単調減少有理数列 b_n
が存在して、任意の正の自然数 n について
a_n < e < b_n
となり、かつ
n → ∞ のときに
b_n - a_n → 0
とすることができるからです。

a_n = (1 +1/n)^n
b_n = (1 +1/n)^(n +1)
ですが、で、n→∞となると、a_n→eになりますね。
b_n=(1+1/n)a_nなので、n→∞となると、b_n→eになりますね。
ですから、a_n < e < b_nは、e<e<eで無理数です。
これは、無理数になるでしょう。

Dengan kesaktian Indukmu様は、教科書に書いてある極めてまっとうなことを言っているのでしょう。

それは、理解できますが、初項a、公比rの等比級数の和の公式は
a(r^n-1)
-----------　ただし、r≠1
　r-1
ですが、数学公式集に、r<1ならば、
a
-----------　
　1-r
とも書いてあります。これは、lim　r^n→0ならわかるのですが、lim　r^n=0となっています。

いろいろそういう問題は、あちこちにあって、教科書はおかしいのです。

まあ、余計なことをいっぱい書きましたが、私としては、スレッドは終わったつもりでいたのです。

でも、Dengan kesaktian Indukmu様は、今日追記されまして、20項の投稿の上限に達しましたので、また、スレッドを起こしました。

すみません。

No.688うんざりはちべえ2023年3月17日 20:15

＞＞有理数体は（無限回の）四則演算について閉じている、という概念が真ならば
任意の無理数が有理数になってしまいます。

10進数の小数は、
∞
Σ　　ai/10^i　　ただし０≦ai≦9の整数
i=1
です。したがって、全部有理数なのです。つまり、私に言わせれば、10進数の小数は無理数はあつかえないのです。

循環小数は、余りが循環するから循環小数で無限小数で有理数です。10進数の小数で表せるものです。
でも、無限小数で循環する根拠がないつまり、余りが循環するということがないものは、無理数であると定義されています。つまり、これは、10進数の小数で扱えないものであるとすればいいのではないでしょうか？

たとえば、√2は、10進数の小数で扱えないものでありますよね。

No.689うんざりはちべえ2023年3月17日 21:36

はちべえさんが言ってることって、「この内容は自分が気に入らないから数学の世界から排除すべきだ！」ということですよね。
少なくとも私にはそうとしか捉えられません。

数学の世界は開かれているべきです。
気に入らないというだけの非論理的な理由で何かを排除する人は数学の世界に来るべきではありません。

No.690DD++2023年3月17日 22:56

DD++様、おはようございます。

＞はちべえさんが言ってることって、「この内容は自分が気に入らないから数学の世界から排除すべきだ！」ということですよね。
少なくとも私にはそうとしか捉えられません。

数学の世界は開かれているべきです。
気に入らないというだけの非論理的な理由で何かを排除する人は数学の世界に来るべきではありません。

そんなことは、言ってません。おかしいのではないですか？と言っているだけです。感情論ではありません。

背理法については、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/hairihou.pdf
にまとめてあります。

{奇数の完全数はない}は、{奇数である}、{完全数である}、{存在する}の3つの論理積という配慮が抜けています。

No.691うんざりはちべえ2023年3月18日 07:13

私のバーゼル問題の研究の途中からですが、

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/20230313_BMP/2023-3-18-001.png
にしめすように、有理数の無限和が、有理数である例はいくつでもあります。

下から2番めの式と、一番下の式から無限和の一部を切り出しても有限和で、有理数で閉じています。

一番下の式では、kをどんどん大きくしてゆくと、有理数で「閉じている」ことになります。

No.692うんざりはちべえ2023年3月18日 07:35

はい、有理数の無限和は有理数に収束する場合ももちろんありますよ。
しかし、それは有理数で閉じていることの根拠には全くなりません。

No.698DD++2023年3月18日 13:20

DD++様、こんばんは。

まだ、研究中なので、また新しい何かを発見したら、結論にたどり着けるかもしれません。

No.701うんざりはちべえ2023年3月18日 18:27

有理数体は有限回の四則演算について閉じていますが、有理数の無限和は有理数に収束する場合もありますし、無理数に収束する場合もあります。

既に一例をお示しいたしました。

閉じていることについての
はちべえさんの誤解は
修正されるべきです。

この誤解が解けるまでは、
はちべえさんは、呪いにかかっているようなものです。人生の無駄遣いです。

はちべえさんは、いちど、妄執を捨てて
大学初年度の教科書をきちんと学ぶべきです。呪いを解くために。

稠密と完備との違いがわかれば、
素敵で面白い世界が目の前にあることに
感動することでしょう。

No.703Dengan kesaktian Indukmu2023年3月18日 23:05

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

ご指摘、ご指導ありがとうございます。

さて、こんな生意気なことを考えました。ご立腹されたら、お許しください。_(_._)_
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
教員とは、それができるまでの歴史や経緯を無視して、わかりやすいように、筋道立てて教えます。したがって、生徒に対しては、筋道のステップを踏んでいるかの審査官になります。
ところで、生徒のオイラー君が1/n^2の和が、収束が極めて悪いのに、これは多分、π^2/6というのです。
審査官の貴方は、常識的に、「おいおい自然数からどこからπなんか出てくるんだ？」と思うでしょう？
当然却下ですよね。

導電性プラスチックでノーベル賞をもらった白川博士は、研究室の韓国人学生が、プラスチックを作る実験で、配合をとんでもなく違えて、とんでもないプラスチックを作るのです。そこから、博士のノーベル賞につながるのです。そのおかげで、我々の多くの生活に利用されて、高性能なものができているのです。

だから、私のとんでもない間違いから、普通では有りないことが起きているかもしれません。そこから、発見すれば、大博士だし、常識的にありえないとすれば、ただの教員です。

審査官は、ふつうのコトしか期待しません。異常があってはならないですからね。

研究者と審査官の違いです。

No.704うんざりはちべえ2023年3月19日 08:01

> これは多分、π^2/6というのです。
> 当然却下ですよね。

「多分こうです」なら却下ですね。
はちべえさんはこの掲示板で「多分こうです」しか言わないのでこの掲示板での意見はほとんど誰にも聞いてもらえていませんね。

「こうであることが証明できました」で証明が正しかったなら当然受け入れます。
オイラーなどの数学者は正しい証明を残しているので結果が受け入れられてます。

No.706DD++2023年3月19日 13:26

返信 (9)

指定の個数の格子点を有する２変数方程式

2022年12月13日付けのらすかるさんが投稿されていた
指定の個数の格子点を持つ２変数方程式で
2*n+2 (n≧0)の偶数では
4*x^2+y^2=5^n
2*n+1 (n≧0)の奇数では
(4*x+1)^2+y^2=25^n
で示されていた。

偶然下記のサイトに遭遇し
https://mathworld.wolfram.com/SchinzelCircle.html

n=2*k (k=1,2,3,･･･)では
(x-1/2)^2+y^2=5^(k-1)/4

n=2*k+1 (k=0,1,2,3,･･･)では
(x-1/3)^2+y^2=5^(2*k)/9

が示されていた。
これに従ってn; での格子点を計算すると

2;
(0,0)
(1,0)

4;
(0,±1)
(1,±1)

6;
(-2,0)
(-1,±2)
(2,±2)
(3,0)

8;
(-5,±1)
(-2,±5)
(3,±5)
(6,±1)

10;
(-12,0)
(-7,±10)
(-3,±12)
(4,±12)
(8,±10)
(13,0)

12;
(-27,±5)
(-20,±19)
(-12,±25)
(13,±25)
(21,±19)
(28,±5)

14;
(-62,0)
(-58,±22)
(-37,±50)
(-17,±60)
(18,±60)
(38,±50)
(59,±22)
(63,0)

16;
(-137,±25)
(-102,±95)
(-62,±125)
(-14,±139)
(15,±139)
(63,±125)
(103,±95)
(138,±25)

18;
(-312,0)
(-292,±110)
(-263,±168)
(-187,±250)
(-87,±300)
(88,±300)
(188,±250)
(264,±168)
(293,±110)
(313,0)

20;
(-687,±125)
(-599,±359)
(-512,±475)
(-312,±625)
(-72,±695)
(73,±695)
(313,±625)
(513,±475)
(600,±359)
(688,±125)

･･････････････

一方n;奇数では

1;
(0,0)

3;
(-1,±1)
(2,0)

5;
(-8,0)
(-2,±8)
(7,±5)

7;
(-33,±25)
(12,±40)
(15,±39)
(42,0)

9;
(-208,0)
(-73,±195)
(-58,±200)
(167,±125)
(176,±112)

11;
(-878,±560)
(-833,±625)
(292,±1000)
(367,±975)
(1039,±79)
(1042,0)

13;
(-5208,0)
(-5193,±395)
(-1833,±4875)
(-1458,±5000)
(3918,±3432)
(4167,±3125)
(4392,±2800)

15;
(-21958,±14000)
(-20833,±15625)
(-19588,±17160)
(5375,±25481)
(7292,±25000)
(9167,±24375)
(25967,±1975)
(26042,0)

17;
(-130208,0)
(-129833,±9875)
(-54944,±118048)
(-45833,±121875)
(-36458,±125000)
(-26873,±127405)
(97942,±85800)
(104167,±78125)
(109792,±70000)

19;
(-573921,±307359)
(-548958,±350000)
(-520833,±390625)
(-489708,±429000)
(134367,±637025)
(182292,±625000)
(229167,±609375)
(274722,±590240)
(649167,±49375)
(651042,0)

････････････

と確かに指定するだけの格子点を円周上に持っていることができました。

更に関連項目を辿ると
https://mathworld.wolfram.com/CircleLatticePoints.html

で既にあのガウスが円と格子点での関係を300年も前に認識していることを知らされた。
今私たちはやっとコンピュータの力を借りながら、天才たちが見ていた世界を確認できる。

No.705GAI2023年3月19日 08:30

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