http://shochandas.xsrv.jp/angle3/angle4.htm
での記事から
△ABCで各Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし
AB=a,AC=b とするとき
AD=2*a*b*cos(A/2)/(a+b)
なる公式を示してあるが、これはa,bに対する調和平均dが
1/d=1/2*(1/a+1/b)
即ち
d=2*a*b/(a+b)
に縮小率cos(A/2)を掛けたものと解釈される。
ここに調和平均の幾何的解釈として
x-y平面でx軸上の点A(a,0)
y軸上にP(0,d)をとり、これからx軸に平行に距離bだけ離れた点B(b,d)
を取ると、4点O(原点),A(a,0),B(b,d),P(0,d)
を囲む台形は半径d/2の円が内接できる。
即ち
2つの平行な長さa,bの間隔を調和平均で出すdで離してやっておけば
この中にピタリ半径d/2の内接円が収まり、その間隔ｄを最後に∠BACの二等分角度
A/2に対するcos量のcos(A/2)で縮小してやればADの距離が与えられると解釈される。
http://shochandas.xsrv.jp/urawaza/angle.htm
を元にいろいろ計算をしていたら
三角形ABCで各Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき
ADの長さはBD=m,CD=nであるなら
AD=2*m*n*cos(A/2)/(m*cos(B)+n*cos(C))
=2*m*n*sin((B+C)/2)/((m*cos(B)+n*cos(C))
で求められる。
というものに出会っていったのですが
これって妥当性を持ちますかね？
(理由)
AB=a,AC=bとし
DよりAB,ACへ下した垂線の足をE,Fとすると
AD^2=a*b-m*n
であるので
これが成立することから
△BDE+△CDF=1/2*m*n*sin(A) (∵△ABC=2*△AED+△BDE+△CDF)
一方
△BDE=1/2*BD*DE*sin(Pi/2-B)=1/2*m*AD*sin(A/2)*cos(B)
△CDF=1/2*CD*DF*sin(Pi/2-C)=1/2*n*AD*sin(A/2)*cos(C)
この２つを上式へ代入して整理すれば
1/2*AD*sin(A/2)*(m*cos(B)+n*cos(C))=1/2*m*n*sin(A)
よって
AD=2*m*n*cos(A/2)/(m*cos(B)+n*cos(C))
=2*m*n*sin((B+C)/2)/((m*cos(B)+n*cos(C))
が導けた。
「中学入試問題に挑戦！」のこの問題、以下のようにすれば試行錯誤をだいぶ減らせますかね？
両辺を 9 で割った余りを考えると、
使った 9 個の数字の合計を 9 で割った余りが 6 。
これに P を加えると 10 個の数字の合計が 45 になるわけだから、P=3 です。
そして、H=0 より 3≦B+E+H≦17 なので、百の位への繰り上がりが 1 で確定で、A+D+G=19 です。
C+F+I=22 の場合 B+E+H=1 となり不適。
よって C+F+I=12 で B+E+H=11 とわかります。
C=6 とH=0 を考慮すると、
A+D+G=19
B+E=11
F+I=6
ですが、この中で 1 を使うには F+I を 1+5 か 5+1 にするしかありません。
すると、B+E は 2+9 か 4+7 か 7+4 か 9+2 となり、
残る A+D+G は、2+8+9 か 4+7+8 の順番を入れ替えたものとなります。
よって ABC が最小になるのは
ABC=246, DEF=871, GHI=905, P=3
ABC=246, DEF=875, GHI=901, P=3
ABC=246, DEF=971, GHI=805, P=3
ABC=246, DEF=975, GHI=801, P=3
の 4 パターンで、いずれの場合も B=4, P=3 です。
おじさんは全検索で出すしかなく
246;871;905
246;875;901
246;971;805
246;975;801
276;841;905
276;845;901
276;941;805
276;945;801
426;791;805
426;795;801
426;891;705
426;895;701
496;721;805
496;725;801
496;821;705
496;825;701
726;491;805
726;495;801
726;891;405
726;895;401
796;421;805
796;425;801
796;821;405
796;825;401
826;491;705
826;495;701
826;791;405
826;795;401
846;271;905
846;275;901
846;971;205
846;975;201
876;241;905
876;245;901
876;941;205
876;945;201
896;421;705
896;425;701
896;721;405
896;725;401
946;271;805
946;275;801
946;871;205
946;875;201
976;241;805
976;245;801
976;841;205
976;845;201
の全部で48パターンがあり
ABCの最小となるのが始めの4個ですよね。
これを小学6年生が解くのか！
数学の力は年齢には全く関係しないことを改めて感じ入ったことでした。
三角形ABCがあり、辺BCがx-y座標平面上のx軸上にあり、頂点Aはy軸の正の部分にあるものとする。
今x軸の正の部分と線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表すとき、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとしたとき
各(m1,m2)の値に対するADの線分の傾きmがどの様な値となるか見つけてほしい。
(1)(m1,m2)=(1/7,-1)
(2)(m1,m2)=(1/2,-2)
(3)(m1,m2)=(1/3,-3)
(4)(m1,m2)=(1/4,-4)
(5)(m1,m2)=(1,-5)
「線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表す」ならば普通の意味でわかるのですが、
「x軸の正の部分と線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表す」の「x軸の正の部分と」は
どういう意味を持っているのでしょうか。無視して大丈夫ですか？
今、新幹線で帰宅しました。
ｍの値の可能性として、(1)３、(2)３、(3)２、(4)5/3、(5)（３+√１３）/２ でしょうか？
新幹線の中から返信しようとしたら、「不正アクセス」としてはじかれてしまいました。
普段の環境では返信できるので、多分新幹線内のFreeWifiが悪さをしたものと思われます。
らすかるさんへ
「x軸の正の部分と」のコメントはいらないですね。ついなす角度とごっちゃになっていました。
管理人さんへ
-1/2は？
（３-√１３）/２は惜しいか。
できたら何番がどの答えかをお願いします。
正解です。
一般式は
{m1*m2-1-√((m1^2+1)*(m2^2+1))}/(m1+m2)
でしょうか。
個別に出していたので、こんな式で表せるとは思ってもいませんでした。
これはAB とACが直角なら(m1*m2=-1)
m=(1+m1)/(1-m1)
の式に還元できるので、
m1=1 ==>m=∞
m1=1/2 ==>m=3
m1=2 ==>m=-3
m1=1/3 ==>m=2
････････
と対応していくから、BCを直径とする円を利用してm1での値を使って
作図することで各Aでの二等分線が引けることができたり、他にも応用が出来そうですね。
2022年4月10日でのNHK特集21時よりの放映で
望月新一氏のABC予想の証明についての番組を見ていたのですが
解説を望月氏にお願いしても、一般の方に解説することは高度な内容を
含みとても不可能と判断するとのことで、解説を辞退しますとのコメントが
あったのが面白かった。
この番組の中で整数a,b,c(=a+b)に対し
c/rad(c)<rad(a*b)
という関係式が出ていたのですが、
（rad(n);ｎの異なる素因数の積）
実験してみると
単純に常にこの関係式が成立するかと言えば、そうではなく例えば
a;b =>c/rad(c) VS rad(a*b)
2;126=>64 VS 42
2;160=>27 VS 10
3;125=>64 VS 15
3;144=>7 VS 6
3;189=>32 VS 21
4;108=>8 VS 6
4;121=>25 VS 22
4;124=>64 VS 62
4;192=>14 VS 6
4;196=>20 VS 14
･･････････
の様に反するパターンも出てきた。（しかし圧倒的には成立していく）
何らかの条件付きがあるのであろう。
また次の様なパターンは一致していく。
4;128=>2 VS 2
18;162=>6 VS 6
25;125=>5 VS 5
36;144=>6 VS 6
72;108=>6 VS 6
100;200=>10 VS 10
掛け算は足し算より簡単という表現をされていたのも（足し算は遺伝子を破壊する）
興味を引いた。
またこの証明をするために、トポロジーの発想が異なるものを同一視するものに対し
同じものを異なるものに分解し、これとは全く逆の発想で（宇宙際タイヒミュラー理論）
新しい数学理論を構築していったという経緯の解説もされていた。
もしこの理論が正しいならあのフェルマーの大定理
a^n+b^n=c^n (n>2)
には整数解が存在しない。
も数行で証明可能とのコメントがされていた。
確かにABC予想とはこのn=1
に相当する考察なので、そんなのも有かな程度しか感じられませんでしたが･･･
いずれにせよ、人間の考える力とそれに関わっている人の途方もない
発想力にただただ驚くばかりでした。
新掲示板開設おめでとうございます。
投稿のテストです。
[1]
三角形ABCの各辺(延長線を含む)上にない点Oをとると、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
[2]
三角形ABCの各頂点を通らずかつ各辺と平行でない直線lをとり、
直線lと直線BC, 直線lと直線CA, 直線lと直線ABの交点をそれぞれP, Q, Rとすると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
管理人さん
解いてくださりありがとうございます。
私が用意していた解答よりシンプル明快でとても参考になりました。（特に[2]のほう）
私の解答例はこちら
[1]
例①
点Oから三角形ABCの頂点A,B,Cへおろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする。
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((OF/OB) / (OD/OB)) * ((OD/OC) / (OE/OC)) * ((OE/OA) / (OF/OA))
= 1
例②
正弦定理を使うと、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((AO/AB*sin∠AOB) / (OC/BC*sin∠BOC)) * ((BO/BC*sin∠BOC) / (OA/CA*sin∠COA)) * ((CO/CA*sin∠COA) / (OB/AB*sin∠AOB))
= 1
例③
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((1/2*AB*BO*sin∠ABO) / (1/2*OB*BC*sin∠OBC)) * ((1/2*BC*CO*sin∠BCO) / (1/2*OC*CA*sin∠OCA)) * ((1/2*CA*AO*sin∠CAO) / (1/2*OA*AB*sin∠OAB))
= (△ABO / △OBC) * (△BCO / △OCA) * (△CAO / △OAB)
= 1
[2]
例①
∠ABQ=∠RBQ または ∠ABQ+∠RBQ=π のいずれかが成り立つことと正弦定理より
sin∠ABQ = sin∠RBQ = QR/BQ*sin∠BRQ
が成り立つ。同様にして、
sin∠QBC = sin∠QBP = PQ/BQ*sin∠BPQ
sin∠BCR = sin∠PCR = RP/CR*sin∠CPR
sin∠RCA = sin∠RCQ = QR/CR*sin∠CQR
sin∠CAP = sin∠QAP = PQ/AP*sin∠AQP
sin∠PAB = sin∠PAR = RP/AP*sin∠ARP
が成り立つ。
また、∠BPQ=∠CPR または ∠BPQ+∠CPR=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠CQR = sin∠AQP
sin∠ARP = sin∠BRQ
もわかる。よって、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB)
= (sin∠RBQ / sin∠QBP) * (sin∠PCR / sin∠RCQ) * (sin∠QAP / sin∠PAR)
= ((QR/BQ*sin∠BRQ) / (PQ/BQ*sin∠BPQ)) * ((RP/CR*sin∠CPR) / (QR/CR*sin∠CQR)) * ((PQ/AP*sin∠AQP) / (RP/AP*sin∠ARP))
= (sin∠BRQ * sin∠CPR * sin∠AQP) / (sin∠BPQ * sin∠CQR * sin∠ARP)
= 1
例②
[1]より、
(sin∠ABQ / sin∠QBP) * (sin∠BPQ / sin∠QPA) * (sin∠PAQ / sin∠QAB) = 1 …[あ]
(sin∠ACR / sin∠RCP) * (sin∠CPR / sin∠RPA) * (sin∠PAR / sin∠RAC) = 1 …[い]
が成り立つ。
また、∠QBC=∠QBP または ∠QBC+∠QBP=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠QBC = sin∠QBP
sin∠BCR = sin∠RCP
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠QPA = sin∠RPA
sin∠CAP = sin∠PAQ
sin∠PAB = sin∠PAR
sin∠QAB = sin∠RAC
が成り立ち、これらを[あ],[い]に代入して[あ]÷[い]を計算すると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
を得る。
（４） ■×■×■■＋■■－■■■
2*3*19+89-103
（５） ■－■■－■■■＋■■■
3-11-103+211
（１０） ■－■×■■■＋■■■■
2-3*307+1019
他山ほどのパターンが作れますね。
問題の条件が、「１から９までの数字を１個づつ」となっているので、
何れも解にはならないですね！
あれ～この条件をすっ飛ばしていた！
再チャレンジ
（４） ■×■×■■＋■■－■■■
2*7*41+89-563
（５） ■－■■－■■■＋■■■
3-29-461+587
（１０） ■－■×■■■＋■■■■
7-2*683+1459
では２桁までの素数を使い３×3の正方行列に９個の異なる素数を埋めて
縦、横、斜めの合計が全て同じ合計となるもの（合計値を最も小さくしたもの）を構成してください。
訂正です。
では3桁までの素数を使い３×3の正方行列に９個の異なる素数を埋めて
縦、横、斜めの合計が全て同じ合計となるもの（合計値を最も小さくしたもの）を構成してください。
「２０４９」の素数魔方陣、死ぬ前に、これだけは作りたかったというＧＡＩ さんのコメント（令和元年５月２１日付け）
から、条件を満たすものは次の場合しかないですね。
+----+----+----+
| 479| 797| 773|
+----+----+----+
| 977| 683| 389|
+----+----+----+
| 593| 569| 887|
+----+----+----+
３桁までですので、1桁や2桁の素数も使用可能と理解願います。
ksさんから素数の循環節として
ｐを素数として、１/ｐの循環小数について、ｐ－１の約数が循環節の長さになる。
一つ一つの素数については、気紛れですが、全体として見たとき、循環節の長さが、偶数に
なるときと、奇数になるときの割合が、２/３と１/３となる。
の記述を読んで計算させてみた。
最初から25個(2,3,5,7,･･･,97)の素数での循環節での長さでの
偶数対奇数＝>15 VS 10
同様に最初から
100個の素数では＝>67 VS 33
1000個では＝>675 VS 325
10000個では＝>6655 VS 3345
100000個では＝>66647 VS 33353
1000000個では＝>666488 VS 333512
これ以上は時間が掛かり過ぎて断念
確かに2/3,1/3に近づいていますね。
でもどうして？
検索したら↓こちらで言及されていましたが、
https://www.math.kindai.ac.jp/laboratory/chinen/junkan_f/junkan.html
2：1になるのは証明できるものの
「証明はかなり難しく, 大学院レベルの数学が必要」
だそうです。
（もしかしたら初等的な証明があるかも知れませんが。）
確率的予測としては奇数が 1/3 になる理由は簡単ですね。
厳密な証明をしようとすると算術級数定理とかそっち方面になるのかな？
以下、p>5 として進めます。（有限個取り除いてもほとんど影響はないため）
1/p の循環節が n 桁になるというのは、10^n-1 が p の倍数であり、かつ n の倍数でないいかなる自然数 m についても 10^m-1 が p の倍数にならないということです。
ところで、フェルマーの小定理より 10^(p-1)-1 は p の倍数です。
よって、n は p-1 の約数になります。
p-1 = 2^r*d とおきます。（r は自然数、d は奇数）
r がそれぞれの値を取る確率は1/2^r と考えられます。
また r がそれぞれの値をとったときに n が奇数となる条件付き確率は 1/2^r と考えられます。
というのは、n が奇数となることは n が d の約数であることと同値で、それは 10^d-1 が p の倍数になることと同値ですが、
10^(2^r*d)-1 が p の倍数だということから出発して、
10^(2^(r-1)*d)-1 と 10^(2^(r-1)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
前者が p の倍数だとして、10^(2^(r-2)*d)-1 と 10^(2^(r-2)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
というのを r 回繰り返すことになるからです。
つまり、n が奇数となる確率は Σ[r=1->∞] 1/2^r * 1/2^r = 1/3 となります。
確率的には。
各桁の合計が奇数の合成数となる最小の素数はいくつか。
（コンピュータ不可）
９９７ですか？
９＋９＋７＝２５（奇数）で、２５＝５×５で合成数
はい、その通りです。
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